1、將積分區間a，b等分，取分點作為求積節點，并作變量替換3 Newton-Cotes求積公式 將積分區間的等分點作為求積節點，構造出來的求積公式稱為牛頓-科茨（Newton-Cotes）公式。1、牛頓-科茨公式的求積系數為 那么插值型求積公式則 于是得相應的插值型數值積分公式這就是一般的牛頓科茨公式，稱為科茨系數。 若記 其中從科茨系數公式可以看出，科茨系數的值與積分區間及被積函數都無關。只要給出了積分區間的等分數n，就能算出例如，當 n=1時，有相應的牛頓科茨公式為 這就是前面提到的梯形公式。當 n=2時，有相應的牛頓-科茨公式為 辛普森公式的幾何意義就是用通過A,B,C三點的拋物線代替y=

2、f(x)所得曲邊梯形的面積。 這個公式稱為辛普森（Simpson）公式。如圖所示 為了便于應用，我們把部分科茨系數列在下表中。利用這張科茨系數表，可以很快寫出各種牛頓科茨公式。 n123456例如，當 n=4時，有其中 下面，我們給出梯形公式，辛普森公式和科茨公式的截斷誤差（余項）和它們的代數精度的幾個結論。這個公式稱為科茨（Cotes）公式。定理3 若在a , b上連續，則梯形公式若在a,b上連續，則辛普森公式若在a,b上連續，則科茨公式的余項為的余項為的余項為證 1、因在a , b上連續，由Newton-Cotes求積公式的截斷誤差且 n=1，h=b-a 得到梯形公式的截斷誤差其中。請推到

3、此式故根據積分中值定理，必存在使得下式成立其中。上連續。在上連續以及 t(t-1)在區間(0,1)內不變號，在設由于的截斷誤差為可以看出，梯形公式具有一次代數精度。因此，梯形公式辛普森公式截斷誤差為可以看出，辛普森公式具有三次代數精度。科茨公式截斷誤差為可以看出，科茨公式具有五次代數精度。定理4 梯形公式的代數精度為1； 辛普森公式的代數精度為3； 科茨公式的代數精度為5。梯形公式 辛普森公式 科茨公式 其中 在實際計算中，我們常用以下公式進行計算。 例3 試分別使用梯形公式和Simpson公式計算積分的近似值，并估計截斷誤差。解：用梯形公式計算，得截斷誤差估計為用Simpson公式計算，得截

4、斷誤差估計為4 Newton-Cotes求積公式的收斂性與數值穩定性記其中是Newton-Cotes求積系數今考察是否對任何在a,b上可積的函數f (x)都有這是Newton-Cotes求積公式的收斂問題。先看一個例子，此時有In(f)的一些計算結果如表nIn(f)2468105.49022.27763.32881.94113.5956 從表可以看出，當n時，In(f)不收斂于I(f)。這說明，Newton-Cotes求積公式并不是對所有在a，b上可積的函數都收斂。 多節點的Newton-Cotes求積公式的數值穩定性是沒有保證的。 為了提高計算結果的精度，常常采用復合求積的方法。 復合求積，

5、就是先將積分區間a,b分成幾個小區間然后在每個小區間上計算積分4 復化求積公式的近似值。用此方法得到的數值積分公式，統稱為復合求積公式。的近似值并取它們的和作為整個區間a，b上的積分其中上應用梯形公式稱為步長比如，在小區間 的近似值于是 得積分若將近似值記作，并注意到和則由上式可得復合求積公式 用類似方法可以導出復合辛普森公式該公式稱為復合梯形公式。和復合科茨公式其中 下面我們直接給出復合梯形公式，復合辛普森公式和復合科茨公式的截斷誤差（余項）的結論。定理5 若在積分區間a，b上連續，若則復合辛普森公式的余項為 則復合梯形公式的余項為在積分區間a，b上連續，若則復合科茨公式的余項為在積分區間a

6、，b上連續，證明略例2 對于利用數據表計算積分01/81/43/81/25/83/47/814.000000003.938461543.764705883.506749323.200000002.876404492.560000002.265486732.00000000解：這個問題有明顯的答案將積分區間0，1劃分為8等分，取 n=8應用復合梯形公式現在用復合求積公式進行計算。求得如果將積分區間0,1劃分為4等分，取n=4應用復合辛普森公式求得 比較與點的函數值，工作量基本相同，然而精度卻差別只有2位有效數字，有7位有效數字。的結果，它們都需要提供9個很大，例3 利用復合辛普森公式計算積分的近

7、似值，使截斷誤差不超過并用同樣點按復合梯形公式和復合科茨公式重新計算近似值。解：首先應根據精度的要求，確定區間 0，1的等分數 n由于 故 根據復合辛普森公式的余項表達式 為滿足精度要求，需 n 滿足這只需即 n4，取 n=4 可得 對同樣9個點上函數值（見下表）01.00000005/80.93615561/80.99739783/40.90885161/40.98961587/80.87719253/80.976726710.84147091/20.9588510若用復合梯形公式計算，所得近似值為若用復合科茨公式計算，所得近似值為 三種方法計算工作量相同（都需計算9個點的函數值），但所得結

8、果與積分準確值0.9460831相比較，復合辛普森公式具有精度高，計算較簡便等優點，因此得到較廣泛應用。解：設所以由例4 利用復合辛普森公式計算000.750.164383560.1250.0311280.8750.1836065570.250.06153810.20.3750.0905660.50.1176470.6250.14234875于是 9個點上的函數值如下表例5 取9個點的函數值，用復合辛普森公式估計誤差，并說明結果的有效數字。解：各求積節點和各求積節點的函數值如下表：計算積分近似值，013/80.97672766/80.90885171/80.99739794/80.95885117/80.87719262/80.98961585/80.936155610.8414