1、極坐標及極坐標方程的應用1.極坐標概述第一個用極坐標來確定平面上點的位置的是牛頓。他的流數法與無窮級數，大約 于1671年寫成，出版于1736年。此書包括解析幾何的許多應用，例如按方程描出曲線， 書中創見之一，是引進新的坐標系。瑞士數學家 J.貝努力利于1691年在教師學報上 發表了一篇基本上是關于極坐標的文章，所以通常認為J.貝努利是極坐標的發現者。J.貝努利的學生J.赫爾曼在1729年不僅正式宣布了極坐標的普遍可用，而且自由地應用極 坐標去研究曲線。在平面內建立直角坐標系，是人們公認的最容易接受并且被經常采用的方法，但它并 不是確定點的位置的唯一方法。有些復雜的曲線用直角坐標表示，形式極其

2、復雜，但用極 坐標表示，就變得十分簡單且便于處理，在此基礎上解決平面解析幾何問題也變的極其簡 單。通過探究極坐標在平面解析幾何中的廣泛應用，使我們能夠清楚的認識到，用極坐標 來解決某些平面解析幾何問題和某些高等數學問題比用直角坐標具有很大的優越性，故本 文對其進行了初步探討。國內外研究動態，不僅在數學理論方面，很多學者對極坐標以及極坐標方程做了深入 探究，而且在如物理、電子、軍事等領域，很多學者對極坐標也有較深的研究。由此看來， 極坐標已應用到各個領域。極坐標系的建立在平面內取一個定點O,叫作極點，引一條射線OX ,叫做極軸，再選定一個長度單 位和角度的正方向（通常取逆時針方向）。對于平面內任

3、意一點M,用 表示線段OM的長度， 表示從OX到OM的角度， 叫點M的極徑， 叫點M的極角，有序數對 ， 就叫點M的極坐標。這樣建立的坐標系.若點M在極點，則其極坐標為=0, 可以取任意值PMO圖1-2圖1-1PMO圖1-2圖1-1如圖1-2,此時點M的極坐標可以有兩種表示方法:同理,又由于一個角加2n同理,又由于一個角加2nZ后都是和原角終邊相同的角，所以一個點的極坐標不唯,那么除極點外，平面內的點和極坐標就可對應了。曲線的極坐標方程在極坐標系中，曲線可以用含有這兩個變數的方程0在極坐標系中，曲線可以用含有這兩個變數的方程0來表示，這種方程叫曲線的極坐標方程。求曲線的極坐標方程的方法與步驟：

4、10建立適當的極坐標系，并設動點 M的坐標為2寫出適合條件的點M的集合；3列方程，0;4。化簡所得方程；5。證明得到的方程就是所求曲線的方程。三種圓錐曲線統一的極坐標方程:yyFK的反向延長線FX為極軸,過點F作準線L的垂線，垂足為K ,FK的反向延長線FX為極軸,建立極坐標系。設M , 是曲線上任意一點，連結 MF ,作MA，L , MB，FX ,垂足分別為A, B .那么曲線就是集合p M也e .MA設焦點F到準線L的距離FK| P,由|MF1, | MA | BK P COS行ep cos即ep1 ecos這就是橢圓、雙曲線、拋物線的統一的極坐標方程。其中當 0 e 1時，方程表示橢 圓

5、，定點F是它的左焦點，定直線L是它的左準線。e 1時，方程表示開口向右的拋物線。 e 1時，方程只表示雙曲線右支，定點 F是它的右焦點，定直線L是它的右準線。若允許0,方程就表示整個雙曲線。極坐標和直角坐標的互化把直角坐標系的原點作為極點，X軸的正半軸作為極軸，并在兩種坐標系中取相同的 長度單位，設M是平面內任意一點，其直角坐標 x, y ,極坐標是 ，從點M作MN OX ,由三角函數定義，得x cos , y sin .圖1-4進一步有2 x2 y2,tg- x 0 x注：在一般情況下，由tg確定角 時，可根據點M所在的象限取最小角2極坐標在平面解析幾何中的應用極坐標法求到定點的線段長度解析

