1、12022/9/67.1 解析變換的特性7.1.1 解析變換的保域性7.1.2 解析變換的保角性7.1.3 單葉解析變換的共形性第七章 共形映射22022/9/6定理7.1 (保域定理)設w=f(z)在區域D內解析且不恒為常數,則D的象G=f(D)也是一個區域.證 首先證明G的每一點都是內點.設w0G,則有一點z0D,使w0=f(z0).要證w0是G的內點,只須證明w*與w0充分接近時,w*亦屬于G.即當w*與w0充分接近時,方程w*=f(z)在D內有解.為此,考察 f(z)-w*=(f(z)-w0)+(w0-w*,)由解析函數零點的孤立性,必有以z0為心的某個圓C:|z-z0|=R,顯然 f

2、(z0)-w0=0,f(z)-w0在C上及C的內部(除z0外)C及C的內部全含于D,使得均不為零.因而在C上:7.1.1解析變換的保域性內的點w*及在C上的點z有對在鄰域32022/9/6因此根據儒歇定理,在C的內部與f(z)-w0有相同零點的個數.于是w*=f(z)在D內有解. 由于D是區域,可在D內部取一條聯結z1,z2的折線C:z=z(t) t1tt2,z(t1)=z1,z(t2)=z2.于是：就是聯結w1,w2的并且完全含于D的一條曲線.從而,參照柯西積分定理的古莎證明第三步,可以找到 其次,要證明G中任意兩點w1=f(z1),w2=f(z2)均可以用一條完全含于G的折線聯結起來.（連

3、通性）一條連接w1,w2,內接于 且完全含于G的折線1總結以上兩點,即知G=f(D)是區域.42022/9/6證 因f(z)在區域D內單葉,必f(z)在D內不恒為常數.定理7.2 設w=f(z)在區域D內單葉解析,則D的象G=f(D)也是一個區域.注 定理7.1可以推廣成這樣的形式:“w=f(z)在擴充z平面的區域D內除可能有極點外處處解析（即為亞純函數）,且不恒為常數,則D的象G=f(D)為擴充z平面上的區域.注 滿足定理7.2和7.3的條件的解析變換w=f(z)將z0的一個充分小的鄰域內變成w0=f(z0)的一個曲邊鄰域.定理7.3 設函數w=f(z)在點z0解析,且f (z0)0,則f(

4、z)在z0的一個鄰域內單葉解析.52022/9/67.1.2 解析變換的保角性導數的幾何意義設w=f(z)于區域D內解析,z0D,在點z0有導數通過z0任意引一條有向光滑曲線C:z=z(t)(t0tt1),z0=z(t0).因此C在z0有切線,就是切向量,經變換w=f(z) 的參數方程應為 則且必存在它的傾角為Cx0yzw=f(z)uv0wz0w0,C的象曲線由定理7.3及第三章習題(一)13, 在點w0=w(t0)的鄰域內是光滑的.又由于故 在w0=f(z0)也有切線，設其傾角為，則就是切向量,62022/9/6Cx0yzz0z0+z圖7.1w=f(z)uv0ww0w0+w且（7.1）（7.

5、2）如果假定x軸與u軸,y軸與v軸的正方向相同,而且將原曲線切線的正方向與變換后象曲線的切線正方向間的夾角,理解為原曲線經過變換后的旋轉角,則：(7.1)說明:象曲線 在點 的切線正向,可由原曲線C在點 的切線正向旋轉一個角度 得出。 僅與 有關,而與經過 的曲線C的選擇無關,稱為變換 在點 的旋轉角。導數輻角的幾何意義.(7.2)說明:象點間無窮小距離與原象點間的無窮小距離之比的極限是 ,它僅與 有關,而與過 的曲線C的72022/9/6方向無關,稱為變換w=f(z)在點 的伸縮率.這也就是導數模的幾何意義. 上面提到的旋轉角與C的選擇無關的這個性質,稱為旋轉角不變性;伸縮率與C的方向無關,

6、這個性質,稱為伸縮率不變性. 從幾何意義上看:如果忽略高階無窮小,伸縮率不變性就表示w=f(z)將 處無窮小的圓變成 處的無窮小的圓,其半徑之比為 . 上面的討論說明:解析函數在導數不為零的地方具有旋轉角不變性與伸縮率不變性.上式可視為82022/9/6經點z0的兩條有向曲線C1,C2的切線方向所構成的角稱為兩曲線在該點的夾角.Ox(z)z0定義7.1 若函數w=f(z)在點 的鄰域內有定義,且在點 具有:(1)伸縮率不變性;(2)過 的任意兩曲線的夾角在變換w=f(z)下,既保持大小,又z0z0z0保持方向;則稱函數w=f(z)在點 是保角的,或稱w=f(z)在點 是保角變換. 如果w=f(

