1、課時分層作業(四十二)空間點、直線、平面之間的位置關系一、選擇題1a，b，c是兩兩不同的三條直線，下面四個命題中，真命題是()A若直線a，b異面，b，c異面，則a，c異面B若直線a，b相交，b，c相交，則a，c相交C若ab，則a，b與c所成的角相等D若ab，bc，則acC若直線a，b異面，b，c異面，則a，c相交、平行或異面；若a，b相交，b，c相交，則a，c相交、平行或異面；若ab，bc，則a，c相交、平行或異面；由異面直線所成的角的定義知C正確故選C2(2021湖南湘潭高三期末)下列說法正確的是()A三點確定一個平面B如果一條直線平行于一個平面，則這條直線平行于這個平面內的任意一條直線C如

2、果一條直線與一個平面內的兩條相交直線垂直，則該直線與此平面垂直D平行于同一平面的兩條直線互相平行C三點共線時，不能確定一個平面，A錯；如果一條直線平行于一個平面，則這條直線與這個平面內的任意一條直線可能平行也可以異面，B錯；由線面垂直的判定定理知C正確；平行于同一平面的兩條直線可能平行，可能相交也可以異面，D錯3如圖是正方體或四面體，P，Q，R，S分別是所在棱的中點，則這四個點不共面的一個圖是()ABCDDA，B，C圖中四點一定共面，D中四點不共面4直線a與直線b相交，直線c也與直線b相交，則直線a與直線c的位置關系是()A相交 B平行C異面 D以上都有可能D如圖所示：在長方體ABCDA1B1

3、C1D1中，將直線a、b、c分別視為棱AB、AD、AA1所在直線，則直線a與直線c相交；將直線a、b、c分別視為棱AB、AA1、A1B1所在直線，則直線a與直線c平行；將直線a、b、c分別視為棱AB、AA1、A1D1所在直線，則直線a與直線c異面綜上所述，直線a與直線c相交、平行或異面5如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，若點E為BC的中點，點F為B1C1的中點，則異面直線AF與C1E所成角的余弦值為()Aeq f(2,3) Beq f(r(5),3)Ceq f(r(5),2) Deq f(2r(5),5)B不妨設正方體的棱長為1，取A1D1的中點G，連接AG，易知GAC1E，則FA

4、G(或其補角)為異面直線AF與C1E所成的角連接FG(圖略)，在AFG中，AGeq r(12blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)sup12(2)eq f(r(5),2)，AFeq r(12blc(rc)(avs4alco1(f(r(5),2)sup12(2)eq f(3,2)，FG1，于是cosFAGeq f(blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)sup12(2)blc(rc)(avs4alco1(f(r(5),2)sup12(2)12,2f(3,2)f(r(5),2)eq f(r(5),3)，故選B6(2021河南焦作高三模擬)如圖所示，點P在正方形ABCD所在的平面外

5、，PA平面ABCD，PAAB，則異面直線PB與AC所成的角是()A90 B60C45 D30B將其還原成正方體ABCDPQRS，PBSC，如圖，且SCACSAeq r(2)a，則ACS為正三角形，則AC與SC所成角為60，即PB與AC所成角為60二、填空題7已知AE是長方體ABCDEFGH的一條棱，則在這個長方體的十二條棱中，與AE異面且垂直的棱共有 條4如圖，作出長方體ABCDEFGH在這個長方體的十二條棱中，與AE異面且垂直的棱有：GH、GF、BC、CD共4條8(2021湖南長沙高三期中)已知正三棱錐ABCD中，BCeq r(2)AB，E是CD的中點，則異面直線BE與AD所成角的余弦值為

6、eq f(r(6),6)如圖所示：取AC中點F，連接BF，EF，則EFAD，所以BEF(或補角)即為異面直線BE與AD所成角，因為BCeq r(2)AB，所以三棱錐側棱兩兩垂直，所以EF平面ABC，則EFBF，設AB2eq r(2)，則BC4，EFeq r(2)，BE2eq r(3)，BFeq r(10)，cos BEFeq f(EF,BE)eq f(r(2),2r(3)eq f(r(6),6)9在下列四個圖中，G，N，M，H分別是正三棱柱的頂點或所在棱的中點，則表示直線GH，MN是異面直線的圖形有 (填序號) 圖中，直線GHMN；圖中，G，H，N三點共面，但M平面GHN，因此直線GH與MN異

