1、完全四點（線）形的調和性質在初等幾何證題中的應用數(shù)學學院 數(shù)學與應用數(shù)學（師范）專業(yè)2008級 楊春燕指導教師劉學文摘 要：高等幾何是初等幾何的延伸，它為初等幾何提供了理論依據(jù)，拓展了初等幾何 的解題途徑，開闊了學習初等幾何的視野，因此，很有必要了解高等幾何在中學數(shù)學解題中 的應用。本文對高等幾何中的完全四點（線）形的調和性質進行了歸納整理，并從初等幾何 與高等幾何之間的本質聯(lián)系出發(fā)，主要討論了完全四點（線）形的調和性質應用于初等幾何 中某些證題問題的指導性作用。關鍵詞：完全四點形；完全四線形；調和性質；初等幾何Abstract： Higher geometry is that the ele

2、mentaru geometry of extension, it is several for elementaru geometry provided a theory basis, expanded elementaru geometry several of solution path, spacious the elementaru geometry is several the study visual field of.Therefore, have much of necessity understand Higher geometry where the usage in h

3、igh school mathematics. This text carried on to induce a sorting to the complete quadrangle（quadrilateral）s Concordance property, and several from the elementaru geometry and Higher geometry of the essence contact of set out and mainly discussed that the complete quadrangle（quadrilateral）s Concordan

4、ce property is applied to elementary grade several win some functions of problems.Key words: complete quadrangle（quadrilateral）; harmomic property; elementaru geometry.1引言高等幾何是高等師范院校數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)的一門重要基礎課。由于 該課程的抽象化、邏輯化程度較深，學起來要困難一些，因此大多數(shù)高師類數(shù)學 與應用數(shù)學專業(yè)的學生都怕學這門課程，甚至認為學好了高等幾何用處也不大， 于是抱著一種敷衍的態(tài)度學習高等幾何，但任由這種觀念

5、傳播顯然對培養(yǎng)中 學教師是十分有害的。實際上，要成為合格的中學數(shù)學教師，教好中學數(shù)學，就 應有全面的數(shù)學素質，而高等幾何對中學數(shù)學教師幾何基礎的培養(yǎng)、解題觀 點的提高、思維方法的多樣化等都起著重要作用，而且從邏輯上講，高等幾何是 初等幾何的延伸，它為初等幾何提供了理論依據(jù)，拓展了初等幾何的解題途徑， 豐富了初等幾何的研究方法，開闊了初等幾何的學習視野。比如，初等幾何中的 點共線與線共點問題，是教學中的一個重點，也是一個難點，如果單純用初等幾 何的方法去解決，有時會覺得非常復雜，若采用高等幾何的方法去思考問題，不 僅可為解題帶來了極大的方便，也可在方法上為解決初等幾何的問題開辟新的思 路。同理“

6、交比和調和共軛”與射影幾何的各部分內容密切相關，運用其概念和 有關性質，可以比較簡單地解決初等幾何問題，比如著名的“蝴蝶定理”用交比 來證明比較簡便，基于這些原因，本文將針對利用完全四點（線）形的調和性質 在初等幾何證題中的應用舉出大量實例，對“高等幾何”在“初等幾何”中的應 用進行探討，以引起將來要從事中學數(shù)學教學的師范類大學生的高度重視。2完全四點（線）形的概念2.1完全四點形定義1 1：平面內無三點共線的四點及其兩兩連線所構成的圖形稱為完全四 點形，記作完全四點形ABCD。定義1 1： 完全四點形含四點六線，每一點稱為頂點，每一直線稱為邊， 不過同一頂點的兩邊稱為對邊，有三組對邊，每一對

