1、本文格式為Word版，下載可任意編輯 歷年考研數學一真題及答案(1987 歷年考研數學一真題1987-2022 （經典珍藏版） 1987年全國碩士研究生入學統一考試 數學(一)試卷 一、填空題(此題共5小題,每題3分,總分值15分.把答案填在題中橫線上) (1)當x =_時,函數2x y x =?取得微小值. (2)由曲線ln y x =與兩直線e 1y x =+-及0y =所圍成的平 面圖形的面積是_. 1x = (3) 與兩直線 1y t =-+ 2z t =+ 及 121 111 x y z +=都平行且過原點的平面方程為 _. (4)設 L 為取正向的圓周2 2 9,x y +=則曲線

2、積分 2(22)(4)L xy y dx x x dy -+-? = _. (5)已知三維向量空間的基底為 123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),=則向量(2,0,0)=在此基底下的 坐標是_. 二、(此題總分值8分) 求正的常數a 與,b 使等式2 01lim 1sin x x bx x =-?成立. 三、(此題總分值7分) (1)設f 、g 為連續可微函數,(,),(), u f x xy v g x xy = =+求 ,.u v x x ? (2)設矩陣 A 和 B 滿足關系式 2, +AB =A B 其中 301110,014? ?=? A 求矩陣. B 四、(此題總分

3、值8分) 求微分方程26(9)1y y a y +=的通解,其中常數0.a 五、選擇題(此題共4小題,每題3分,總分值12分.每題給出的四個選項中,只有一個符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內) (1)設2 ()() lim 1,() x a f x f a x a -=-則在x a =處 (A)()f x 的導數存在,且()0f a (B)()f x 取 得極大值 (C)()f x 取得微小值 (D)() f x 的導數不存在 (2)設() f x 為已知連續函數0 ,(),s t I t f tx dx =? 其中0,0, t s 則I 的值 (A)依靠于s 和t (B)依靠于s

4、 、 t 和x (C)依靠于t 、x ,不依靠于s (D)依靠于s ,不依靠于t (3)設常數0,k 則級數21(1)n n k n n =+- (A)發散 (B)十足收斂 (C)條件收斂 (D)散斂性與k 的取值有關 (4)設A 為n 階方陣，且A 的行列式|0,a =A 而* A 是A 的伴 隨矩陣，則*|A 等于 (A)a (B)1a (C)1 n a - (D)n a 六、（此題總分值10分） 求冪級數11 12n n n x n -= 的收斂域，并求其和函數. 七、（此題總分值10分） 求曲面積分 2(81)2(1)4,I x y dydz y dzdx yzdxdy =+-? 其中

5、 是由曲線13()0z y f x x ?=?=? =? 繞y 軸旋轉一周而成的曲面,其法向量與y 軸正向的夾角恒大于.2 八、（此題總分值10分） 設函數()f x 在閉區間0,1上可微,對于0,1上的每一個,x 函數()f x 的值都在開區間(0,1)內,且()f x 1,證明在(0,1)內有且僅有一個,x 使得().f x x = 九、（此題總分值8分） 問,a b 為何值時,現線性方程組 123423423412340 221 (3)2321x x x x x x x x a x x b x x x ax +=+=-+-=+=- 有唯一解,無解,有無窮多解?并求出有無窮多解時的通解.

6、十、填空題(此題共3小題,每題2分,總分值6分.把答案填在題中橫線上) (1)設在一次試驗中,事件A 發生的概率為,p 現進行n 次獨立試驗,則A 至少發生一次的概率為_;而事件A 至多發生一次的概率為_. (2)有兩個箱子,第1個箱子有3個白球,2個紅球, 第2個箱子有4個白球,4個紅球.現從第1個箱子中隨機地取1 個球放到 第2個箱子里,再從第2個箱子中取出1個球,此球是白球的概率為_.已知上述從第2個箱子中取出的球是白球,則從第一個箱子中取出的球是白球的概率為_. (3)已知連續隨機變量X 的概率密度函數為221(),x x f x -+-= 則X 的數學期望為_,X 的方差為_. 十一

