1、FIR 數字濾波器設計和實現主題概述1 -緒論2 -離散時間信號和離散時間系統3 -離散傅里葉變換及其快速計算方法4-IIR 數字濾波器設計和實現5FIR 數字濾波器設計和實現 ) 概述) 線性相位 FIR DF 約束條件和頻率響應 5.3) 窗函數法) 頻率取樣法 5.5) FIR數字濾波器的優化設計) FIR數字濾波器的實現構造 5.7) 附錄 5.8) 本章小結6 數字信號處理中的有限字長效應25.1 概述：IIR 和 FIR 比較IIR與FIR性能特性比較IIR數字濾波器：幅頻特性較好；但相頻特性較差； 有穩定性問題；FIR數字濾波器：可以嚴格線性相位，又可任意幅度特性因果穩定系統可用

2、 FFT 計算但階次比 IIR 濾波器要高得多35.1 概述：IIR 和 FIR 比較IIR 與 FIR 設計方法比較IIR DF：無限沖激響應，H(Z) 是 z-1 的有理分式，借助于模擬濾波器設計方法，階數低同樣性能要求。其優異的幅頻特性是以非線性相位為代價的。缺點：只能設計特定類型的濾波器，不能逼近任意的頻響。 FIR DF：有限沖激響應，系統函數 H(Z) 是 z-1 的多項式，采用直接逼近要求的頻率響應。設計靈活性強缺點： 設計方法復雜； 延遲大； 階數高。 (運算量比較大，因而在實現上需要比較多的運算單元和存儲單元) FIR DF 的技術要求：通帶頻率p，阻帶頻率s 及最大衰減p，

3、最小衰減s很重要的一條是保證 H(z) 具有線性相位。45.1 概述：FIR DF 設計方法FIR 數字濾波器設計 FIR 濾波器的任務：給定要求的頻率特性，按一定的最正確逼近準那么，選定 h(n) 及階數 N。三種設計方法： 窗函數加權法 頻率采樣法 FIR DF 的 CAD - 切比雪夫等波紋逼近法55.1 概述：FIR DF 零極點 FIR濾波器的I/O 關系： FIR 濾波器的系統傳遞函數： 在 Z 平面上有 N-1 個零點；在原點處有一個N-1階極點，永遠穩定。FIR 系統定義：一個數字濾波器 DF 的輸出 y(n)，如果僅取決于有限個過去的輸入和現在的輸入x(n), x(n-1),

4、. ., x(n-N+1)，那么稱之為 FIR DF。 FIR 濾波器的單位沖激響應：6 FIR DF 的頻率響應為：FIR 濾波器的最重要特點是能實現線性相位。具有線性相移特性的 FIR 濾波器是 FIR 濾波器中應用最廣泛的一種。Hr()：振幅響應，它是一個取值可正可負的實函數。 () = arg H(ejw) 為數字濾波器的相位函數。 5.1 概述：FIR DF 頻率響應7信號通過線性濾波器時，其幅度和相位可能會發生改變，濾波器增益 |H()|和相位 () 可能會隨頻率的變化而改變。如：輸入正弦信號 Acos(n0) 那么：輸出為 |H(0)| Acos(n0)，其中相移(0) 輸出頻率

5、和輸入頻率一樣，但幅度和相位都發生了變化輸出信號比輸入信號滯后的樣點數 n (位移) 可由下式求得: 設：n00 濾波器在數字頻率0 處的相位延遲位移 由于相位延遲 n 的不同，最終產生了相位失真。 確保不產生相位失真的方法：使不同頻率的信號通過濾波器時有一樣的延遲 n。 5.1 概述：相位失真8 對不同的頻率有恒定的相移，會產生相位失真. 如：方波 y(t) 可以用無數奇次諧波的正弦波的疊加來得到： 假設每個正弦波相移/2 弧度： 確保所有頻率具有一樣相位延遲的簡單方法： 隨著頻率的變化而改變相位，使濾波器具有線性相位特性，即使所有頻率的相位延遲保持恒定，這種方法可通過使系統的相位函數()為

6、頻率的線性函數來實現。 5.1 概述：相位失真可見相移之后正弦波之和已不再是方波。9主題概述1 -緒論2 -離散時間信號和離散時間系統3 -離散傅里葉變換及其快速計算方法4-IIR 數字濾波器設計和實現5FIR 數字濾波器設計和實現) 概述) 線性相位 FIR DF 約束條件和頻率響應 5.3) 窗函數法) 頻率取樣法 5.5) FIR數字濾波器的優化設計) FIR數字濾波器的實現構造 5.7) 本章小結 5.8) 附錄6 數字信號處理中的有限字長效應105.2 線性相移FIR DF 約束條件和頻率響應三個內容： 約束條件恒延時濾波偶對稱：恒相延時和恒群延時同時成立 奇對稱：僅恒群延時成立 頻

7、率響應Type I：h(n) 偶對稱、N 為奇數Type II：h(n) 偶對稱、N 為偶數Type III：h(n) 奇對稱、N 為奇數Type IV：h(n) 奇對稱、N 為偶數 FIR DF 零極點分布11相延時： 群延時： 5.2.1 線性相移FIR DF 約束條件：恒延時濾波恒延時濾波 濾波器的延時有相延時和群延時兩種令恒延時濾波器：p() 或g() 是不隨變化的常量，這時濾波器具有線性相位特性。12負號是因為系統必有時延 由于 FIR 濾波器的傳遞函數為 :w(w)0故: 5.2.1 線性相移FIR DF 約束條件：恒延時恒相延時和恒群延時同時成立要使p、g 都不隨 變化,() 必

