1、高等數(shù)學(xué)教案一、課程的性質(zhì)與任務(wù)高等數(shù)學(xué)是運算機科學(xué)與技術(shù)；信息治理與信息系統(tǒng)兩個專業(yè)的一門重要的基礎(chǔ)理論課,通過本課程的學(xué)習(xí),也是該專業(yè)的核心|精. 課程；要使同學(xué)獲得“ 向量代數(shù)” 與“ 空間解析幾何”,“ 微積分”,|品. |可. |編. |輯. |學(xué). “ 常微分方程與無窮級數(shù)” 等方面的基本概論、基本理論與基本運 算；同時要通過各個教學(xué)環(huán)節(jié)逐步培訓(xùn)同學(xué)的抽象概括才能、規(guī)律|習(xí). |資. |料. * | 推理才能、空間想象才能和自學(xué)才能；在傳授學(xué)問的同時,要著眼 于提高同學(xué)的數(shù)學(xué)素養(yǎng),培育同學(xué)用數(shù)學(xué)的方法去解決實際問題的 * | * 意識、愛好和才能； | * | |歡. |迎. |下

2、. |載. 第一章：函數(shù)與極限教學(xué)目的與要求18 學(xué)時1.解函數(shù)的概念, 把握函數(shù)的表示方法,關(guān)系式；并會建立簡潔應(yīng)用問題中的函數(shù)2.解函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性和有界性；3.懂得復(fù)合函數(shù)及分段函數(shù)的概念,明白反函數(shù)及隱函數(shù)的概念；4.把握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形；5.懂得極限的概念, 懂得函數(shù)左極限與右極限的概念,右極限之間的關(guān)系；6.把握極限的性質(zhì)及四就運算法就；以及極限存在與左、7.明白極限存在的兩個準(zhǔn)就,并會利用它們求極限,把握利用兩個重要極限求極限的方法；8.懂得無窮小、 無窮大的概念, 把握無窮小的比較方法,會用等價無窮小求極限；9.懂得函數(shù)連續(xù)性的概念（含左連續(xù)與右連續(xù)）型；

3、,會判別函數(shù)間斷點的類10.明白連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性,明白閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的第 1 頁,共 33 頁性質(zhì)（有界性、最大值和最小值定理、介值定理）第一節(jié)：映射與函數(shù)一、集合1、 集合概念,并會應(yīng)用這些性質(zhì)；具有某種特定性質(zhì)的事物的總體叫做集合；組成這個集合的事物稱為該集合的元素表示方法：用A ,B,C,D 表示集合；用a,b,c,d 表示集合中的元素|品. |可. 1 A a 1 , a 2 , a 3 , |精. |編. |輯. |學(xué). |習(xí). |資. 2 A x x 的性質(zhì) P |料. * | * | 元素與集合的關(guān)系：a A a A * | * | 一個集合,如它只含有有限個元

4、素,就稱為 |歡. |迎. |下. |載. 稱為 無限集 ；常見的數(shù)集： N,Z,Q,R,N+有限集 ；不是有限集的集合元素與集合的關(guān)系：A 、B 是兩個集合,假如集合 A 的元素都是集合B 的元素,就稱 A 是 B 的子集 ,記作 A B；假如集合 A 與集合 B 互為子集,就稱 A 與 B 相等 ,記作 A B如作 A B 且 A B 就稱 A 是 B 的真子集 ；空集：A2、 集合的運算并集AB：ABx|xA或xB 交集AB：且ABx|xAxB 第 2 頁,共 33 頁差集AB：ABCx|xA 且xB 全集 I 、E 補集A：集合的并、交、余運算滿意以下法就：交換律、ABBAABBAA