7、對邊的交點稱為對角點，三 個對角點構成的三角形稱為對角三點形。如圖2-1中，在完全四點形ABCD中，A，B，C，D是四頂點，AB，AC， AD，BC，BD，CD分別是六邊，AB與CD，BC與AD，BD與AC分別為三組 對邊，Q，P，R分別為三個對角點，三角形QPR是對角三點形。2.2完全四線形定義2i：平面內無三線共點的四直線及其兩兩交點所構成的圖形。稱為完全四線形，記作完全四線形abcd。定義2 i： 完全四線形含四線六點，每一直線稱為邊，每一點稱為頂點， 不在同一邊上的兩個頂點稱為對頂點，共有三組對頂點，每一對對頂點的連線稱 為對角線，三條對角線構成的三角形稱為對角三線形。如圖2-2中，在

8、完全四線形abcd中，CH，HM，CF，GF為四邊，C，H， F，G，D，M分別為六個頂點，C與D，H與F，G與M分別為三組對頂點， CD，HF，GM分別為三組對角線，三角形BAE是對角三線形。圖2-2完全四線形2.3交比的定義定義3i：設a，b，c，d是在射影平面上一點列的四個不同點，則有，=氣(。)+ X 2(b)，=出(a) + 四 2(b).我們定義此共線的四點。,d的交比（ab； cd）為:(ab；cd)=其中a , b稱為基礎點，c , d稱為分點。定義4m在仿射平面上，共點四直線&（,）的方向數(shù)為k （i = 1，2,3,4），則，(& (1)& (2)； & (3)&(4)=(

9、k 3 - k )(k 4 - k 2)(k 3 - k 2)(k 4 - k 1)定義5門：我們規(guī)定，當（ab； cd）= -1時，四點a，b，c，d構成調和比，并稱點對a，b與點對c，d成調和共軛，-1稱為調和比。3完全四點（線）形的調和性質3.1完全四點形的調和性質定理11：設s、s，是完全四點形ABCD的一對對邊，它們的交點是對角點X， 若X與其它對角點的連線是t、t，則有（ss ttf） = -1。推論1m在完全四點形的對角三點形的一邊上，三角形的兩頂點，四點形的其他兩邊與此邊的兩交點，四點成調和共軛，調和比為- 1。如圖 2-1 中，（QR； YZ） = -1，（PQ； XE） =

10、 -1 等。推論2m 在完全四點形的每條邊上有一組調和共軛點，其中兩個點是完全 四點形的頂點，一個點是對角三點形的頂點，另一個點是這個邊與對角三點形的 邊的交點。如圖 2-1 中，（AB； YP） = -1，（AD； ER） = -1 等。3.2完全四線形的調和性質對偶地，可以得出完全四線形的調和性質。定理21：設C、D是完全四線形abcd的一對對頂點，它們的連線是對角線x，若x與完全四線形的邊的交點是A、B，則有（AB； CD） = -1。推論1m在完全四線形的每個頂點上，都有一組調和線束，其中兩條邊是通過此點的兩邊，一條是通過此點的對角線，另一條是這個頂點與對角三線形另 一頂點的連線。如圖

11、 2-2 中，F(xiàn)（BA； CD） = -1 等。推論21：通過完全四線形的對角三線形的一頂點，三線形的兩邊，四線形的其他兩頂點與此頂點的連線，四直線成調和共軛。如圖 2-2 中，E（BA； CD） = -1 等。4應用完全四點（線）形的調和性解初等幾何問題利用上述性質我們可以較為簡單明了地解決許多初等幾何的問題，以使得初 等幾何與高等幾何的學習能夠融會貫通，并從中體現(xiàn)高等幾何對初等幾何的指導 作用。完全四點（線）形是初等幾何中四邊形的推廣，這里圖形只考慮點線結合關 系，為我們簡化計算提供了可能。完全四點（線）形的調和性在初等幾何中有著廣泛的應用，是應用高等幾何知 識解決初等幾何問題的一條重要通

12、道。在初等幾何中有大量的問題涉及到平分線 段、平分角度、點線結合關系（線共點、點共線）、直線的平行性、比例線段等 概念。對于這類問題，可以運用完全四點（線）形的調和性，由特殊到一般，化繁 為簡地加以解決，從而達到事半功倍的效果。4.1證明平分線段問題在初等幾何中，證明兩條線段相等是一種最常見的題型，證明的方法也有很 多：1.利用等腰三角形的判定和三線合一性質；2.利用全等三角形的性質；3.利 用線段垂直平分線，角平分線的性質；4.利用平行線等分線段定理；5.利用特殊 四邊形的性質；6.利用面積；7.利用成比例線段；8.利用圓中關于等線段的定理（垂 徑定理；切線長定理；在同圓或等圓中，等弧對等弦