8、須是一條過原點直線13于是: 5.2.1 線性相移FIR DF 約束條件：恒延時14可以證明，當 5.2.1 線性相移FIR DF 約束條件：恒延時上式成立，此時恒相延時和恒群延時同時成立時，線性相位濾波器的必要條件是： 不管 N 為偶數，還是 N 為奇數，系統沖激響應 h(n) 都關于中心點 (N-1)/2 偶對稱。當 N 為奇數時對稱中心軸位于整數樣點上; 當 N 為偶數時對稱中心軸位于非整數樣點上。h(n) 為偶對稱，N 為偶數07nh(n)h(n) 為偶對稱，N 為奇數06nh(n)15于是有：5.2.1 線性相移FIR DF 約束條件：恒群延時只要求恒群延時成立 假設只要求群延時g(

9、) 為一常數，那么相移特性為不過原點的直線。0()故16可以證明，當 上式成立，此時故5.2.1 線性相移FIR DF 約束條件：恒群延時17FIR濾波器單獨滿足恒定群延時的必要條件為： 沖激響應 h(n) 對中心點 (N-1)/2 成奇對稱。此時，無論 N 為奇數或偶數，濾波器的相頻特性均為線性，并包含有/2 的固定相移： 因此，信號通過此類濾波器時不僅產生 (N-1)/2 個取樣點的延遲，還將產生 90o 的相移，通常這類濾波器又被稱為 90o 移相器，并具有很好的應用價值。當 N 為奇數時，故07h(n) 為奇對稱，N 為偶數nh(n)06h(n) 為奇對稱，N 為奇數nh(n)5.2.

10、1 線性相移FIR DF 約束條件：恒群延時18 奇對稱：() 對所有的頻率成分都有一個 90相移。因此，有四種類型的 FIR DF： 5.2.1 線性相移 FIR DF 約束條件線性相位約束條件對于任意給定的值 N，當 FIR 濾波器的 h(n) 相對其中心點 (N-1)/2 是對稱時，不管是偶對稱還是奇對稱，此時濾波器的相移特性是線性的，且群延時都是 = (N-1)/2 。偶對稱 ： () 為過原點的，斜率為 - 的一條直線195.2.2 線性相移 FIR DF 頻率響應：Type Ih(n) 偶對稱，N 為奇數恒相時延、恒群時延此時，由于 h(n) 序列的長度為奇數，因此濾波器的頻率響應

11、函數可進展以下拆分前后對稱局部、中心點：h(n) 為偶對稱，N 為奇數06nh(n)對上式的第二和式作變量替換n=N-1-m) 后得到:由對稱條件那么 H(ej) 表示為：205.2.2 線性相移 FIR DF 頻率響應：Type I令 那么上式為 21 由此可以看出其線性相位特性。由于 cos(n) 對于 =0、2都是偶對稱，所以振度響應 Hr() 對=0、2也是偶對稱。5.2.2 線性相移 FIR DF 頻率響應：Type I其中振幅響應：相頻響應：N=9Hr (w)22h(n) 偶對稱，N 為偶數恒相時延、恒群時延由于h(n) 序列的長度為偶數，因此濾波器的頻率響應函數可拆分成如下兩局部

12、前后對稱局部，中心點處無值：5.2.2 線性相移 FIR DF 頻率響應：Type IIh(n) 為偶對稱，N 為偶數07nh(n)對上式的第二和式作變量替換n=N-1-m) 后得到:由對稱條件那么 H(ej) 表示為：235.2.2 線性相移 FIR DF 頻率響應：Type II令 ，那么上式為： 其中注意 n 從1 開場，即 b(0)=0，或沒有定義 245.2.2 線性相移 FIR DF 頻率響應：Type II 與所設計的 b(n) 或 h(n) 無關，恒為 0。這種類型即 h(n) 偶對稱，N為偶數不能用于高通或帶阻濾波器。 2由于 cos(n-1/2) 對于 =是奇對稱，所以，H

13、r(w) 對 =也是奇對稱；以 =0、2為偶對稱。 振幅響應：相頻響應：N=8n 從1開始Hr (w)注意： 1) 在 = 處，有：25h(n) 奇對稱，N 為奇數恒群時延h(n) 長度為奇數，拆分成前后兩局部：5.2.2 線性相移 FIR DF 頻率響應：Type III對上式的第二和式作變量替換，并利用對稱條件 h(n)=-h(N-1-n)，得:06h(n) 為奇對稱，N 為奇數nh(n)26Hr (w)5.2.2 線性相移 FIR DF 頻率響應：Type III，那么上式為： 其中令振幅響應：相頻響應：n 從1開始27與 c(n) 或 h(n) 的值無關，因此，這種類型的濾波器不適用于