5、cBc結(jié)合律、ABCABCCABCABCB安排律ABCAC|精. ABCACBC|品. |可. |編. |輯. B c|學(xué). |習(xí). |資. 對偶律 |料. ABcAcBcA * B | * 笛卡兒積 A Bx,y|xA 且y | * | a ,b * | |歡. |迎. 3、 區(qū)間和鄰域|下. |載. 開區(qū)間a,b 閉區(qū)間a,b半開半閉區(qū)間a ,b有限、無限區(qū)間鄰域：UaUa ,xaxaa 鄰域的中心a,鄰域的半徑去心鄰域U左、右鄰域二、映射1. 映射概念第 3 頁,共 33 頁定義 設(shè) X,Y 是兩個非空集合,假如存在一個法就 f ,使得對 X 中的每一個元素 x ,按法就 f ,在 Y

6、中有唯獨確定的元素 y 與之對應(yīng),就稱 f 為從 X 到 Y 的映射 ,記作f：XYyfxD 上其中 y稱為元素 x 的像,并記作f x ,即留意： 1）集合 X；集合 Y；對應(yīng)法就f2）每個 X 有唯獨的像；每個Y 的原像不唯獨|精. f :DR為定義在|品. |可. |編. 3 單射、滿射、雙射|輯. |學(xué). |習(xí). |資. |料. 2、 映射、復(fù)合映射 * | * | 三、函數(shù) * | * | |歡. 1、 函數(shù)的概念：|迎. |下. 定義：設(shè)數(shù)集DR,就稱映射|載. 的函數(shù)記為yfxxD自變量、因變量、定義域、值域、函數(shù)值用 f 、 g 、函數(shù)相等：定義域、對應(yīng)法就相等自然定義函數(shù)；單

7、值函數(shù)；多值函數(shù)、單值分枝. 例： 2 x1x03 符號函數(shù)y0 x01x0第 4 頁,共 33 頁4 取整函數(shù)yxx（階梯曲線）5 分段函數(shù)0 x12y1xx12、 函數(shù)的幾種特性1） 函數(shù)的有界性上界、下界；有界、無界 有界的充要條件：既有上界又有下界；注：不同函數(shù)、不同定義域,有界性變化；2 函數(shù)的單調(diào)性（單增、單減）在 x 1、x2 點比較函數(shù)值|精. |品. |可. |編. f 1x 與 f x 2 的大小（注：與區(qū)間有關(guān)）|輯. |學(xué). |習(xí). |料. 3 函數(shù)的奇偶性 定義域?qū)ΨQ、f x 與 f x 關(guān)系打算 |資. * | * | * 圖形特點 關(guān)于原點、 Y 軸對稱 | *

8、| |歡. |迎. 4函數(shù)的周期性 定義域中成立：f x l f x |下. |載. 3、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)反函數(shù) ：函數(shù) f : D f D 是單射, 就有逆映射 f 1 y x,稱此映射 f 1為 f 函數(shù)的反函數(shù)函數(shù)與反函數(shù)的圖像關(guān) y x 于對稱復(fù)合函數(shù) ：函數(shù) u g y 定義域為 D 1,函數(shù) y f x 在 D 上有定義、且 f D D 1；就 u g f x g f x 為復(fù)合函數(shù)；留意：構(gòu)成條件 4、函數(shù)的運算注：只有定義域相同的函數(shù)才能運算 5、和、差、積、商初等函數(shù)：第 5 頁,共 33 頁1 冪函數(shù)：yyxax2指數(shù)函數(shù)：yax3 對數(shù)函數(shù)loga4三角函數(shù)ysinx,y

9、cosx,ytanx ,ycotx5 反三角函數(shù)yarcsin x,yxarccosx yarctan x yarccotx|精. |品. |可. 以上五種函數(shù)為基本初等函數(shù)exex|編. |輯. |學(xué). |習(xí). |資. 6 雙曲函數(shù)|料. * | shxx e2exchx * | * 2 | * | |歡. thxshxexe|迎. |下. |載. chxexex注：雙曲函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性；雙曲函數(shù)公式sh xyshxchychxshysh xyshxchychxshych xychxchyshxshych xychxchyshxshy反雙曲函數(shù)：yarshxyarchxyarthx作業(yè)