13、、弦心距等弦等、弦等弦心 距等）；9.利用中間量；10.利用相等線段的和差；11.利用三角函數(shù)。以上是在初等幾何中解平分線段題常用的方法。有的題簡單，方法單一，但 有的難題往往要綜合利用證明線段相等的多種方法逐步解決，因此采用初等幾何 方法證明思路較難，而完全四點（線）形的調和性卻可以比較簡捷地解決這些平分 線段問題。例1 如圖4-1，已知四邊形ABCD中，AB與CD交于E，AD與BC交于F， AC 與 EF 交于 N，BD EF，求證 EN = NF。用初等幾何知識，我們只知道BD EF這一個條件，其他條件看似無用，但依 靠這一個已知條件很難證明到結論，下面考慮用完全四點形的調和性來解決。證

14、明：如圖所示，在四邊形ABCD中，BD EF，設BD與EF交于，視四 邊形ABCD是一個完全四點形，則MN為完全四點形ABCD的對邊三點形的一條 邊，由完全四點形ABCD的調和性質知（EF； NP斜=-1，所以有（EFN） = EN / FN =-1，從而N是EF的中點。所以N為EF的中點。即EN = NF。化為完全四點（線）形的問題，運用線段中點與線段所在直線上的無窮遠點的調和關系以及完全四點（線）形的調和來處理。4.2證明線線平行問題初等幾何中證明線線平行問題最常用的方法有：1.利用平行線傳遞；2.利用 角平分線傳遞；3.利用等積關系（或面積比）傳遞；4.應用相似形傳遞5.利用向 量。那么

15、怎樣用完全四點（線）形的調和性來進行證明呢？例2在三角形ABC的中線AD上任取一點H，延長BH交AC于E，延長CH 交AB于F求證EF BC。圖4-2線線平行證明：如圖4-2，設EF與BC交于點6，考察完全四點形BCEF，由完全四點形 的調和性質，有（BC； DG） = -1，即（BCD） = （BCG） = -1，而已知點D為線段BC中 點，有（BCD） = -1，從而得（BCG） = -1，故點G為直線BC上的無窮遠點，即EF 與BC交于無窮遠點，從而得證EF BC。因此得到，證明線線平行問題，也是運用線段中點與線段所在直線上的無窮 遠點以及其完全四點（線）形的調和性處理。由前面的討論不難

16、看出，線段相等和線線平行之間的聯(lián)系：對于同一個問題， 它們可以通過添加無窮遠點和完全四點（線）形的調和性聯(lián)系起來。4.3證明線共點、點共線問題完全四點形中有諸多的調和共軛線束和調和共軛點列，圖2-1，完全四點形 ABCD中，三角形QPR為對角三點形。則調和共軛線束是以Q、P、R為中心的 三組線束。調和共軛點列在完全四點形的六條邊及對邊三點形的三條邊上。正因為完全四點形有著諸多的調和共軛關系和點線結合關系，所以它可以幫 助我們解決某些初等幾何中的點線結合問題。4.3.1證明線共點問題在初等幾何中證明線共點的方法有：1.利用已知線段中點、內定比分點、外 定比分點的唯一性；2.利用已知四邊形對角線交

17、點的唯一性；3.利用已知點關于 定點的對稱點的唯一性；4.利用三角形各心的唯一性。用調和性處理起來更為簡便。例3設X、Y、Z是完全四點形ABCD的三個對角點，XZ分別交AC、BD 于L、M，證明YZ、BL、CM共點。（1）（2）圖4-3-1線共點證明：如4-3-1圖（1），在完全四點形ABCD中，據(jù)推論知，邊AC上的四 個點A、C、Y、L是一組調和共軛點，即（AC； YL） = -1。又在完全四點形YBZL 中，設LB與YZ交于N，MN交YL于C，據(jù)推論知，邊YL上的四點Y、L、C、 A 是一組調和點，即（YL； AC。= -1。由于（YL； AC。= （YL； AC），故 C 三 C，所 以