14、低通、帶阻或高通濾波器設計，而且 ，這說明 jHr(w) 是純虛數，對于逼近理想數字希爾伯特變換和微分器，它是很有用的。理想的希爾伯特變換是一個全通濾波器，它對輸入信號產生 90 度的相移，它頻繁用于通信系統中的調制。微分器廣泛用于模擬和數字系統中對信號求導。 2由于 sin(n) 對于 =0、2 都是奇對稱，所以，Hr(w) 以 =0、 、2為奇對稱。 注意： 1) 在 =0 和 處，有：5.2.2 線性相移 FIR DF 頻率響應：Type III285.2.2 線性相移 FIR DF 頻率響應：Type IVh(n) 奇對稱，N 為偶數恒群時延07h(n) 為奇對稱，N 為偶數nh(n)

15、其中295.2.2 線性相移 FIR DF 頻率響應：Type IVHr (w)與 d(n) 或 h(n) 的取值無關，因此傳輸函數 H(z) 在 z = 1 處為零點。顯然，這種類型不能用于實現低通濾波器。又有 ，所以這類濾波器適用于設計希爾伯特變換和微分器。 2由于 sin(n-1/2) 在 =處偶對稱，在0、2 是奇對稱，所以，Hr(w) 以 = 偶對稱，0、2為奇對稱。 注意： 1) 在 =0 處，有：30一般形式： 偶對稱： 奇對稱： 兩個恒時延條件 一個恒時延條件 ( Hr() 為 的實函數 )5.2.2 線性相移 FIR DF 頻率響應：小結31 一般的 FIR DF 的零、極點

16、： 在z=0處，有一個N-1階的極點，故濾波器穩定；其零點要求 f(z)=0，根據代數理論，它為 N-1階多項式，應有 N-1 個根，所以有 N-1 個零點。如果 h(n) 為實數值，其根肯定是共軛對稱的。5.2.3 線性相移 FIR DF 零極點分布32令：m=N-1-n于是： 5.2.3 線性相移 FIR DF 零極點分布線性相移 FIR DF 的零極點： 如果 zi 是 H(z) 的零點，即 H(zi) = 0 那么 H(z-1) =0，即 zi-1 亦為 H(z) 的零點。 33上面提到 Zi 肯定是共軛的，故 Zi* 亦必為其零點于是零點有：1-1Za1Za21/bb5.2.3 線性

17、相移 FIR DF 零極點分布總結:1) 一般情況， ，有四個零點： 2) r=1，單位圓上的零點： (共軛對) 3) 位于實軸上的實數：b, 1/b (實軸上的倒數對)。4) zi =1：單零點 34主題概述1 -緒論2 -離散時間信號和離散時間系統3 -離散傅里葉變換及其快速計算方法4-IIR 數字濾波器設計和實現5FIR 數字濾波器設計和實現) 概述) 線性相位 FIR DF 約束條件和頻率響應 5.3) 窗函數法) 頻率取樣法 5.5) FIR數字濾波器的優化設計) FIR數字濾波器的實現構造 5.7) 本章小結 5.8) 附錄6 數字信號處理中的有限字長效應35思路：理想數字濾波器設

18、計的 FIR 數字濾波器要求：線性相位盡可能降低逼近誤差5.3 FIR DF 窗口法傅里葉級數法hd(n) 無限長，且非因果 h(n) 有限長，且因果 36設所要求的 DF 的頻率響應是 Hd(ejw)，需要注意：它可能是低通、高通、帶通和帶阻 FIR DF，沒有特指某種類型的數字濾波器。不管是何種 FIR DF，它的頻率響應是頻域中的周期函數，周期為 2，所以它可以展開為傅氏級數形式：5.3.1 窗口法：根本原理 式中 hd(n) 是傅里葉系數，也是單位取樣響應序列。 由傅里葉級數理論可得： 37因此，所要求的 DF 的系統函數便可求得：顯然，Hd(z) 是非因果的，且 hd(n) 的持續時

19、間為 - +，物理上不可實現。我們可以采用逼近 Hd(ejw) 的方法 首先把 hd(n) 先截短為有限項，把 hd(n) 截為2M+1項，得：5.3.1 窗口法：根本原理38然后把截短后的 hd(n) 右移，使之變成因果性的序列。 令 H(z) 等于 H1(z) 乘以 z-M 得：令 h(n)= hd (n-M), n=0, 1, 2, ., 2M，那么 頻率響應 z=ej5.3.1 窗口法：根本原理顯然H(z) 是物理可實現的其沖激響應 h(n) 的持續時間也是有限的選擇 hd(n) = hd(N-1-n)，保證H(z) 具有線性相位。 39對 hd(n) 的截短必然產生誤差，即以 |H(

20、ejw)| 近似 |Hd(ejw)| 。定義逼近誤差為均方誤差：而 Hd(ejw) 可以展開為：式中:5.3.2 窗口法：性能分析 |H(ejw)| 對 |Hd(ejw)| 的逼近40 因為 |H(ejw)| 是對 hd(n) 截短而產生的，假定： 即當 |n|M 時，An = 0, Bn =0。所以把上述兩式代入逼近誤差中，利用三角函數的正交性可得：由于上式中每一項都是正的，所以，只有當 最小。 5.3.2 窗口法：性能分析41說明： 當用 |H(ejw)|Hd(ejw)| 時，要使 2 =min， |H(ejw)| 的截短后的單位取樣響應 h(n) 的系數必須等于所要求的幅頻響應 |Hd(