10、： 同步練習(xí)冊練習(xí)一第 6 頁,共 33 頁其次節(jié)：數(shù)列的極限 一、數(shù)列數(shù)列就是由數(shù)組成的序列；1）這個序列中的每個數(shù)都編了號；2）序列中有無限多個成員；|精. 一般寫成：a 1a 2a3a4an0,記為縮寫為u n|品. 例 1 數(shù)列1是這樣一個數(shù)列x n,其中|可. |編. |輯. |學(xué). |習(xí). n|資. |料. * x n1,n,12 ,34 ,5 | * | * n | * | 也可寫為：|歡. |迎. |下. 11111|載. 2345可發(fā)覺：這個數(shù)列有個趨勢,數(shù)值越來越小,無限接近lim n10n第 7 頁,共 33 頁1、極限的N 定義 ：naNx na就稱數(shù)列x n的極限0N

11、為 a,記成nlimxn也可等價表述：1）0 N n N x n a 2）0 N n N x n O a |精. |品. 極限是數(shù)列中數(shù)的變化總趨勢,因此與數(shù)列中某個、前幾個的值沒 |可. |編. |輯. 有關(guān)系；|學(xué). |習(xí). |資. |料. * | * | * | * 二、 收斂數(shù)列的性質(zhì) | |歡. |迎. |下. |載. 定理 1：假如數(shù)列 x n 收斂,那么它的極限是唯獨定理 2 假如數(shù)列 x n 收斂,那么數(shù)列 x n 肯定有界定理 3：假如 xlim xn a 且 a0a0,當(dāng) nN 時,x n 0 x n 0 定理 4、假如數(shù)列 x n 收斂于 a 那么它的任一子 數(shù)列也收斂

12、,且收斂于 a；第 8 頁,共 33 頁第三節(jié)：函數(shù)的極限一、極限的定義1、在 x 點的極限1）x 可在函數(shù)的定義域內(nèi),也可不在, 不涉及 f 在 x 有沒有定義,以 及 函 數(shù) 值 f x 0 的 大 小 ； 只 要 滿 足 ： 存 在 某 個 0 使 ： x 0 , x 0 x 0 , x 0 D；|精. |品. |可. 2）假如自變量 x 趨于 x 時,相應(yīng)的函數(shù)值 f x 有一個總趨勢 -|編. |輯. |習(xí). |資. 以某個實數(shù) A 為極限,就記為：x lim x 0 f x A；|學(xué). |料. * | * | 形式定義為： * | * | |歡. 0 x 0 x x 0 f x A

13、|迎. |下. |載. 注：左、右極限；單側(cè)極限、極限的關(guān)系2、 x 的極限設(shè)：y f x x , 假如當(dāng)時函數(shù)值 有一個總趨勢- 該曲線有一條水平漸近線 y A- 就稱函數(shù)在無限遠(yuǎn)點 有極限；記為：lim f x Ax在無窮遠(yuǎn)點 的左右極限：f lim f x xf x lim f x 關(guān)系為：第 9 頁,共 33 頁lim xfxAlim xfxAlim xfx二、函數(shù)極限的性質(zhì)1、 極限的唯獨性2、 函數(shù)極限的局部有界性3、 函數(shù)極限的局部保號性4、 函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系|精. |品. |可. |編. |輯. |學(xué). |習(xí). |資. |料. * | * | * | * | |歡. |

14、迎. |下. |載. 第 10 頁,共 33 頁第四節(jié)：無窮小與無窮大一、無窮小定義定義：對一個數(shù)列 x n,假如成立如下的命題：0 N n N x n 就 稱 它 為 無 窮 小 量 , 即lim x n 0 x注：1、的意義；2、x n 可寫成 x n 0； 0 , x n |精. |品. |可. 3、上述命題可翻譯成：對于任意小的正數(shù),存在一個號碼 |編. |輯. |學(xué). |習(xí). |資. N,使在這個號碼以后的全部的號碼 n,相應(yīng)的 x 與極限 0 的距離比這 |料. * | * | 個給定的 仍小；它是我們在直觀上對于一個數(shù)列趨于 0 的熟悉； * | * | |歡. 定理 1 在自變