6、幾何中涉及到某定點的線段長度時，可以考慮利用極坐標法求解。但是絕大多數 解析幾何問題中題設條件是以直角坐標方程形式給出的，在求解過程中運算繁瑣復雜，將 此類問題轉化為用極坐標方程求解，十分簡潔，收到良好的效果。巧設極點，建立極坐標 系是解決問題的關鍵。以定點為極點如果題設條件與結論中，涉及到過某定點M的線段長度問題，應該取該點為極點， 先 將直角坐標原點移動到M點，施行平移公式、直角坐標與極坐標互化公式， 化普通方程為 極坐標方程求解。例1設等腰OAB的頂角為2，高為h ,在 OAB內有一動點 p ,到三邊OA例1設等腰OC的距離分別為PD、PF、OC的距離分別為PD、PF、PE ,并且滿足關

7、系 PD gPFPE2,求P點的軌跡。圖2-1解：如圖2-1解：如圖2-1所示，以O為極點，/ AOB的平分線為極軸，建立極坐標系，設P點極坐，則PDsinsinh cos由 PDgPFPE 2得2sinsin2 cos化簡得2h2 coscos，則PDsinsinh cos由 PDgPFPE 2得2sinsin2 cos化簡得2h2 coscosh22 cos化成直角坐標方程為h2 coshsin2 cos這是以0cos為圓心，以里 cos為半徑的圓，所求的軌跡是I圓在等腰 OAB內部的部分。以原點為極點如果題設條件或結論中涉及到直角坐標系原點的線段長度時，應選取原點為極點，應用互化公式，將

8、直角坐標方程轉化極坐標方程求解。 TOC o 1-5 h z 22例2已知橢圓土 L 1直線L: . 2 1, P是L上一點，射線OP交橢圓于R, 24 1612 8又點Q在OP上，且滿足OQgOP OR又點Q在OP上，且滿足OQgOP OR,當點P在L上移動時，求點Q的軌跡萬程，并說明軌跡是什么曲線。解：如圖2-2所示,以解：如圖2-2所示,以O為極點，OX為極軸,建立極坐標系則由互化公式知橢圓的極坐標方程為2 2 2cos23sin248直線L的極坐標方程為1,、P 2,2cos 3sin1,、P 2,2cos 3sin,則由(1)式知2448-2T-22cos3sin由(2)式知242c

9、os 3sin12,有所以24g2cos 3sin_22-2 cos 32cos2 . 所以24g2cos 3sin_22-2 cos 32cos2 . 2sin482 3sin24 cos 6 sin2x23y24x4y 02x 1522y 153x, y不同時為0點Q的軌跡是以1點Q的軌跡是以1為中心，長軸、短軸分別為 屬R5且長軸平行與x軸的橢圓,3去掉坐標原點以焦點為極點凡涉及圓錐曲線的焦半徑或焦點弦長度的問題，應選取焦點為極點（橢圓左焦點，雙曲線右焦點），應用圓錐曲線統一的極坐標方程求解。例3設O為拋物線的頂點，F為焦點，且PQ為過F的弦。已知|OF| a, PQ b求OPQ的面積。

10、圖2-3解：如圖2-3圖2-3解：如圖2-3所示，以F為極點,FO的反向延長線FX為極軸，建立極坐標系。則拋物線的極坐標方程為于是PQPFQF2a1 cos2a221 cos于是PQPFQF2a1 cos2a221 cos. 2 sin4a2a 4a2 21 cos sin、ab-1S opq PQ gOF sin2極坐標簡解與角有關的解析幾何題含有已知角或公共頂點的一類解析幾何題，運用極坐標系（或化直角坐標系為極坐標系）進行解題，常可避繁就簡，化難為易，達到事半功倍的效果。下面分類舉例說明2.2.1含有已知角，角頂點為極點求PQ例4已知P, Q在/ AOB的兩邊OA, OB上，/ AOB=y