21、ejw)|展成傅里葉級數的系數 hd(n)。 有限項傅氏級數是在最小均方意義上對原信號的最正確逼近 其逼近誤差為： 截短的長度 M 越大，逼近誤差2 愈小因為 hd(n) 值愈小。 5.3.2 窗口法：性能分析42將 hd(n) 截短： 相當于將 hd(n ) 與一窗函數 wR(n) 相乘，即5.3.2 窗口法：Gibbs 效應其中在一定意義上來看，窗函數決定了我們能夠 “看到 多少個原來的沖激響應，“窗 這個用詞的含義也就在此。43窗函數的頻譜： 5.3.2 窗口法：Gibbs 效應此矩形窗譜為一鐘形偶函數，在 +2/N 之間為其主瓣，主瓣寬度 = 4/N，在主瓣兩側有無數幅度逐漸減小的旁瓣

22、, 見圖所示。2/N-2/N主瓣第1個旁瓣第2個旁瓣44 截短，根據時域相乘映射為頻域卷積，得：5.3.2 窗口法：Gibbs 效應為便于分析，我們假定 |Hd(ejw)| 是理想低通濾波器 LPF。式中積分等于由 c 到 c 區間內 WNej(w-) 下的面積，隨著變化，窗函數的主瓣和不同正負、不同大小的旁瓣移入和移出積分區間，使得此面積發生變化， 也即 |H(ejw)| 的大小產生波動。-wc0wc450WR()-c0cHd()0.50.50.08950.08950.04680.0468卷積5.3.2 窗口法：Gibbs 效應-wc0wc-Hd()46現在分析幾個特殊頻率點的濾波器性能：

23、= 0 時： 由于一般情況下都滿足 c 2 / N，因此，H(0) 的值近似等于窗譜函數 WR(ejw) 與軸圍出的整個面積。 5.3.2 窗口法：Gibbs 效應0WR()-wc0wc-Hd() =c 時： 此時窗譜主瓣一半在積分區間內一半在區間外，因此，窗譜曲線圍出的面積，近似為=0 時所圍面積的一半，即 。-wc0wcHd()w =wcWR(w-)475.3.2 窗口法：Gibbs 效應=c - 2/N 時，正肩峰 此時窗譜主瓣全部處于積分區間內，而其中一個最大負瓣剛好移出積分區間，這時得到最大值，形成正肩峰。之后，隨著值的不斷增大，H(ejw) 的值迅速減小，此時進入濾波器過渡帶。=c

24、 + 2/N 時，負肩峰 此時窗譜主瓣剛好全部移出積分區間，而其中一個最大負瓣仍全部處于區間內，因此得到最小值，形成負肩峰。之后，隨著值的繼續增大， H(ejw) 的值振蕩并不斷減小，形成濾波器阻帶波動。-wc0wcHd()WR(w-)-wc0wcHd()WR(w-)48 理想濾波器的不連續點演化為過渡帶 通帶與阻帶內出現起伏 Gibbs 現象過渡帶：正負肩峰之間的頻帶。其寬度等于窗口頻譜的主瓣寬度。 對于矩形窗 WR(ejw), 此寬度為 4/N。 肩峰及波動：這是由窗函數的旁瓣引起的。旁瓣越多，波動越快、越多。相對值越大，波動越厲害，肩峰越強。肩峰和波動與所選窗函數的形狀有關，要改善阻帶的

25、衰減特性只能通過改變窗函數的形狀。在對 hd(n) 截短時，由于窗函數的頻譜具有旁瓣，這些旁瓣在與 Hd(ejw) 卷積時產生了通帶內與阻帶內的波動，稱為吉布斯現象。長度 N 的改變只能改變 坐標的比例及窗函數 WR(ejw) 的絕對大小，但不能改變肩峰和波動的相對大小因為不能改變窗函數主瓣和旁瓣的相比照例，波動是由旁瓣引起的，即增加 N，只能使通、阻帶內振蕩加快，過渡帶減小，但相對振蕩幅度卻不減小。 加窗處理對理想矩形頻率響應的影響：結論：過渡帶寬度與窗的寬度 N 有關，隨之增減而變化。 阻帶最小衰減與旁瓣的相對幅度有關只由窗函數決定，與 N 無關。 5.3.2 窗口法：Gibbs 效應49

26、Gibbs現象；5.3.2 窗口法：Gibbs 效應50設計FIR DF時，窗函數不僅可以影響過渡帶寬度，還能影響肩峰和波動的大小，因此，選擇窗函數應使其頻譜：主瓣寬度盡量小，以使過渡帶盡量陡。旁瓣相對于主瓣越小越好，這樣可使肩峰和波動減小，即能量盡可能集中于主瓣內。對于窗函數，這兩個要求是相互矛盾的，要根據需要進展折衷的選擇，5.3.3 窗口法：常用窗函數w020lg|W(w)/W(0)|B3dBAD (dB/Oct)為了定量地比較各種窗函數的性能，給出三個頻域指標：3db 帶寬 B，單位為 （最大可能的頻率分辨力）最大旁瓣峰值 A(dB)，A 越小，由旁瓣引起的譜失真越小旁瓣譜峰漸進衰減速