15、量的同一變化過程 x x 0（或 x 中,函數(shù) f x|迎. |下. |載. 具有極限 A 的充分必要條件是 f x A,其中 是無窮小；二、無窮大定義一個數(shù)列nx,假如成立：nG那么稱它為無窮大量；記成：G0NnNx nlim xxn；G0NnNx nG,就稱為正無窮大,記特殊地,假如成lim xxnG0NNxnG,就稱為負(fù)無窮大,特殊地, 假如第 11 頁,共 33 頁記成lim xxn注：無法區(qū)分正負(fù)無窮大時就籠統(tǒng)地稱之為無窮大量；三、無窮小和無窮大的關(guān)系定理 2 在自變量的同一變化過程中,假如f x為無窮大,就f1x為無窮小；反之,假如fx為無窮小,且fx0就f1為無窮大x即：非零的無

16、窮小量與無窮大量是倒數(shù)關(guān)系：當(dāng)xn0時：有|精. lim x0lim x1|品. |可. |編. x n|輯. |學(xué). |習(xí). |資. |料. lim xlim x10 * | * xn | * | * | |歡. |迎. 留意是在自變量的同一個變化過程中|下. |載. 第五節(jié)：極限運算法就1、無窮小的性質(zhì)設(shè)xn和y n是無窮小量于是：（1）兩個無窮小量的和差也是無窮小量：lim x n 0 lim y n 0 lim x n y n 0 x x x（2）對于任意常數(shù) C,數(shù)列 c x n 也是無窮小量：limx x n 0 limx c x n 0（ 3）xn y n 也是無窮小量,兩個無窮

17、小量的積是一個無窮小量；第 12 頁,共 33 頁lim xxn00lim xyn0nlim xxnyn0（ 4）x n也是無窮小量：x0lim x xxn0lim x x 0（ 5）無窮小與有界函數(shù)的積為無窮小；2、函數(shù)極限的四就運算|精. 1、 如函數(shù) f 和 g 在點0 x 有極限,就gx0,lim x x 0fx gxx lim x0fx x lim x 02、 函數(shù) f 在點x 有極限,就對任何常數(shù)a 成立|品. |可. |編. |輯. x lim x 0afxax lim x 0fxx |學(xué). |習(xí). |資. |料. * | 3、如函數(shù)f 和 g 在點x 有極限,就 * | * |

18、 * lim x x 0fxgx lim x x0fxlim x x 0g | |歡. |迎. |下. |載. 3、 如函數(shù) f 和g在點0 x 有極限,并且x lim x 0gx就lim x x 0fxlim x x 0fx f 和 g 在點x 有極限lim x x 0gx gx極限的四就運算成立的條件是如函數(shù)例：求下述極限lim x 3 x x23lim x 1x22xx3495lim x3x34x22lim x3x22x17x35 x2323 xx25第 13 頁,共 33 頁3 lim x 2 3 x x 22 x5lim xsinx4、復(fù)2 x1x合函數(shù)的極限運算法就定理 6 設(shè)函數(shù)

19、 y f g x 是由函數(shù) y f u 與 u g x 復(fù)合而成,f g x 在點 x 的 某去心鄰域內(nèi)有定義,如 lim x x 0 g x u 0,0u lim u 0 f u A,且存在 0 0,當(dāng) x u x 0 , 0 時,有g(shù) x u 0,就|精. |品. |可. |輯. |學(xué). lim f g x lim f u A |編. |習(xí). |資. x x 0 u u 0|料. * | * | * 第六節(jié)：極限存在準(zhǔn)就 兩個重要極限 | * | |歡. |迎. 定理 1 夾逼定理：三數(shù)列 x n、y n 和 z n,假如從某個號碼起成|下. |載. 立： 1）x n y n z n,并且