7、z)在區域D內處處都是保角的，則稱w=f(z)在區域D內是保角的，或稱w=f(z)在區域D內是保角變換.z0z092022/9/6轉動角的大小與方向跟曲線C的形狀與方向無關. 所以這種映射具有轉動角的不變性. 通過z0點的可能的曲線有無限多條, 其中的每一條都具有這樣的性質, 即映射到w平面的曲線在w0點都轉動了一個角度Arg f (z0).OxyOuv(z)(w)z0w0102022/9/6相交于點z0的任何兩條曲線C1與C2之間的夾角,在其大小和方向上都等同于經w=f (z)映射后C1與C2對應的曲線G1與G2之間的夾角,所以這種映射具有保持兩曲線間夾角與方向不變的性質.這種性質稱為保角性

8、。yaOxOuv(z)(w)z0w0aC1C2G1G2112022/9/6定理7.4 如w=f(z)在區域 D內解析,則它在導數不為零的點處是保角的.推論7.5 如w=f(z)在區域D內單葉解析,則稱w=f(z)在區域D內是保角的.總結上述討論，我們有以下結論：例1求w= f(z)=z3 在 z=0, z=i 處的導數值,并說明幾何意義。解 w= f(z)=z3在全平面解析， 。在z=i 處具有伸縮率不變和保角性。伸縮率為3，旋轉角為 。122022/9/6定義7.2 如果w=f(z)在區域D內是單葉且保角的,則稱此變換w=f(z)在D內是共形的,也稱它為D內的共形映射. 7.1.3 單葉解析

9、變換的共形性定理7.6 設w=f(z)在區域D內單葉解析.則 (1)w=f(z)將D共形映射成區域G=f(D). (2)反函數 在區域G內單葉解析,且證 (1)由推論7.2,G是區域,由推論7.5及定義7.2,w=f(z)將D共形映射成G. (2)由定理6.11, ,又因w=f(z)是D到G的單葉滿變換,因而是D到G的一一變換.于是,當 時, ,即反函數 在區域G內單葉.故132022/9/6由假設f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在區域D內解析,即在D內滿足C.-R.方程ux=vy,uy=-vx.故 由數學分析中隱函數存在定理,存在兩個函數x=x(u,v),y=y(u,v)在點 及其一個

10、鄰域 內為連續，即在鄰域 中,當 時,必有故即142022/9/6在D內作以z0為其一個頂點的小三角形, 在映射下, 得到一個以w0為其一個頂點的小曲邊三角形, 這兩個三角形對應邊長之比近似為|f (z0)|, 有一個角相等, 則這兩個三角形近似相似.OxyOuv(z)(w)z0w0aaC1C2G1G2定理的幾何意義.152022/9/6OxyOuv(z)(w)z0w0aaC1C2G1G2162022/9/6第二節 分式線性變換 7.2.1 分式線性變換及其分解 7.2.2 分式線性變換的映射性質7.2.3 分式線性變換的應用172022/9/6(7.3)為分式線性變換.簡記為w=L(z).1

11、.定義7.2.1 分式線性變換及其分解稱變換注:條件ad-bc0是必要的。因若ad-bc=0,則 約定：w=L(z)的定義域為C：(7.4)結論w=L(z)將CCw=L(z)的逆變換為 w=L(z)在擴充z平面上是保域的182022/9/62. 分式線性變換 w=L(z)的分解結論：分式線性變換 w=L(z)可以分解為如下簡單變換的復合整線性變換旋轉變換伸縮變換平移變換反演變換關于單位圓周的對稱變換關于實軸的對稱變換192022/9/6O(z)(w)zwbi)w=z+b. 這是一個平移映射. 因為復數相加可以化為向量相加, z沿向量b的方向平移一段距離|b|后, 就得到w.O(z)=(w)zw

12、aii) w=az, a0. 這是一個旋轉與伸長(或縮短)的映射. 設 將 z 先轉一個角度a, 再將|z|伸長(或縮短) 倍后, 就得到 w.202022/9/6zw1w1O圓周的對稱點CPPrTOP與P關于圓周C互為對稱點212022/9/67.2.2 分式線性變換的映射性質1.保角性（或共形性）而i)與ii)是平移,旋轉和伸縮變換,顯然是共形的,所構成的復合映射w=az+b在整個擴充復平面上是共形的。定理一 分式線性變換在擴充復平面上是一一對應的, 且具有保角性.而分式線性變換是上述三種映射復合而構成的,因此有222022/9/6映射w=az+b和w=1/z都具有將圓周映射成圓周的特性,

