1、 名校名師舉薦 2022 屆北師大版（文科數學）數學歸納法 單元測試1.某個命題與正整數有關,如當 n=kkN+時該命題成立 ,就可推得當n=k+ 1 時該命題也成立,現已知當 n= 5 時該命題不成立,就可推得 A.當 n=6 時,該命題不成立 B.當 n=6 時,該命題成立 C.當 n=4 時,該命題成立 D.當 n=4 時,該命題不成立 解析 :依題意 ,當 n= 4 時,該命題成立 ,就當 n= 5 時 ,該命題成立 ,而當 n= 5 時,該命題不成立 ,卻無法判定 當 n= 6 時該命題成立仍是不成立 .應選 D.答案 :D 2.用數學歸納法證明1+ 2+22+ + 2 5n-1 是

2、 31 的整數倍時 ,當 n= 1 時,左邊式子等于 A.1+ 2 B.1+ 2+225 1- 1=1+ 2+22+23+ 2 4.C.1+ 2+23D.1+ 2+ 22+ 2 3+2 4解析 :當 n= 1 時,左式 = 1+2+ 2 2+ +2答案 :D 3.以下代數式 其中 k N+能被 9 整除的是 k A.6 + 67k-1 B.2 +7C.22+ 7 k+1 D.32 +7 k 解析 :1當 k=1 時,明顯只有 32+7k能被 9 整除 .2假設當 k=n n N +,n1時命題成立 , 即 32+7 n能被 9 整除 .就當 k=n+ 1 時,32+7n+ 1=212+ 7n-

3、36 也能被 9 整除 .這就是說 ,當 k=n+ 1 時,命題也成立 .由12 可知 ,32+7k能被 9 整除對任何 kN +都成立 .答案 :D 4.對于不等式 n+ 1n N +,某同學應用數學歸納法證明的過程如下 : 1當 n=1 時, 1+1,不等式成立 .2假設當 n=k kN+,且 k1時,不等式成立 ,即 k+ 1, 1 就當 n=k+ 1 時,= = k+ 1+ 1, 所以當 n=k+ 1 時 ,不等式也成立 .名校名師舉薦 依據 1和2可知 ,對任何 nN+, 2 的自然數 n 都成立A.該命題對于B.該命題對于全部的正偶數都成立 C.該命題何時成立與 k 取什么值無關

4、D.以上答案都不對 解析 :由題意 ,當 n= 2 時成立 ,可推得 n= 4,6,8, 都成立 ,因此對全部正偶數都成立 .答案 :B 6.記凸 k 邊形的內角和為fk,就凸 k+ 1邊形的內角和fk+1=f k+.答案 :1807.已知 fn=1+ + nN+,用數學歸納法證明f2n 時,f2k+ 1-f2k等于.解析 :f2k+ 1= 1+ + +,f2k= 1+ +, f2k+ 1-f2k=+ +.2 答案 : 名校名師舉薦 + +8.用數學歸納法證明 :x n-y n 能被 x-y 整除 n 為正奇數 時,假設當 n=k k 為正奇數 時,命題成立 ,再證當n= 時 ,命題也成立 .

5、答案 :k+2 9.證明 :凸 n 邊形的內角和 fn= n-2 180 n3.證明 1當 n= 3 時,f3=180 ,3-2 180 =180 ,命題成立 .2假設當 n=k k N+,k3時,命題成立 ,即凸 k 邊形的內角和fk=k-2 180 .當邊數為 k+ 1時,如圖 ,把k+ 1邊形分割為一個 k 邊形和 A1AkAk+ 1,因此凸 k+ 1邊形的內角和為凸 k 邊形內角和加上A1AkAk+ 1 的內角和 .fk+ 1=f k+180 =k-2 180 +180=k+ 1-2 180 .當 n=k+ 1 時命題也成立 .由12 得,當 n3 時,凸 n 邊形的內角和為 fn=

6、n-2 180 .10.設 aN+,nN+,求證 :a n+ 2+ a+ 1 2n+ 1 能被 a 2+a+ 1 整除 .證明 1當 n= 1 時, a 3+a+ 13= a+a+ 1 a2-aa+ 1+a+12=2a+1a 2+a+ 1, 結論成立 .2假設當 n=k 時,結論成立 ,即 a k+2+a+ 1 2k+ 1 能被 a 2+a+ 1 整除 ,就當 n=k+ 1 時,有a k+ 1+2+ a+ 1 2k+ 1+ 1=a a k+ 2+ a+1 2a+ 1 2k+ 1=a a k+2+a+ 1 2k+ 1 +a+ 1 2a+1 2k+1-aa+1 2k+1=a a k+2+a+ 1

7、2k+ 1 +a 2+a+ 1a+ 1 2k+ 1.由于 a k+2+a+ 1 2k+ 1,a 2+a+ 1 均能被 a 2+a+ 1 整除 ,又 a N+,故 a k+ 1+ 2+a+1 2k+ 1+ 1 能被 a 2+a+ 1整除 ,即當 n=k+ 1 時,結論也成立 .由12 可知 ,原結論成立 .11.設數列 an 的前 n 項和為 Sn,且方程 x 1求 a1,a2; 2-anx-an=0 有一根為 Sn-1,n= 1,2,3, .2猜想數列 Sn的通項公式 ,并給出嚴格證明 .3 名校名師舉薦 分析 第1題代入 n=1 和 n= 2 即可求出 .第 2題先依據前 n 項猜出通項 ,

8、再利用數學歸納法賜予證明 .解1 當 n= 1 時 ,x 2-a1x-a1=0 的一根為 S1-1=a 1-1,代入 ,得a1-1當 n=2 時,x 2-a 2x-a2= 0 有一根為 S2-1=a 2-.于是-a2-a 2=0,解得 a2=.2由題意知 Sn-1 2-anSn-1-an= 0, 即-2Sn+ 1-anSn= 0.當 n2 時,an=Sn-Sn-1, 代入上式 ,得 Sn-1Sn-2Sn+ 1=0. 由1,得 S1=a 1= , S2=a 1+a 2= .由可得 S3= .由猜想可得 ,Sn= ,n=1,2,3, .下面用數學歸納法證明這個結論 .當 n=1 時,a1=S1= ,明顯成立 .假設當 n=k kN+,且 k1時