20、已知 x n 和 z n 收斂,2）lim x x n a lim x z n,就有結(jié)論：xlim yn a定理 2 單調(diào)有界數(shù)列肯定收斂；單調(diào)增加有上界的數(shù)列肯定收斂；單調(diào)削減有下界的數(shù)列肯定收斂；例：證明：lim x 0sinx1x第 14 頁,共 33 頁例： 1lim x 0tanxlim x 01cosxxx2證明：lim xlim x 0arcsinxlim x 11x的極限x1 xx有界；求x|精. |品. |可. |編. |輯. |學(xué). |習(xí). |資. |料. * | * | * | * | |歡. |迎. |下. |載. 第 15 頁,共 33 頁第七節(jié)：無窮小的比較定義：如

21、,為無窮小0limlim且limc0sinxxlimKc0lim1|精. |品. |可. |編. |輯. |學(xué). 高階、低階、同階、k 階、等價|習(xí). |資. |料. 1、如,為等價無窮小就 * | * | 2、如1 、1 且lim1 1存在, * | * | lim x 0 x|歡. |迎. |下. 就：limlim1|載. 1例：lim x 0tan2xsin5x331lim x 0 1x2311cosx第 16 頁,共 33 頁第八節(jié)：函數(shù)的連續(xù)性與間斷點一、函數(shù)在一點的連續(xù)性、左極限；函數(shù) f 在點x 連續(xù),當(dāng)且僅當(dāng)該點的函數(shù)值fx0f0 x0 與右極限fx00 三者相等：fx 00

22、fx0fx00 或者：當(dāng)且僅當(dāng)函數(shù)f 在點0 x 有極限且此極限等于該點的函數(shù)值lim x x 0fx fx 0其形式定義如下：|精. 0 xxx0fxfx 0|品. |可. |編. |輯. |學(xué). |習(xí). |資. |料. 函數(shù)在區(qū)間（ a,b）連續(xù)指：區(qū)間中每一點都連續(xù)； * | * | 函數(shù)在區(qū)間 a,b連續(xù)時裝意端點； * | * | 注：左右連續(xù),在區(qū)間上連續(xù) |歡. 留意端點 |迎. |下. |載. 連續(xù)函數(shù)的圖像是一條連續(xù)且不間斷的曲線二、間斷點如：fx 00 fx 0fx00 中有某一個等式不成立, 就間斷,分為：1、 第一類間斷點：fx00 fx 00即函數(shù)在點的左右極限皆存在

23、但不相等,曲線段上顯現(xiàn)一個跳動；2 、其次類間斷點0 x ：左極限fx 00 與右極限fx 00 兩者第 17 頁,共 33 頁之中至少有一個不存在例：見教材第九節(jié)：連續(xù)函數(shù)的運算與初等函數(shù)的連續(xù)性一、連續(xù)函數(shù)的四就運算1. x lim x 0 f x f x 0 且x limx 0 g x g x 0 ,x lim x 0 f x g x f x 0 g x 0 2x limx 0 f x f x 0 且 limx x 0 g x g x 0 ,|精. |品. |可. x limx 0 f x g x f x 0 g x 0 |編. |輯. |學(xué). |習(xí). |資. 3. x lim x 0

24、f x f x 0 且x limx 0 g x g x 0 0,|料. * | * | * | * limx x 0 g f x x g f x x0 0 | |歡. |下. 反函數(shù)連續(xù)定理：假如函數(shù) f : y f x x D f 是嚴(yán)格單調(diào)增加|迎. |載. 1 1（削減） 并且連續(xù)的, 就存在它的反函數(shù) f：x f y y D f 并且 f 1也是嚴(yán)格單調(diào)增加（削減）并且連續(xù)的；注：1）反函數(shù)的定義域就是原先的值域；2）通常慣用 X 表示自變量, Y 表示因變量；反函數(shù)也可表成1y f x x D f 1復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性定理：g x 0設(shè)函數(shù) f 和 g 滿意復(fù)合條件gDf,如函數(shù) g