27、度 D（dB/oct）一個好的窗口，應該有最小的 B、A 及最大的 D。51以下介紹的窗函數均為偶對稱函數，都具有線性相位特性。 設窗的寬度為N，窗函數的對稱中心點在(N-1)/2處。因此，均為因果函數。矩形窗最簡單的窗函數，從阻帶衰減的角度看，其性能最差。它的頻率響應函數為：5.3.3 窗口法：根本窗函數_矩形窗振幅響應52為了對過渡帶和阻帶衰減進展準確分析，對窗振幅響應進展連續積分或累積振幅響應，即矩形窗函數 w(n) 以及它的振幅響應、累積振幅響應如以下圖所示。5.3.3 窗口法：根本窗函數_矩形窗性能指標3dB 帶寬 最大旁瓣峰值 A= -13dB旁瓣譜峰漸進衰減速度 D=-6dB/o

28、ct在 Matlab 中，實現矩形窗的函數為 w = boxcar(n)。53振幅響應在 = 1 處具有第一個零點：因而主瓣的寬度為 2，所以過渡帶寬也近似為 2。大約在 w = 3/N 處，出現第一個旁瓣即主旁瓣，其幅度為：將它與主瓣振幅 N 比較，那么最大旁瓣峰值A(dB) 為 A= -13db。 累積振幅響應第一個旁瓣為 21dB，這個 21dB 的阻帶衰減與窗長度 N 無關。根據最小阻帶衰減，可以準確地計算出過渡帶寬為：它大約是近似帶寬的一半。 5.3.3 窗口法：根本窗函數_矩形窗54三角窗或 巴特利特 Bartlett 窗由于矩形窗從 0 到 1 或 1 到 0 有一個突變的過渡帶

29、，這造成了吉布斯現象。Bartlett 提出了一種逐漸過渡的三角窗形式，它是兩個矩形窗的卷積。B=1.28, A=-27dB, D= -12dB/oct ，近似過渡帶寬 8/N，準確過渡帶寬 6.1/N，最小阻帶衰減 25dB。與矩形窗來比較，阻帶衰減性能有所改善，但代價是過渡帶的加寬。5.3.3 窗口法：根本窗函數_三角窗55在 Matlab 中，函數 bartlett(n) 和 triang(n) 用來計算相似的三角窗，但它們有兩個重要的區別：bartlett 函數返回的序列兩端總是 0，因此，對于奇數 n，語句 bartlett(n+2) 的中間局部等于 triang(n)；對于偶數 n

30、，bartlett 仍然是兩個矩形序列的卷積，但 n 為偶數時的三角窗沒有標準定義。5.3.3 窗口法：根本窗函數_三角窗56余弦窗B=1.2, A=-23dB, D=-12dB/oct。近似過渡帶寬 8/N，準確過渡帶寬6.5/N，最小阻帶衰減 34dB。5.3.3 窗口法：根本窗函數_余弦窗或其中頻率響應575.3.3 窗口法：根本窗函數_余弦窗58升余弦窗函數漢寧窗、漢明窗、布萊克曼窗都是升余弦窗的特例。它們都是頻率為 0 2/(N-1) 和 4/(N-1) 的余弦序列的組合。升余弦窗的頻率特性比矩形窗有很大改善。其中 A、B、C 為常數。當 A = 0.5，B=0.5，C=0 時，為漢

31、寧 (Hanning)窗。 Matlab 中，w = hanning(n)當 A = 0.54，B=0.46，C=0 時，為漢明 (Hamming) 窗。 Matlab 中，w = hamming(n)當 A = 0.42，B=0.5，C=0.08 時，為布萊克曼窗。 Matlab 中，w = blackman(n)5.3.3 窗口法：升余弦窗函數595.3.3 窗口法：升余弦窗函數60W()0.5u()0.25u(-2/(N-1)0.25u(+2/(N-1)Hanning 窗升余弦窗5.3.3 窗口法：升余弦窗函數_漢寧窗B=1.44, A=-32db, D=-18db/oct，近似過渡帶寬

32、 8/N，準確過渡帶寬 6.2/N，最小阻帶衰減 44dB。與矩形窗來比，最小阻帶衰減性能明顯提高，但過渡帶也明顯增大。 615.3.3 窗口法：升余弦窗函數_漢寧窗62Hamming 窗改進的升余弦窗5.3.3 窗口法：升余弦窗函數_漢明窗B=1.3, A=-43dB, D=-6dB/oct，近似過渡帶寬 8/N，準確過渡帶寬6.6/N，最小阻帶衰減 53dB。通過這一系數調整，使能量的 99.963% 都集中在了窗譜的主瓣內。635.3.3 窗口法：升余弦窗函數_漢明窗64Blackman 窗二階升余弦窗5.3.3 窗口法：升余弦窗函數_布萊克曼窗B=1.68, A=-58db, D=-1

33、8db/oct，近似過渡帶寬 12/N，準確過渡帶寬11/N，最小阻帶衰減 74dB。通過增加余弦的二次諧波分量，能夠進一步抑制旁瓣，但主瓣寬度卻比矩形窗譜的主瓣寬度大三倍。655.3.3 窗口法：升余弦窗函數_布萊克曼窗 比較以上窗函數，可以看到，矩形窗函數具有最窄的主瓣B，但也有最大的旁瓣峰值 A 和最慢的衰減速度 D。 漢寧窗主瓣稍寬，但有著較小的旁瓣和較大的衰減速度，因而被認為是較好的窗口。665.3.3 窗口法：凱瑟窗函數凱瑟Kaiser窗上面討論的幾種窗函數以犧牲主瓣寬度，換取旁瓣抑制；Kaiser 窗全面反映了這種主瓣和旁瓣衰減之間的互換關系；定義了一組可調的由零階貝塞爾 Bes