13、 （這里將直線看作是無窮大半徑的圓）這種性質稱作保圓性。映射w=az+b顯然具有保圓性,下面說明w=1/z具有保圓性.2. 保圓性因此, 映射w=1/z將方程變為方程當a0,d0：圓周映射為圓周; 當a0,d=0：圓周映射成直線;當a=0,d0：直線映射成圓周；當a=0,d=0：直線映射成直線.這就是說, 映射w=1/z把圓周映射成圓周. 或者說, 映射w=1/z具有保圓性.232022/9/6定理二 分式線性變換將擴充 z平面上的圓周映射成擴充w平面上的圓周, 即具有保圓性. 根據保圓性, 在分式線性變換下, 如果給定的圓周或直線上沒有點映射成無窮遠點, 則它就映射成半徑為有限的圓周; 如果

14、有一個點映射成無窮遠點, 它就映射成直線.242022/9/6定義7.5 關于圓周 對稱是指 都在過圓心a的同一條射線上,且滿足此外,還規定圓心a與點關于 為對稱的。3. 保對稱點性定理7.11 擴充z平面上兩點 關于圓周 對稱的充要條件是,通過 的任意圓周都與 正交.定理7.12 設擴充z平面上兩點 關于圓周 對稱,w=L(z)為一線性變換,則 兩點關于圓周 對稱.證 設 是擴充w平面上經過 的任意圓周.此時,必然存在一個圓周 ,它經過 ,并使 ,因為 關于 對稱,故由定理7.11, 與 亦正交.這樣,再由定理7.11即知 關于 對稱.252022/9/6CRz0z1z2zG262022/9

15、/6當四點中有一點為時,應將包含此點的項用1代替.例如z1= 時,即有亦即先視z1為有限,再令 取極限而得.定義7.4 擴充平面上順序的四個相異點z1,z2,z3,z4構成下面的量,稱為它們的交比,記為(z1,z2,z3,z4): 4. 保交比性272022/9/6定理7.8 在線性變換下,四點的交比不變.證 設則因此定理7.9 設線性變換將擴充z平面上三個相異點z1,z2,z3指定為w1,w2,w3,則此分式線性變換換就被唯一確定,并且可以寫成 (7.10)(即三對對應點唯一確定一個線性變換).282022/9/6例1 求將上半平面Im(z)0映射成單位圓|w|0映射成單位圓|w|0映射成單

16、位圓|w|0映射成|w|0映射成單位圓|w|1且滿足 的分式線性變換.342022/9/6352022/9/6x1y(z)OOuv(w)1a例4 求將單位圓|z|1映射成單位圓|w|1的分式線性變換.362022/9/6解 設z平面上單位圓|z|1內部的一點a映射成w平面上的單位圓|w|1的中心w=0. 這時與372022/9/6所以 |k|=1, 即k=eij. 這里j是任意實數.由于z平面上單位圓周上的點要映成w平面上單位圓周上的點, 所以當|z|=1,|w|=1. 將圓周|z|=1上的點z=1代入上式, 得因此, 將單位圓|z|1映射成單位圓|w|1的分式線性映射的一般表示式是38202

17、2/9/6 反之, 形如上式的映射必將單位圓|z|1映射成單位圓|w|1. 這是因為圓周|z|=1上的點z=eiq (q為實數)映射成圓周|w|=1上的點:同時單位圓|z|1內有一點z=a映射成w=0.所以(6.3.5)必將單位圓|z|1映射成單位圓|w|0 的分式線性變換.解 由條件w(1/2)=0知, 所求的映射要將z=1/2 映射成|w|1的中心. 所以由(6.3.5) 得402022/9/6解 容易看出, 映射z=(w-2i)/2將|w-2i|2映射成|z|0映射成|z|0映射成|w-2i|2且滿足條件 的分式線性變換.412022/9/62i(z)O(z)2i(w)w=2(i+z)4

18、22022/9/6 第三節 某些初等函數所構成的共形映射7.3.1 冪函數與根式函數7.3.2 指數函數與對數函數7.3.3 由圓弧構成的兩角形區域的共形映射432022/9/6(7.15)其中 為大于1的自然數。除了 及 外，它處處具有不為零的導數，因而在這些點是保角的。7.3.1 冪函數與根式函數冪函數 因為(7.15)的單葉性區域是頂點在原點張度不超過 的角形區域。于是冪函數(7.15)將角形區域 共形映射成角形區域 .特別地， 將角形區域 共形映射成w平面上除去原點及正實軸的區域。442022/9/6O(z)q0O(w)nq0w=zn(z)(w)OO上岸下岸w=zn452022/9/6