25、在點 x0 連續(xù)；u0,又如 f 函數(shù)在點u 連續(xù),就復(fù)合函數(shù)fg在點x 連續(xù)；注：復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性可以保證極限號與函數(shù)符號的交換：第 18 頁,共 33 頁lim x x 0fgxflim x x 0gx 從這些基本初等函數(shù)出,通過如干次四就運算以及復(fù)合,得到的種種函數(shù)統(tǒng)稱為初等函數(shù),并且：初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)；第十節(jié)：閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)一、最大、最小值設(shè)函數(shù)：y f x , x D 在上有界,現(xiàn)在問在值域|精. |品. D 1 y y f x , x D|可. |編. |學(xué). |習(xí). 中是否有一個最大的實數(shù)？假如存在,譬如說它是某個點 x0 D 的函數(shù) |輯. |資. |料. |

26、 * 值 y 0 f x 0 ,就記 y 0 max x D f x 叫做函數(shù)在 D 上的最大值； * | * | * | 類似地,假如 D f 中有一個最小實數(shù), 譬如說它是某個點 x2 D f 的|歡. |迎. |載. 函數(shù)值 y 2 f x 2 ,就記 y 2 min x D f f x 稱為函數(shù)在上的最小 |下. 值 ；二、有界性有界性定理： 假如函數(shù)f 在閉區(qū)間a,b上連續(xù), 就它在a,b上有界；三、零點、介值定理a,最大值和最小值定理：假如函數(shù)f 在閉區(qū)間a,b上連續(xù)就它在b上有最大值和最小值,也就是說存在兩個點和,使得ffx f,xa ,b第 19 頁,共 33 頁亦即fx 0m

27、inx a , bfx fmaxx a , bfx 如 x 0使f0,就稱 x 0 為函數(shù)的零點零點定理：假如函數(shù)f 在閉區(qū)間a,b上連續(xù),且f 在區(qū)間a,b的兩個端點異號：fa*fb0就至少有一個零點a,b,使f0|精. |品. |可. 中值定理：f 在a,b上能取到它的最大|編. |輯. 假如函數(shù)f 在閉區(qū)間a,b上連續(xù),就|學(xué). |習(xí). |資. |料. * | 值 和最小值 之間的任何一個中間值； * | * | * | 作業(yè)：見課后各章節(jié)練習(xí)；|歡. |迎. |下. |載. 第 20 頁,共 33 頁其次章 導(dǎo)數(shù)與微分教學(xué)目的與要求 22 學(xué)時1、懂得導(dǎo)數(shù)和微分的概念與微分的關(guān)系和導(dǎo)數(shù)

28、的幾何意義,會求平面曲線的切線方程和法線方程,明白導(dǎo)數(shù)的物理意義,會用導(dǎo)數(shù)描述一些物理量,懂得函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的的關(guān)系；2、嫻熟把握導(dǎo)數(shù)的四就運算法就和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法就,嫻熟把握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式,明白微分的四就運算法就和一階微分形式的不變性,會求函數(shù)的微分；3、明白高階導(dǎo)數(shù)的概念,會求某些簡潔函數(shù)的 n 階導(dǎo)數(shù)；4、會求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；5、會求隱函數(shù)和由參數(shù)方程確定的函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù),會求反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；|精. |品. |可. |編. |輯. |學(xué). |習(xí). |資. |料. 一、導(dǎo)數(shù)概念（0 ） * | 0 * | * | * 1、定義 f / x 0 lim x 0 yx

29、| |歡. |迎. lim fx 0 x fx 0 |下. |載. x 0 xfx fx 0 lim x x 0 x x 0f / x lim fx x fxx 0 x左導(dǎo)數(shù)f/-xlim-fx0 xfx0 xlimfx-fx0 xxx0 x0 x0右導(dǎo)數(shù)f/xf/limfx0f/-x0fx0 xlimfx-fx0 xxx0 x0 x0 x0Axf/x0A可以證明：可導(dǎo)連續(xù)；即可導(dǎo)是連續(xù)的充分條件；連續(xù)是可導(dǎo)的必要條件；第 21 頁,共 33 頁左右導(dǎo)數(shù) 注：與左右極限關(guān)系 2、導(dǎo)數(shù)的幾何意義曲線yfx在點x0y0處切線：yy0f/x0 xx0例 1：爭論fxxsin1x0在 x=0 處可導(dǎo)性