7、面；圖中，連接MG，GMHN，因此GH與MN共面；圖中，G，M，N共面，但H平面GMN，因此GH與MN異面所以在圖中，GH與MN異面三、解答題10如圖所示，四邊形ABEF和ABCD都是梯形，BCeq f(1,2)AD，BEeq f(1,2)FA，G，H分別為FA，FD的中點(1)證明：四邊形BCHG是平行四邊形；(2)C，D，F，E四點是否共面？為什么？解(1)證明：由已知FGGA，FHHD，可得GHeq f(1,2)AD又BCeq f(1,2)AD，GHBC四邊形BCHG為平行四邊形(2)BEeq f(1,2)AF，G為FA的中點，BEFG，四邊形BEFG為平行四邊形，EFBG由(1)知BG

8、CH，EFCH，EF與CH共面又DFH，C，D，F，E四點共面11如圖所示，A是BCD所在平面外的一點，E，F分別是BC，AD的中點(1)求證：直線EF與BD是異面直線；(2)若ACBD，ACBD，求EF與BD所成的角解(1)證明：假設EF與BD不是異面直線，則EF與BD共面，從而DF與BE共面，即AD與BC共面，所以A，B，C，D在同一平面內，這與A是BCD所在平面外的一點相矛盾故直線EF與BD是異面直線(2)取CD的中點G，連接EG，FG，則ACFG，EGBD，所以相交直線EF與EG所成的角，即為異面直線EF與BD所成的角又因為ACBD，則FGEG在RtEGF中，由EGFGeq f(1,2

9、)AC，求得FEG45，即異面直線EF與BD所成的角為451在我國古代數學名著九章算術中，將四個面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑如圖，在鱉臑ABCD中，AB平面BCD，且ABBCCD，則異面直線AC與BD所成的角的余弦值為()Aeq f(1,2) Beq f(1,2) Ceq f(r(3),2) Deq f(r(3),2)A如圖所示，分別取AB，AD，BC，BD的中點E，F，G，O，連接EF，FO，OG，GE，GF，則EFBD，EGAC，FOOG，FEG或其補角為異面直線AC與BD所成的角設AB2a，則EGEFeq r(2)a，FGeq r(a2a2)eq r(2)a，EFG是等邊三角形，FE

10、G60，異面直線AC與BD所成角的余弦值為eq f(1,2)，故選A2(2019全國卷)如圖，點N為正方形ABCD的中心，ECD為正三角形，平面ECD平面ABCD，M是線段ED的中點，則()ABMEN，且直線BM，EN是相交直線BBMEN，且直線BM，EN是相交直線CBMEN，且直線BM，EN是異面直線DBMEN，且直線BM，EN是異面直線B如圖所示， 作EOCD于O，連接ON，過M作MFOD于F連接BF，平面CDE平面ABCD，EOCD，EO平面CDE，EO平面ABCD，MF平面ABCD，MFB與EON均為直角三角形設正方形邊長為2，易知EOeq r(3)，ON1，EN2，MFeq f(r(

11、3),2)，BFeq f(5,2)，BMeq r(7)BMEN連接BD，BE，點N是正方形ABCD的中點，點N在BD上，且BNDN又M為ED的中點，BM，EN為DBE的中線，BM，EN必相交故選B3如圖，E，F，G，H分別是空間四邊形ABCD各邊上的點，且AEEBAHHDm，CFFBCGGDn(1)證明：E，F，G，H四點共面；(2)m，n滿足什么條件時，四邊形EFGH是平行四邊形？(3)在(2)的條件下，若ACBD試證明：EGFH解(1)證明：因為AEEBAHHD，所以EHBD又CFFBCGGD，所以FGBD所以EHFG所以E，F，G，H四點共面(2)當EHFG，且EHFG時，四邊形EFGH為平行四邊形因為eq f(EH,BD)eq f