34、sel 函數構成的窗函數；通過調整參數可以在主瓣寬度和旁瓣衰減之間自由選擇它們的比重。從而實現以同一種窗類型來滿足不同窗性能需求的目的。 Kaiser 窗函數由 J.F. Kaiser 提出，由下式給出： 其中 I0 是修正過的零階貝塞爾 Bessel 函數是用來調整窗形狀的參數，依賴于參數 N。67對于一樣的 N，Kaiser 窗可以提供不同的過渡帶寬，這是其他窗函數做不到的。通過調整參數，就可以方便地完成對過渡帶寬度和阻帶衰減的調整。參數越高，其頻譜的旁瓣越小，但主瓣寬度也相應增加。xI0(x)I0()10零階貝塞爾函數 Kaiser 窗函數依參數 而變化 Matlab 中，函數 w =

35、kaiser(n, beta) 實現 Kaiser 窗 5.3.3 窗口法：凱瑟窗函數弗里德里希威廉貝塞爾Friedrich Wilhelm Bessel1784年1846 年德國天文學家及數學家68下面圖固定，當窗的長度變化時，相應的旁瓣的高度保持不變。 5.3.3 窗口法：凱瑟窗函數69 = 5.658，那么過渡帶寬等于 7.8pi/N，最小阻帶衰減為 60dB，如以下圖所示： 5.3.3 窗口法：凱瑟窗函數70凱瑟窗的計算由于 Bessel 函數的復雜性，這種窗的設計公式很難推導，為此，Kaiser 提出了經歷公式。給定 p、s、Rp 和 As，參數定義如下： 對于過渡帶寬 = s -

36、p (rad/s)，濾波器階數為需要強調的是：階數為 N 的濾波器大致能滿足要求，但最后的結果還必須要演算以便證明這一點。在 Matlab 中，函數 w = kaiser(n, beta) 實現 Kaiser 窗。5.3.3 窗口法：凱瑟窗函數71切比雪夫Chebyshev窗在給定旁瓣高度下，Chebyshev 窗的主瓣寬度最小，具有等波動性，也就是說，其所有的旁瓣都具有相等的高度。Matlab函數w = chebwin(n,r)以窗長度 n 和旁瓣高度 rdB 為參數計算切比雪夫窗。Chebyshev 僅對奇數長度的窗有定義，假設 n 為偶數，函數w = chebwin(n,r) 先將它加

37、1，然后設計長為 n+1 的切比雪夫窗。其傅里葉變換的旁瓣幅度低于主瓣 r dB。其它窗函數Papoulis窗、Parzen窗、Poisson窗、Cauchy窗、Gaussian窗、Bartlett-Hann、Blackman-Harris、Nuttalls Blackman-Harris 、Bohman、Flat Top window、Hann、Parzen (de la Valle-Poussin)、Tapered cosine 等。Matlab 窗設計和分析工具 (WinTool) 具有 GUI 界面，可以用來設計和分析窗函數，其用法： wintool5.3.3 窗口法：切比雪夫窗函數7

38、25.3.3 窗口法：切比雪夫窗函數73窗函數旁瓣峰值衰減（dB）窗函數主瓣寬度加窗后濾波器過渡帶寬（）加窗后濾波器阻帶最小衰減（dB）矩形窗-134/N1.8/N-21漢寧窗(升余弦窗)-318/N6.2/N-44漢明窗(改進升余弦窗)-418/N6.6/N-53布萊克曼窗(二階升余弦窗)-5712/N11/N-74凱塞（=7.865）-5710/N10/N-805.3.3 窗口法：常用窗函數的性能指標74FIR DF 窗口法設計步驟 性能要求 Hd(e j)把 Hd(e j) 展成傅里葉級數，得到 hd(n)；把 hd(n) 自然截短到所需的長度 N=2M+1；將截短后 hd(n) 右移

39、M 個取樣間隔，得 h(n)；將 h(n) 乘以適宜的窗函數，即得所需的濾波器的沖激響應，這時窗函數以 n = M對稱當然窗函數也可直接加在 hd(n) 上，這時窗函數以原點為對稱；利用 h(n)，既可用硬件構成濾波器的系統函數 H(z)，也可直接用計算機軟件實現濾波。5.3.4 窗口法：設計步驟75數字低通濾波器的設計下面通過一個例題來闡述低通濾波器設計所涉及的一些問題。 一個理想低通數字濾波器的頻率響應如下圖，為： 假定 wc=0.25，分別取 N =11、21、31，觀察加窗后對濾波器幅頻特性的影響。5.3.4 窗口法：設計步驟_ 數字低通76解: 由于 Hd(e j) 是一個實周期函數

40、，把它展成為付氏級數： 5.3.4 窗口法：設計步驟_ 數字低通式中將 hd(n) 截短為 N=2M+1，并將截短后的 hd(n) 移位，得：775.3.4 窗口法：設計步驟_ 數字低通然后乘以窗函數 wR(n)，得到最后得 h(n)。對于 wc = 0.25，由上式得：當 wc=，就得到一個全通濾波器當 N=11 時，M= 5，求得h(0) = h(10) = -0.045，h(1) = h(9) = 0，h(2) = h(8) = 0.075，h(3) = h(7) = 0.1592，h(4) = h(7) = 0.2251，h(5) = 0.25。當 N=11 時，乘以漢明窗：785.3