30、x0 x0解：lim x 0fxlim x0 xsin10f0 xfx 在 x = 0 連續(xù)|精. 0h-不存在fx 在|品. 0fx-f0lim x 0sin1|可. |編. |輯. |學(xué). lim xx-0 x|習(xí). |資. |料. x = 0 不行導(dǎo) * 例 2：已知f/x0存在 | * | * | lim h 0fx02h-fx02f/x0 * | 就 |歡. h|迎. |下. lim h 0fx0-fx0f5/xfx05h|載. hlim h 0fx 03h hfx 0h=lim h 0fx03 h-fx0fx0hh4 f/x0例 3：設(shè)函數(shù) fx 可微,就lim x 0f2xx-f

31、2x2fxf/xa、b x例 4：設(shè)fxx2bxx0axx0為使 fx 在 x = x 0 處可導(dǎo),應(yīng)如何選取常數(shù)第 22 頁,共 33 頁解：第一 fx 必需在 x 0 連續(xù)x limx 0-fxx limx 0-x 2 x 20lim fx lim ax b ax 0 bx x 0 x x 0ax b x 20 f-/ xx limx 0 fxx-x fx0 0 x limx 0 xx 2-x x0 20lim x x 0 2x 0|精. x x 0|品. |可. |編. / fx fx 0 ax b-x 20|輯. |學(xué). |習(xí). f xx limx 0 x-x 0 x limx 0 x

32、-x 0|資. |料. * | lim ax-ax 0 a * | x x 0 x-x 0 * | （由 得） * | |歡. |迎. f / x 0 存在|下. |載. a 2 x 0 從而 b x 0 2例 5： fx = x x-1x-2 x-9 , 就 f / 0 .9f / 0 lim fx-f0 x 0 x-0lim x 1x 2 x 9 9 .x 0例 6：設(shè) fx 在 x = 0 領(lǐng)域內(nèi)連續(xù),lim fx2,x 0 1 x 1/就 f 0 1f0 lim fx 0（分母 0）x 0第 23 頁,共 33 頁f/0lim x 0fx-f0lim x 0fx211cx-0 xlim

33、 x01fx-11x1xx2afx-af0例 7：設(shè)函數(shù)f 1+x = a f x ,且f/0ba , b 0,問f/1存在否 . 解：f/1lim x0f1x-f1lim x0 xabx|精. lim x0afx-f0af/0 x|品. |可. |編. |輯. |學(xué). |習(xí). |資. 二、導(dǎo)數(shù)的求法 |料. * | * | * 1、顯函數(shù)導(dǎo)數(shù) 求一個顯函數(shù)的導(dǎo)數(shù)需解決： | 基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)P64; * | 導(dǎo)數(shù)四就運算法就P 65; |歡. |迎. |下. 復(fù)合函數(shù)與反函數(shù)求導(dǎo)法就P66 ；|載. 定理：ux在 X 有導(dǎo)數(shù)du ,yfu在對應(yīng)點 u 有導(dǎo)數(shù)dy ,dudx就復(fù)合函數(shù)yfx在

34、 X處也有導(dǎo)數(shù),dydyduf/u/x；dxdudx例 1：yxsin2x21求/y解：y/sin2x21x4xcos2x21例 2：yln1x2求y/解：y1ln1x2y/112x21x222xx第 24 頁,共 33 頁例 3：yarctgxx求y/解：y /11求y/1x2aarctg1例 4：yx解：y/aarctg1lna11211lna2aarctg1axa1xx1x2xx例 5：yln32x1求y/|精. |品. 解：y/3ln22x1212x|可. |編. |輯. |學(xué). |習(xí). yxxx求y/|資. |料. 例 6： * | * | y/2x1xx12x1x121x * |

35、* 解： | |歡. |迎. |下. yxsinx求y/|載. 例 7：解：ye sinxlnxy/xsinxsinxcosxlnxx例 8：yabxxabbxa求y/解：y/abxlnabxlnbabxab1bxalnb例 9：ylnee2x1求/y2x解：y1lne2xlne 2x1x1lne 2x122y/1-12e2x1112x2e2xe第 25 頁,共 33 頁高階導(dǎo)數(shù)、二階：d2yxx0lim x0f/x0 xxf/x0dydx2xfxlim x0f/xf/x0求例 10：yxx0lnxe 2x,f/dx解：dy dxdfe2xde2xde2xdxf/e2x2e2x|精. |品.

