1、 ACD（新課標）備戰高考數學二輪復習難點 2.8 立體幾何中的折疊問題、最值問題和探索性問題教學案文立體幾何中的折疊問題、最值問題和探索性問題對立體幾何中的折疊問題、最值問題和探索性問題，要求學生要有較強的空間想象力和準確的計算運算能力，才能 順利解答從實際教學和考試來看，學生對這類題看到就頭疼分析原因，首先是學生的空間想象力較弱，其次是學生對這類問題沒有形成解題的模式和套路，以至于遇到類似的題目便產生畏懼心理本 文就高中階段學習和考試出現這類問題加以總結的探討1立體幾何中的折疊問題折疊問題是立體幾何的兩個重要問題，這兩種方式的轉變正是空間幾何與平面幾何問題轉化的集中體現.處理這類題型的關鍵

2、是抓住兩圖的特征關系.折疊問題是立體幾何的一類典型問題是實踐能力與創新能力考查的好素材.解答折疊問題的關鍵在于畫好折疊前后的平面圖形與立體圖形，并弄清折疊前后哪些發生了變化，哪些沒有發生變化.這些未變化的已知條件都是我們分析問題和解決問題的依據.而表面展開問題是折疊問題的逆向思維、逆過程，一般地，涉及到多面體表面的問題，解題時不妨將它展開成平面圖形試一試.例【河南省中原名校 2018 屆第五次聯考】如圖甲，在四邊形 ABCD 中， AD 2 3, CD 2 ， ABC是邊長 為 4 的正 三角形，把ABC沿AC折起到PAC的位置，使得平面PAC 平面ACD，如圖乙所示，點 O, M , N 分

3、別為棱 AC , PA, AD的中點（1）求證： AD 平面 PON ；（2）求三棱錐 M ANO 的體積思路分析：（1）在正三角形 APC 中可得 PO AC ，有根據題意得到 PO 平面 ACD ，從而得 PO AD ，計算可得 AD CD 由 O , N 分別為棱 AC , AD 的中點，得到ON / / CD ，故 ON AD 根據線面垂直的判定定理可得 AD 平面PON（2）由條件得SACD2 3，故SNAO1 3S 4 2，又可得點 M 到平面 ANO 的距離為 h 12OP 3，故可求得三棱錐 M ANO 的體積1 / 5 3 3 65 6 3 6 5 65 （新課標）備戰高考數

4、學二輪復習難點 2.8 立體幾何中的折疊問題、最值問題和探索性問題教學案文點評：本題考查了直線與平面、平面與平面垂直的判定與性質，以折疊問題為載體，折疊問題是考查學生空間想象能力的較好載體.如本題，不僅要求學生象解常規立幾綜合題一樣懂得線線，線面和面面垂直的判定方法及相互轉化，還要正確識別出折疊而成的空間圖形，更要識得折前折后有關線線、線面位置的變化 情況以及有關量（邊長與角）的變化情況，否則無法正確解題這正是折疊問題的價值之所在2立體幾何中的最值問題解決空間圖形有關的線段、角、距離、面積、體積 等最值問題，通常應注意分析題目中所有的條件，首先應該在充分理解題意的基礎上，分析是否能用公理與定義

5、直接解決題中問題;如果不能，再看是否可將問題條件轉化為函數，若能寫出確定的表意函數，則可用建立函數法求解;再不能，則要考慮其中是否存在不等關系，看是否能運用解等不式法求解;還不行則應考慮是否可將其體圖展開成平面，這樣依次順序思考，基 本可以找到解題的途徑例 2【寧夏育才中學 2018 屆第三次月考】一個棱長為 5 的正四面體（棱長都相等的三棱錐）紙盒內放一個 小正四面體，若小正四面體在紙盒內可以任意轉動，則小正四面體棱長的最大值為_【答案】53【解析】設大正四面體的內切球半徑為 r，則1 1 3 1 1 3 4 r 52 53 2 2 3 2 22 525 3 2解得r 5 612.設小正四面

6、體棱長的最大值為x，內切球為小正四面體的外接球，則r22 2 2 x x r ，即 3 3 12 32 2x x ，解得 x . 3 12 32 / 5（新課標）備戰高考數學二輪復習難點 2.8 立體幾何中的折疊問題、最值問題和探索性問題教學案文點評：本題考查了球與幾何體的問題，是高考中的重點問題，要有一定的空間想象能力，這樣才能找準關系，得到結果，一般外接球需要求球心和半徑，首先應確定球心的位置，借助于外接球的性質，球心到各頂點距離相等，這樣可先確定幾何體中部分點組成的多邊形的外接圓的圓心，過圓心且垂直于多邊形所在平面的直線上任一點到多邊形的頂點的距離相等，然后同樣的方法找到另一個多邊形的各