41、.4 窗口法：設計步驟_ 數字低通79當 N 取不同值時，H(ejw) 都不同程度上近似于Hd(ejw)。N 過小時，通帶過窄,且阻帶內波紋較大,當 N 增加時，通頻帶接近于0.25pi,阻帶內波紋減小,但在通帶內出現了波紋，隨著 N 的繼續增加，這些波紋并不能消失。由圖中還可以看到，使用漢明窗后，通帶內的振蕩根本消失，阻帶內的紋波也大大減小，從這一點上來說，濾波器的性能得到了改善，但是，這是以過渡帶的加寬為代價的。 矩形窗漢明窗5.3.4 窗口法：設計步驟_ 數字低通80適用范圍對于能用解析式表達，且傅里葉級數的系數容易求解的濾波器： 此時，窗函數法是設計 FIR DF 較為方便的一個方法；

42、如果 hd(n) 不易求，那么使用該方法較為困難。窗函數用窗口法設計 FIR DF，一個重要問題是選用窗函數 w(n) 及決定截短的長度 N。窗函數的選擇：阻帶衰減指標滿足設計給定的阻帶衰減和其它濾波器性能要求；能量盡量集中于主瓣內；個人的經歷及喜好有關。5.3.4 窗口法：設計步驟_ 數字低通81窗函數長度 N 的選擇：過渡帶寬指標采用試驗方法，即逐漸增大 M，直至 H(ejw) 在通帶和阻帶內部到達指標要求。假設對 |Hd(ejw)|的過渡帶提出了具體要求，因為 FIR DF 的過渡帶等于窗函數的主瓣寬度，那么通過查表計算 N ：6。一般選擇 N 為奇數。 注意：根據所要設計線性相位 FI

43、R DF類型來決定最終 N 取奇數還是偶數。 截止頻率 wc 確實定：截止頻率 wc 對應于明確的 0.5 增益點，而不再標志某個增益點。對于非理想濾波器，其截止頻率 wc 不采用通帶邊緣頻率 wp 或阻帶邊緣頻率 ws， 而使用過渡帶的中點即通帶邊緣和阻帶邊緣之間的中點。因此，窗函數法不能準確地確定其通帶和阻帶的邊緣頻率：5.3.4 窗口法：設計步驟_ 數字低通825.3.4 窗口法：設計步驟_ 數字低通頻率增益(幅度)所要求的通帶邊緣頻率p所要求的阻帶邊緣頻率 s設計中所用的截止頻率 c過渡帶寬度0.583 根據以下指標設計低通濾波器 通帶邊緣頻率 fp=2kHz 阻帶邊緣頻率 fstop

44、=3kHz 阻帶衰減 40dB 取樣頻率 fs=10kHz解：(1) 求對應的理想數字頻率： 過渡帶寬 = 3kHz 2kHz = 1kHz。 轉換為數字頻率過渡帶： 截止頻率： 數字截止頻率： 5.3.4 窗口法：設計步驟_ 數字低通頻率|H(ejw)|所要求的通帶邊緣頻率p所要求的阻帶邊緣頻率 s設計中所用的截止頻率 c過渡帶寬度-6dB0dB-40dB2kHz3kHz84(2) 設理想線性相位濾波器為： 由此可得脈沖響應： (4) 由過渡帶寬確定窗口長度： (3) 由阻帶衰減確定窗函數：因為阻帶衰減 40dB，通過查表知道，可以 選擇 Hanning 窗：5.3.4 窗口法：設計步驟_

45、數字低通(N-1)/2=15那么此濾波器的脈沖響應為：85hd(n) = -0.0212 0.0000 0.0245 -0.0000 -0.0289 0.0000 0.0354 -0.0000 -0.0455 0.0000 0.0637 -0.0000 -0.1061 0.0000 0.3183 0.5 0.3183 0.0000 -0.1061 -0.0000 0.0637 0.0000 -0.0455 -0.0000 0.0354 0.0000 -0.0289 -0.0000 0.0245 0.0000 w(n) = 0 0.0109 0.0432 0.0955 0.1654 0.2500

46、 0.3455 0.4477 0.5523 0.6545 0.7500 0.8346 0.9045 0.9568 0.9891 1.0000 0.9891 0.9568 05.3.4 窗口法：設計步驟_ 數字低通計算得：86h(n) = -0.0960 0.0000 0.3148 0.5000 0.3148 0.0000 -0.0960 -0.0000 0.0477 0.0000 -0.0251 -0.0000 0由 h(n) 可以得到 H(z)、H(ejw) 和差分方程，其中差分方程為： y(n) = 0.0011x(n-2) - 0.0048x(n-4) +0.0122x(n-6) - 0