19、7.3.1 冪函數與根式函數(7.16)作為 的逆變換將w平面上的角形區域 共形映射成z平面上的角形區域 .于是 和 的映射特點是擴大與縮小角形域。例1 求把角形域0arg zp/4映射成單位圓|w|1 的一個映射.解 z=z4將所給角形域0arg z0. 又從上節的例2知, 映射將上半平面映射成單位圓|w|1,因此所求映射為462022/9/6(z)OO(z )1(w)z = z4472022/9/6例2 求一個將映射為單位圓|w|1的映射。解482022/9/6例3 求把下圖中由圓弧C2與C3所圍成的交角為a的月牙域映射成角形域j0arg wj0+a的一個映射.aj0(w)O1C1C2a(

20、z)O-iiaO(z)1492022/9/6解 令C1,C2的交點z=i與z=-i分別映射成z平面中的z=0與z=, 將所給月牙域映射成z平面中的角形域的映射是具有以下形式的分式線性函數:其中k為待定的復常數。502022/9/6在任意有限點均有 ，因而它在z平面上是保角的。7.3.2 指數函數與對數函數指數函數(7.17) 因為（7.17）的單葉性區域是平行于實軸寬不超過 的帶形區域。于是指數函數（7.17）將帶形區域 共形映射成角形區域 .特別地， 將帶形區域 共形映射成w平面上除去原點及正實軸的區域。作為 的逆變換將w平面上的角形區域 共形映射成z平面上的帶形區域 .512022/9/6

21、aiOxy(z)arg w=auOv(w)2piOxy(z)Ouv(w)w=ezz=lnw522022/9/6由指數函數w = e z 所構成的映射的特點是: 把水平的帶形域0Im(z)a(ap)映射成角形域0arg wa. 例4 求把帶形域0Im(z)p映射成單位圓|w|1的 一個映射.z=e z532022/9/6例5 求映射把如圖所示的半帶狀域映成上半單位圓。1-11-1542022/9/6O(z)ab(w)Opi(z)Ow=ezO(s)b-aO(t)(b-a)i例6 求把帶形域aRe(z)0的一個 映射.552022/9/6xOy(z)C(a+ih)BDaOuv(w)a-haa+hBC

22、D例7 求把具有割痕Re(z)=a, 0Im(z)h的上半平面映射成上半平面的一個映射.562022/9/6xOy(z)C(a+ih)BDaOuv(w)a-haa+hBCDO(z1)CBDih-h2COBD(z2)COBh2D(z3)O(z4)CBD-h+hz1=z-az2=z12z3=z2+h2w=z4+a572022/9/6解 不難看出, 解決本題的關鍵顯然是要設法將垂直于x軸的割痕的兩側和x軸之間的夾角展平. 由于映射w=z2能將頂點在原點處的角度增大到兩倍, 所以利用這個映射可以達到將割痕展平的目的.首先, 把上半z平面向左平移一個距離a:z1=z-a. 第二, 由映射z2=z12,

23、得到具有割痕-h2Re(z2)+, Im(z2)=0的z2平面. 第三, 把z2平面向右作一距離為h2的平移: z3=z2+h2, 便得到去掉了正實軸的z3平面.582022/9/6 由于分式線性變換的保圓性，它把已給兩角形區域共形映射成同樣形狀的區域、或弓形區域、或角形區域。只要已給圓周（或直線）上有一個點變為w=，則此圓周（或直線）就變成直線。如果它上面沒有點變成w=，則它就變為有限半徑的圓周。所以，若二圓弧的一個公共點變為w=，則此二圓弧所圍成的兩角形區域就共形映射成角形區域。 借助于分式線性函數，以及冪函數或指數函數的復合，可以將二圓弧或直線段所構成的兩角形區域，共形映射成一個標準區域

24、，比如上半平面。7.3.3 由圓弧構成的兩角形區域的共形映射592022/9/6x1-ii-1C1C2y(z)O解 所設的兩個圓弧的交點為-i與i, 且相互正交. 交點-i映射成無窮遠點, i映射成原點. 因此所給的區域經映射后映射成以原點為頂點的角形區域, 張角等于 .602022/9/6此點在第三象限的分角線C1上. 由保角性知C2映射為第二象限的分角線C2.x1-ii-1C1C2y(z)OC2C1Ouv(w)映射的角形區如圖所示612022/9/6 第四節 關于共形映射的黎曼存在定理和邊界對應定理 7.4.1 黎曼存在定理7.4.2 邊界對應定理622022/9/67.4.1 黎曼存在定理注(1)唯一性條件(7.19)的幾何意義是:指定aD變成單位圓的圓心,而在點a的旋轉角 .它依賴于三個實參數.定理7.13 (黎曼存在與唯一性定理) 擴充z平面上的單連通區域D,其邊界點不止一點,則有一個在D內的單葉解析函數w=f(z),它將D保形變換成單位圓|w|1;且當滿足條件時,這種函數f(z)就只有一個.(2