7、頂點距離相等的直線（這兩個多邊形需有公共點），這樣兩條直線的交點，就是其外接球的球心，再根據半徑，頂點到底面中心的距離，球心到底面中心的距離，構成勾股定理求解，有時也可利用補體法得到半徑，例：三條側棱兩兩垂直的三棱錐，可以補成長方體，它們是同一個外接球.立體幾何中經常碰到求最值問題，不少學生害怕這類問題，主要原因是難以將立體幾何問題轉化為平面幾何問題或代數問題去求解，對立體幾何的最值問題，一般可以從兩方面著手：一是從問題的幾何特征入手，充分利用其幾何性質去解決；二是找出問題中的代數關系，建立目標函數，利用代數方法求目標函數的最值解題途徑很多，在函數建成后，可用一次函數的端點法、二次數的配方法、

8、公式法、有界函數界值法（如三角函數等）及高階函數的拐點導數法 等3立體幾何中的探索性問題探究性問題常常是條件不完備的情況下探討某些結論能否成立，立體幾何中的探究性問題既能夠考查學生的空間想象能力，又可以考查學生的意志力及探究的能力近幾年高考中立體幾何試題不斷出現了一些具有探索性、開放性的試題內容涉及異面直線所成的角，直線與平面所成的角，二面角，平行與垂直等方面，對于這類問題一般可用綜合推理的方法、分析法、特殊化法和向量法來解決一般此類立體幾何問題描述的是動態的過程，結果具有不唯一性或者隱藏性，往往需要耐心嘗試及等價轉化，因此，對于常見的 探究方法的總結和探究能力的鍛煉是必不可少的例 3【江西省

9、 2018 屆 1 月聯考】如圖，多面體ABC DB C1 1是由三棱柱ABC A B C 1 1 1截去一部分而成，D 是 AA 的中點.1（1）若AD AC 1 ， AD 平面 ABC ， BC AC ，求點 C 到面 B C D1 1的距離；（2）若 E 為 AB 的中點， F 在 CC 上，且1CC1 CF，問 為何值時，直線 EF / / 平面 BC D1 1？3 / 5（新課標）備戰高考數學二輪復習難點 2.8 立體幾何中的折疊問題、最值問題和探索性問題教學案文思路分析：（1）由BC CD，CD C D1，可得CD 面DC B1 1，即點C到面B C D1 1的距離等于CD；（2）

10、當 4 時，直線 EF / / 平面 BC D1 1，理由如下：取DB1的中點 H ，連接 EH，可得AD / / EH / / CC1，當 C F EH 132時，四邊形C FEH1為平行四邊形，即EFHC.點評：本題主要考查了點到面的距離，直線與平面平行的判定，屬于基礎題；在求點到面的距離中主要采用證明線面垂直找出距離或者等體積法；線面平行主要通過一下幾種方式：1、利用三角形中位線；2、構造平行四邊形；3、利用面面平行等.探索性題型通常是找命題成立的一個充分條件，所以解這類題采用下 列二種方法：通過各種探索嘗試給出條件;找出命題成立的必要條件，也證明了充分性綜合以上三類問題，折疊與展開問題

11、、最大值和最小值問題和探究性問題都是高考中的熱點問題，在高考試題的新穎性越來越明顯，能力要求也越來越高，并且也越來越廣泛折疊與展開問題是立體幾何的一對問題，這兩種方式的轉變正是空間幾何與平面幾何問題轉化的集中體現，處理這類題型的關鍵是抓住兩圖的特征關系；求最值的途徑很多，其中運用公理與定義法、利用代數知識建立函數法、由常用不等式解不等式法等都是常用的一些求最值的方法；對于立體幾何的探索性問題一般都是條件開放性的探究問題，采用的方法一般是執果索因的方法，假設求解的結果存在，尋找使這個結論成立的充分條件，運用方程的思4 / 5（新課標）備戰高考數學二輪復習難點 2.8 立體幾何中的折疊問題、最值問題和探索性問題教學案文想或向量的方法轉化為代數的問題解決如果找到了符合題目結果要求的條件，則存在；