11、 , POQ的面積為求PQ的中點M的軌跡方程。2，3解：以。為極點，OB為極軸，建立極坐標系，如圖2-4所示，設P 1, 0 , 2，32 sin 8 3因為S POMS QOM1s 2POQ所以1 sin ( 一 32 sin sin( 3)16代入(4)并化簡，得1 2 sin sin(3273即為所求。2.2.2含有已知角，坐標軸平移,化角頂點為極點例5已知曲線G: y Ji x122 g3得 ,頂點A (2, 0),點B是G122 g3得為斜邊的等腰直角三角形，頂點 A、B C按順時針排列，O為坐標原點，求|OC的最大值 及點C的坐標。iy*y圖2-5解：曲線G化為：x2 y2 1 y

12、,以點A為新坐標系原點，則曲線G為(x 2)2y2 1 y 02-5所示，則曲線G為2-5所示，則曲線G為(cos2)2sin以點A為極點，X軸的正方向為極軸，建立極坐標系。如圖設 B , ,C( , ),則sin代入(1)得sincos 一2sincossin所以點C的軌跡方程為(y2)2X 1故當OC過（3）的圓心 2,2時,OC的最大值為1 242 ,此時點C的坐標為極坐標法證明幾何定理在平面幾何證明中，極坐標法是一種重要的方法，應用十分廣泛，下面以部分平面幾 何中著名定理為例，談談極坐標法在證明中的應用。應用圓心是（a,0）,半徑是a的圓的方程 2acos來證明例6求證：圓內接四邊形兩

13、組對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積（托列迷定理）。設圓的半徑為a,證明：如圖2-6,以D為極點，DO設圓的半徑為a,則eO ：2a cosA(1, 1則eO ：2a cosA(1, 1)、 B( 2,2)、 C( 3,3）三點都在eO上,AD2 2acos 2,CD 32acos另由正弦定理得AB2asin 1BC2asin 22asinABgDD BCgDA4 a2sincossin 23AB2asin 1BC2asin 22asinABgDD BCgDA4 a2sincossin 23 cos2a2 sin 1sinsin 2sin 231 2a22a2sinsin2 .4a sin3 c

14、os 2 .4a sin3 cos 2ACgBD圖2-6應用極點在圓上，圓心為 a, 0的方程 2acos 0證明例7自圓上一點引三弦，并以它們各自為直徑畫圓。求證：所畫三圓的其它三交點共線(沙爾孟 salmon定理)。C1圖2-7CCC1圖2-7CC證明：如圖 2-7 , OA、OAi、OA2、OA3 分別是 eC、e Ci、e C2、e C3 的直徑，P、F2、自分 別是e C1與e C2、e C2與e C3、e C3與e G的交點，以O為極點，OA的延長線為極軸建立極1、2、3 ,則坐標系，為簡便計，設 OA 1,極軸與OAi、OA1、2、3 ,則OA cosp OAOA cosp OA

15、2 =cos2、OA3 =cos所以cos1cos(1)設Pi1 cos 12eC2:eC3：則由(1)、(2)cos 1 cos1cos1cos(1)設Pi1 cos 12eC2:eC3：則由(1)、(2)cos 1 cos1 cos 1coscoscos2 cos3 coscos1 cos 221 cos 2 22 cos 22 cos 2積化和2k 2 212k整數取k 0,得2 取k 0,得2 ,代入(1)中,得 cos 1 cos 2 .p1點坐標為(cos 1cos 2, 12).同理應用輪換得P2點坐標為(cos 2cos 3, 23),禽點坐標為(cos 3 cos 1 , 3

16、1).顯然印P2、P3三點坐標滿足法線式方程cos 123 cos 1 cos 2 cos 3故斗P2、P3三點共線，命題獲證。應用圓的極坐標方程、兩點或直線方程和法線式方程證明Sinson定理)。例Sinson定理)。圖2-8證明：如圖2-8,以P為極點，PO的延長線為極軸建立坐標系設AiA2A3的外接圓直徑為d ,則e O的方程為 圖2-8證明：如圖2-8,以P為極點，PO的延長線為極軸建立坐標系設AiA2A3的外接圓直徑為d ,則e O的方程為 d cos ,設頂點為A dcos i, i123i0,2sin 21 sin 2AA2的兩點式方程為sin 1d cos 2sin 2cos 2sin1 cos 1 d sin 21coscos 21一 sin2si