18、YZ、BL、CM共點于N。例4求證三角形三中線共點。已知：三角形ABC中，AD，BE，CF分別為三角形ABC的中線，求證AD， BE，CF共點。證明：如4-3-1圖（2），設BE交CF于A，AO交BC于D1，由EF BC，設 F交BC于無窮遠點Pg。在完全四點形AFOE中（或完全四線形ABOC中），根據(jù) 調和性質，有（BC； Dp） = -1，故D1為BC的中點，因此D和D1重合。即AD，BE , CF共點。4.3.2證明點共線問題在初等幾何中證明點共線的方法有：1.利用四點共圓，在圓內主要由角相等 或互補得到共線；2.利用面積法；3.利用同一法，盡管同一法是一種間接證法， 但它卻是一種很有用

19、的證法；4.利用位似形的性質；5.利用反證法，有的幾何題 利用直接證法很難，而用反證法卻能很快達到預期目的。運用完全四點（線）形的調和性來解決點共線問題，就要先選取共線的四點、 共點的四條直線或者一個完全四點（線）形，然后再根據(jù)調和性質解決問題。已知：如4-3-2圖（1），在三角形ABC中，ZACB外角平分線交AB于E，/BAC外角平分線BC交于F，ZABC外角平分線交AC于G，求證E，F(xiàn)，G三 點共線。證明：設P為內角平分線AA1，BB1，CC1的交點，AB與A1 B1，BC與B1C 1， AC與A1C分別交于E 1，F(xiàn) 1，G1，根據(jù)德沙定理，則E 1，F(xiàn) 1，G1三點共線。又ZACB 外

20、角平分線交AB于E，ABAC外角平分線交BC于F，ZABC外角平分線交AC于 G，因此有（BA； C1E） = 1，（BC； A1F） = 1，（AC； B1G） = 1。在完全四點形 ABAB中（或完全四線形APBC中），根據(jù)調和性質有（BA； CE） = 1，因此（BA； C 1E） = （BA； C 1E1），故E和E1重合。同理F和F1重合，G和G1重合。所以E ,F，G三點共線。例6 如4-3-2圖（2），已知梯形ABCQ，對角線AC、BD交于G , F、H 為AD、BC的中點，BA、CD的延長線交于E。求證E、F、G、H四點共線。證明：若E、F、G、H四點共線，則在梯形ABCD中，

21、AD BC，兩腰延 長線及對角線分別交于E，G，且EG交AD，BC分別于點F，H，因此要證E、 F、G、H四點共線，只需證F，H為AD，BC的中點。在完全四點形ABCD中，設AD與BC交與無窮遠點P，根據(jù)調和性質，則有 （AD； FP=1，故（ADF） = 1，即F為AD中點。同理可證H為BC的中點。初等幾何中的許多難于解決的共點線與共線點問題，利用調和性來證明，方 法較初等幾何方法更簡便解決起來要方便得多。由以上例題，說明處理共點、共線的問題，最常用的方法：1.把四邊形視為 四點形或四線形；2.用重合法進行證明。4.4證明平分角度問題初等幾何中證明角相等的方法有：1.利用全等三角形（或相似三

22、角形）對應 角相等；2.在同圓或等圓中，等弧（或等弦）所對的圓心角和圓周角都相等；圓 內接四邊形的外角與它的內對角相等；弦切角與它所夾弧對的圓周角相等。那么，用完全四點形的調和性是否也能簡便地解決此類問題呢？例7在四邊形ABCD中，對角線AC平分ZBAD，在CD上取一點E，BE與 AC相交于F，延長DF交BC于G，求證ZGAC = ZEAC。證明：如4-4圖（1），過A作AC的垂線與BD交于S，SD交AC于T，所以 AT與AS分別是ZBAD的內、外角平分線，因此有（BD； TS） = 1。連GE交BD于 S1，GE交AC于R。在完全四點形CEFG中（或完全四線形DFBC中），根據(jù)調 和性質有（