7、、（此題總分值6分） 設隨機變量,X Y 相互獨立,其概率密度函數分別為 ()X f x = 1 0 01x 其它,()Y f y e 0y - 00y y , 求2Z X Y =+的概率密度函數. 1988年全國碩士研究生入學統一考試 數學(一)試卷 一、(此題共3小題,每題5分,總分值15分) (1)求冪級數1 (3)3n n n x n =-的收斂域. (2)設2 ()e ,()1x f x f x x ?=-且()0 x ?,求()x ?及其定義域. (3)設為曲面2221x y z +=的外側,計算曲面積分 333 .I x dydz y dzdx z dxdy =+? 二、填空題(

8、此題共4小題,每題3分,總分值12分.把答案填在題中橫線上) (1)若21()lim (1),tx x f t t x =+則()f t = _. (2)設 () f x 連續且 31 (), x f t dt x -=? 則 (7)f =_. (3)設周期為2的周期函數,它在區間(1,1-上定義為 ()f x = 2 2x 10 01 x x -=則函數()f x 在點0 x 處 (A)取得極大值 (B)取 得微小值 (C)某鄰域內單調增加 (D)某鄰域內單調減少 (3) 設 空 間 區 域 2222222212:,0,:,0,0,0,x y z R z x y z R x y z +則 (

9、A)1 2 4xdv dv =? (B)1 2 4ydv ydv =? (C)1 2 4zdv zdv =? (D)1 2 4xyzdv xyzdv =? (4)設冪級數1 (1)n n n a x =-在1x =-處收斂,則此級數在 2x =處 (A)條件收斂 (B)十足收斂 (C)發散 (D)收斂 性不能確定 (5)n 維向量組12,(3)s s n 線性無關的充要條件是 (A)存在一組不全為零的數12,s k k k 使 11220s s k k k + (B)12,s 中任意兩個向量均線性無關 (C)12,s 中存在一個向量不能用其余向量線性表示 (D)12,s 中存在一個向量都不能用

10、其余向量線性表示 四、(此題總分值6分) 設()(),x y u yf xg y x =+其中函數f 、g 具有二階連續導數, 求222.u u x y x x y ?+? 五、(此題總分值8分) 設函數()y y x =滿足微分方程322e ,x y y y -+=其圖形 在點(0,1)處的切線與曲線21y x x =-在該點處的切線重 合,求函數().y y x = 六、（此題總分值9分） 設位于點(0,1)的質點A 對質點M 的引力大小為 2 (0k k r 為常數,r 為A 質點與M 之間的距離),質點M 沿直 線y = (2,0)B 運動到(0,0),O 求在此運動過程中質點A 對質

11、點M 的引力所作的功. 七、（此題總分值6分） 已知,=AP BP 其中100100000,210,001211? ?=-?-? B P 求5 ,.A A 八、（此題總分值8分） 已知矩陣20000101x ?=?A 與20000001y ? ?=? ?-? B 相像. (1)求x 與.y (2)求一個滿足1 -=P AP B 的可逆陣.P 九、（此題總分值9分） 設函數()f x 在區間,a b 上連續,且在(,)a b 內有 ()0,f x 證明:在(,)a b 內存在唯一的,使曲線()y f x =與兩 直線(),y f x a = =所圍平面圖形面積1S 是曲線()y f x =與兩直線(),y f x b = =所圍平面圖形面積2S 的 3倍. 十、填空題(此題共3小題,每題2分,總分值6分.把答案填在題中橫線上) (1)設在三次獨立試驗中,事件A 出現的概率相等,若已知A 至少出現一次的概率等于19,27 則事件A 在一次試驗 中出現的概率是_. (2)若在區間(0,1)內任取兩個數,則事件兩數之和小于65 的概率為_. (3)設隨機變量X 聽從均值為10,均方差為0.02的正態分布,已知 22(),(2.5)0.9938, u x x du -=? 則X 落在區間(9.95,10.05)內的概率為