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1、三函數與函數二一函數函數. 函數和3 歐拉積分 在本節中我們將討論由含參量反常積 分定義的非初等函數:函數之間的關系 一函數 含參量積分：稱為格馬函數.函數可以寫成如下兩個積分之和： 其中時是正常積分,當時是收斂 的無界函數反常積分(可用柯西判別法推得); 時是收斂的無窮限反常積分(也可用柯西 判別法推得). 所以含參量積分(1)在時收斂, 即函數的定義域為. 1. 在定義域內連續且有任意階導數在任何閉區間上, 對于函數當 時有由于收 斂, 從而在上也一致收斂,對于當 上連續.用上述相同的方法考察積分它在任何區間上一致收斂. 于是由定理 19.10得到在上可導, 由a, b的任意性, 時, 有

2、由于在收斂,從而在上也一致收斂, 于是同理可證 2. 遞推公式 對下述積分應用分部積分法, 有 在 上可導, 且讓就得到的遞推公式:設應用遞推公式(3) n次 可以得到 公式(3)還指出, 如果已知在上的值, 那么在其他范圍內的函數值可由它計算出來. 若s為正整數n+1,則(4)式可寫成3. 函數圖象的討論對一切,恒大于0, 因此的圖形 位于軸上方, 且是向下凸的. 因為所以在上存在唯一的極小點故有由(5)式及在上嚴格增可推得在內嚴格減;在內嚴格增. 又由于綜上所述, 函數的圖象如圖19-2中部分所示.4. 延拓改寫遞推公式(3)為 當時, (6)式右端有意義, 于是可應用(6)式 來定義左端

3、函數在內的值, 并且可推得這時用同樣的方法, 利用式又可定義 在 內的值, 而且這時 依此下去可把延拓到整個數軸(除了 以外),其圖象如圖19-2所示. 已在內有定義這一事實, 由(6)5. 的其他形式在應用上, 也常以如下形式出現, 如令 則有 令 就有二、B函數含參量積分： 稱為貝塔(Beta)函數(或寫作函數).注 與前討論的單參變量的含參數積分不同，函數 是含兩元的含參量積分，但討論的步驟與方法是完 全類似的. B函數(2)當時, 是以為瑕點的無界函數 反常積分; 當時, 是以為瑕點的無界函數 反常積分. 應用柯西判別法可證得當時這兩個無界函數反常積分都收斂. 所以函數的定義域為1.

4、在定義域內連續由于對任何成立不等式而積分收斂, 故由M判別法知在上一致收斂. 因而推得在內連續. 2. 對稱性作變換得3. 遞推公式證 下面只證公式(8), 公式(9)可由對稱性及公式(8) 推得, 而最后一個公式則可由公式(8), (9)推得. 當 時, 有移項并整理就得(8) .4. 的其他形式在應用中函數也常常以如下形式出現.如令 則有令 則有考察令 則有所以三、函數與函數之間的關系 當為正數時反復應用函數的遞推公式可得 又由于所以即 對任何正實數p, q也有相同的關系: 這個關系式我們將在第二十一章8中加以證明.例1 求證證 令則再令則復習思考題1.若是定義在的函數,試定義含參量積分的一致收斂性.2. 若是

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