23、BD； TS 1） = 1，因此（BD； TS） = （BD； TS 1），所以S和S 1重合。又AC AS，且（GE； RS） = （BD ； TS），因此AC與AS是Z EAG的內、外角平分線，所以 ZGAC = ZEAC。Q（1）圖4-4平分角度例8R，則DA是ZRDQ的內角平分線。證：如4-4圖（2）,設DQ交BA于S , J在完全四點形ABDQ中（或完全四線AB 于 Q ,P是三角形ABC的高AD上任意一點,/Bp形 APBC 中），有（RS； AB） =-1 ,故 D（ RQ； BA） =-1 ,又因為 AD BD ,所以 DP與DB分別是ZRDQ的內、外角平分線，所以DA是ZRD

24、Q的內角平分線。由以上兩例不難看出，利用完全四點（線）形的調和性解決某些初等幾何平分 角問題時，主要在于完成兩個步驟：一是構造四邊形，得到四條直線調和分割;二是設法建立交錯二直線相互垂直關系，再用調和性證明，由此即可證明平分角 結論。4.5證明比例線段問題初等幾何中證明線段成比例的方法有：1.三點定形法：利用分析的方法，由 欲證的比例式或等積式轉化為比例式，尋找相似三角形，這是證明線段成比例問 題最基本的方法之一，一般是找到以四條成比例線段為邊的兩個三角形，再證明 這兩個三角形相似；2.等量代換法：當需要證明的成比例的四條線段不能構成相 似三角形時，往往需要進行等量代換，包括“線段的代換”或利

25、用“中間比”進 行代換；3.輔助線法：利用輔助線來轉移比例是證明線段成比例的有效方法；4. 以上方法都難以解決時，把等比化成等積，更易于求解。用調和性也能證明此類題型。1例9 已知在ABCD中，點E是AB的中點，EF父AC于G , AF = -DF,2求證：AG = 1 AC.5圖4-5比例線段證明：如圖4-5，連BD交AC于H，過E作EE BD交AD于E，連EG交AB 于F，連FF交AC于A，視AFGF為完全四點形。因E為AB中點，且EE BD，所以EE為三角形ABD的中位線，A為EE中 點，由初等幾何知識易證 EE FF，所以AF / AE = AA/ AA”，AF = 0.5AD， AE

26、，= 0.5AD，AAr/AA = 2/3，在完全四點形AFGF中（或完全四線形AEGE中）， 由定理，得（AG； AA） = l。即（AG； 3）=些=土竺仁-AA GA AA”.（A G 2 AA） TOC o 1-5 h z 114 11即AG = -AA， 又AA= AH = -AC，所以 AG = x AC = -AC。245 45由此題的證明，不難得到更一般性的結論成立。11推廣：在ABCD中，E在AB上，F(xiàn)在AD上，AE = AB 且 AF =-AD， mn1EF 交 AC 于 G，貝U AG =AC。m + n5利用完全四點（線）形的調和性解作圖問題我們知道，一直線l上的點偶P P 2與Qi，Q 2成為調和共軛的充要條件是“ P 和P2是一個完全四點形的對角點，0和Q2是通過第三個對角點的一組對邊與i的 交點”。為此，可通過完全四點形的作圖來作第四調和點。例10僅用無刻度的直尺作A，B，C的第四調和點D。作法：1.過A，B各任作一直線交于點S ；過C任作一直線交SA，SB分別于點P，Q ；連結AQ、BP交于點R ；連結SR交AB于點D，則點D為所求作的點。如果過C再任作一直線交SA，SB于點P，Q，連結AQ，BQ交于R。由A， B，C第四調和點D的唯一性可知S，R，R，D共線。如果再過A、B各任作 一直線交于點S過C任作一直