36、|編. |輯. lne 2x 2e 2x 4xe 2x |可. |學(xué). |習(xí). |資. |料. 先講微分（后頁） * | * | * 2、 隱函數(shù)導(dǎo)數(shù)參數(shù)方程導(dǎo)數(shù) | * | 如方程 Fx,y=0 確定了 y=yx ,只需方程兩邊對|歡. |迎. |下. |載. 例 10：求以下隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（1）設(shè) ysinx cos x y 0 求 y /解： 方程兩邊對 x 求導(dǎo),y / sinx ycosx sin x y 1 y / 0y/ ycosx sin x ysin x y sinxx 求導(dǎo),留意 y=yx （2）設(shè)yyx是由方程exyxlnxy10所確定的隱函數(shù),求y/01,x=0 ,y1代

37、 入 得 ：解： 由原方程知當(dāng)x=0 時,ye方程兩邊對x 求導(dǎo)；exyyxy/y/110, 將ye第 26 頁,共 33 頁1 ey / 0 1 0y/ 0 1 1 1e e e3 y y x 是由方程 ey xy e 所確定的隱函數(shù) , 試求 y/ 0 , y/ 0；解: 方程兩邊對 x 求導(dǎo)：e y y / y xy / 0 方程兩邊再對 x 求導(dǎo)：e y y / e y y / 2 2y / xy / 0 |精. |品. 由原方程知,當(dāng) x 0 時,y 1,代入得 y/ 0 1|可. |編. e|輯. |學(xué). |習(xí). 再將 x 0,y 1,y/ 0 1 代入式,|資. |料. e *

38、* | * | * 得 y / 0 e 12 | | |歡. |迎. |下. |載. 4 設(shè) xy et 23 t1 1 求 dx dy, ddx 2 y2dy 解：dydx dx dt2 3e t2 2t 32 t 2 e 2 tdt2 d dy d dydx ddx y2 dx dx dx dt 32 2 te 2 t 2 t 2 e 2 t 2 e 12 tdt 5 設(shè)yy3t 1te4 tyxeyt22t130所確定的函數(shù), 求：dy ；2 x 是由方程組sintdx解：第 27 頁,共 33 頁dx2t2tteysintdy0tdy1eycosttdtdyeycosdtdtdteys

39、indydy2eycostsindt dxdx1 1y edt3、分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)11 ,11設(shè)fx2 a xasinx,12,x0a0 ,aa|精. x0 x|品. |可. |編. 求：|輯. f/x|學(xué). |習(xí). |資. x0 ,f/x2lnaaxsinx|料. * | * | 解：當(dāng)ax0 ,f/xxcosx2 * | * x2 | |歡. |迎. |下. |載. f/_0 xlimfxf0 xlim2axaax0 x00 xlim2 ax12lnaa1xa0sinxf/0 xlimf xxf0 xlimxx0010 xlimsinx2xxlimcosxx2 x00f/0 f/0 第 28

40、 頁,共 33 頁f/0 不存在,故f/x x0 x0高階導(dǎo)數(shù)（ n 階）略,例yx 2x1 2x3 30,對函y646.2 設(shè)fx在（,）上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),且f0 fxx0數(shù)gxx|精. ax0|品. |可. |編. |輯. |學(xué). |習(xí). 1 確定 a 的值,使gx在（,）上連續(xù)|資. |料. * 2 對（ 1）中確定的 a ,證明gx在（,）上 | * | * | * | |歡. |迎. 解：一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)|下. |載. alim x 0g x lim x 0fxlim x 0f xxf0 f/0 x即當(dāng)af/0 ,yx在x0連續(xù),也就是在（,）連續(xù)g/0lim x 0g xxg0lim x 0fxxf/0