1、第二講 二次函數基本知識回憶：有關二次函數的內容例題精講例1、設是方程的兩根。求滿足，的二次函數。分析 二次函數的解析式中，共有三個待定系數。題設條件中有三個等式，故本題可運用列方程組措施求解。解1 設二次函數，由題意，（1）+（2）， （1）-（2）由（3）、（4）、（5）解得 因此，所求函數為解2 由，可設二次函數，則（1）+（2） （1）-（2） 由（3）、（4）解得 因此，所求函數為例2、已知不等式的解集是，求不等式的解集。分析 求不等式的解，有兩條思考途徑。一是直接由條件推出的關系；二是尋找不等式與的聯系。解1 由于不等式的解集是，得且是方程的兩個根。由 得因此，不等式的解集為。解2

2、 由于不等式的解集是，得且是方程的兩個根。于方程中，由于，得。設，方程可化為。由是方程的兩個根，得是方程的兩個根。又方程的兩根異號及，得。因此，不等式的解集為。例3、設二次函數滿足，且的圖象在軸上的截距為1，在軸上截得的線段長為，求的解析式。分析 本題給出了三個條件，“”，表白此二次函數圖象的對稱軸為；“在軸上的截距為1”，表白；“在軸上截得的線段長為”，表白。由此得如下解法。解1 由，得函數的圖象的對稱軸為。故可設。由，又，得 （1）又在軸上的截距為1，得 （2）解（1）、（2），得 。因此， 。解2 設由在軸上的截距為1，得；由，得，即。故。由 及 ，得 。因此， 。解3 由函數滿足及在軸

3、上截得的線段長為，可得的兩根為。故可設。由在軸上的截距為1，得。因此， 。 例4、已知，若有關的方程有三個不同的實數解，求實數的取值范疇。分析 函數解析式可化為。它的圖象是由兩段拋物線弧構成，因此方程的三個不同的實數解體現為直線與其中一段拋物線弧有兩個交點，與另一段拋物線弧僅有一種交點。觀測它們的圖象易知，當時，方程有一解；當時，方程有兩解。解 （1） 時，由，得。由兩根之和為1，得此方程不小于1的解至多一種。設，原方程可化為 。原方程有一種不小于1的解，即此方程有一種正解。由，得時，方程 有一種不小于1的解；（2） 時，由，得。設，原方程可化為 。原方程有兩個不不小于1的解，即此方程有兩個負

4、解。由，得時，方程 有兩個不不小于1的解；綜合（1），（2），當時，有關的方程有三個不同的實數解。例5、求實數為什么值時，方程的兩個實根（1）分別在區間（1，2）和（3，4）內；（2）絕對值不不小于1。分析 本題運用圖象法求解比較簡捷。其中，兩個實根的絕對值不不小于1，即兩個實根均在區間內。解 設 。（1）由題意，得因此，當時，原方程兩實根分別在區間（1，2）和（3，4）內；（2）由題意，兩個實根的絕對值不不小于1，即兩個實根均在區間內。因而有因此，當時，原方程的兩個實根的絕對值不不小于1。例6、已知方程有一種根不不小于，其他三個根都不小于，求的取值范疇。分析 設，原方程可化為，因而原方程的四

5、個根是互為相反數的兩對根。解 設，原方程可化為。由題意，此方程的兩個根都是正根，且一根不小于1，另一根不不小于1。設 ，則。因此，當時，原方程的四個根中，有一種根不不小于，其他三個根都不小于。例7、已知，證明有關的方程有兩個不等的實根，且這兩個根分別在區間和內。分析 設，本題即要證 且 。解 有兩個不等的實根，且這兩個根分別在區間和內。例8、已知是實數，函數，當時，。（1）證明：；（2）證明：當時，；（3）設，當時，的最大值為2，求。分析 證明（1）、（2）的核心在于通過擬定系數的取值范疇，即用在區間上的值表達系數；（3）需要通過條件“當時，的最大值為2”，擬定系數的值。由于題設條件中多為不等

6、關系，因而需要注意“夾逼思想”的應用。證明 （1）；（2）若，當時， 。由 ； 。 及，得；若，當時，。同理可得。因此，當時，；解 （3）由, 在上，。由 。由 ，得時，二次函數取最小值，即是二次函數的圖象的對稱軸。因而，。因此， 。例9、已知函數，當時，求證：當時，有 奧數教程83頁例4例10、與否存在二次函數，使得當時，同步成立？例11、若函數在區間上的最小值為，最大值為，求。分析 欲求的值，需按題設條件列出有關的兩個方程。注意到求二次函數最值時，要判斷二次函數的頂點與否在給定區間內，可以通過度類討論的措施予以解決。 解 （1）當時，由，即是方程的兩根。但此方程兩根異號，故此時無解；（2）當時，。若=；若=（不合題意）。因此，所求區間為；（3）當時，由因此，所求區間為。綜上，所求區間為或。例12、設函數 對于給定的負數，有一種最大的正數，使得在整個區間上，不等式都成立。（1）求的體現式。（2）當為什么值時，最大？并求出這個最大值。分析 （1） 由為負數，函數的圖象是開口向下的拋物線。由，函數的圖象的頂點位于軸的右方。由此應用圖象可求出。解 （1） ,，即函數的圖象的頂點位于軸的右方，的最大值為。 若，即 時，則是方程的較大的根。由，解得; 若，即時，則是方程的較小的根。由，解得。因此，分析 （2）函數