47、.0251x(n-8) + 0.0477x(n-10) - 0.0960 x(n-12) + 0.3148x(n-14) + 0.5x(n-15) + 0.3148x(n-16) - 0.0960 x(n-18) + 0.0477x(n-20) - 0.0251x(n-22) + 0.0122x(n-24) - 0.0048x(n-26) + 0.0011x(n-28)5.3.4 窗口法：設計步驟_ 數字低通875.3.4 窗口法：設計步驟_ 數字低通885.3.4 窗口法：設計步驟_ 數字低通89 一段樂曲中夾雜著高頻噪聲，嚴重影響收聽質量。以下圖給出了噪聲污染后的信號及其頻譜。系統的取樣頻

48、率為 16kHz。設計一個濾波器來提高聲音質量。5.3.4 窗口法：設計步驟_ 數字低通90此低通濾波器的參數總結如下： 取樣頻率： 16kHz 通帶邊緣頻率：2kHz 過渡帶寬： 545Hz 截止頻率： 數字截止頻率：解： 從圖中頻譜可以看出，噪聲從 2kHz 的頻率點開場占據支配地位，因為這個頻率很低，消除噪聲的同時也會損失一局部音樂信息。 可用通帶邊緣頻率為 2kHz 的低通濾波器對此段音樂進展濾波。 由于沒有特殊的阻帶衰減要求，任何具有合理特性的窗函數均可，在此選擇 Hamming 窗。 本例中，對過渡帶寬也沒有特殊要求。為了得到合理的陡峭滾降，選擇 N = 101，那么過渡帶寬為 ：

49、5.3.4 窗口法：設計步驟_ 數字低通91 窗函數為Hamming 窗 其設計過程同前例。得到的脈沖響應、幅頻特性和零極點圖如下圖。窗口長度：N=101那么濾波器的脈沖響應為：5.3.4 窗口法：設計步驟_ 數字低通925.3.4 窗口法：設計步驟_ 數字低通935.3.4 窗口法：設計步驟_ 數字低通 伴有噪聲的音樂經過上述濾波器濾除噪聲后的信號及其頻譜如以下圖所示。濾波后的信號幾乎沒有噪聲，但歌曲聽起來有點壓抑，這是因為歌曲中高頻分量也隨噪聲一起被濾除的緣故。 可以想象，如果噪聲存在于所有的頻率分量上，那么不可能在不嚴重降低信號質量的情況下濾除噪聲。94以上設計的是數字低通濾波器，假設希

50、望設計數字高通、帶通和帶阻濾波器，只需要改變付氏級數系數中積分的上、下限即可。數字高通濾波器5.3.4 窗口法：設計步驟_數字高通令其時域右移 M 位后的幅頻特性為：頻域為 e-jM，表示時域右移 M 位 955.3.4 窗口法：設計步驟_數字高通那么求得965.3.4 窗口法：設計步驟_數字高通 從這個結果可以看出：一個高通濾波器相當于用一個全通濾波器即c=減去一個低通濾波器。 傳輸函數： 脈沖響應：Hap(z)Hlp(z)X(z)Y(z)97數字帶通濾波器5.3.4 窗口法：設計步驟_數字帶通令其幅頻特性為：頻域為 e-jM，表示時域右移 M 位 那么985.3.4 窗口法：設計步驟_數字

51、帶通求得 從這個結果可以看出：一個帶通濾波器相當于兩個低通濾波器相減，其中一個截止頻率為 h，另一個為 l。傳輸函數：脈沖函數：Hlph(z)Hlpl(z)X(z)Y(z)995.3.4 窗口法：設計步驟_數字帶通 或者一個帶通濾波器相當于一個低通濾波器和一個高通濾波器相乘，即先經過一個 LP DF，再經過一個 HP DF。傳輸函數：脈沖函數：頻域相乘，時域卷積 Hlp (z)Hhp(z)X(z)Y(z)100數字帶阻濾波器5.3.4 窗口法：設計步驟_數字帶阻令其幅頻特性為：頻域為 e-jM，表示時域右移 M 位 那么1015.3.4 窗口法：設計步驟_數字帶阻求得從這個結果可以看出：一個帶

52、阻濾波器相當于一個低通濾波器加上一個高通濾波器，低通濾波器的截止頻率為 l，高通在 h。傳輸函數：脈沖函數：Hlp(z)Hhp(z)+X(z)Y(z)102 給取樣頻率為 22kHz 的系統設計一個 FIR 帶通濾波器，中心頻率為 4kHz，通帶邊緣在 3.5kHz 和 4.5kHz，過渡帶寬為 500Hz，阻帶衰減 50dB。5.3.4 窗口法：設計步驟解：過渡帶寬：500Hz，轉換為數字頻率為： 截止頻率： 數字截止頻率： 1035.3.4 窗口法：設計步驟脈沖響應： 窗函數：因為阻帶衰減 50dB，可以選擇 Hamming 窗，即并且窗口長度為： ， 一般 N 取奇數，因此 N147，M

53、=73 那么此濾波器的脈沖響應為： 1045.3.4 窗口法：設計步驟計算得： .1055.3.4 窗口法：設計步驟1065.3.4 窗口法：設計步驟107FIR DF Matlab 設計函數b=fir1(n,wn,options)，單帶 FIR 濾波器b = fir2(n,f,m,options)，多帶 FIR 濾波器兩者可設計低通、高通、帶通、帶阻和通用多帶 FIR 濾波器Fir1 具有以下多種形式：b = fir1(n,Wn)b = fir1(n,Wn,ftype)b = fir1(n,Wn,window)b = fir1(n,Wn,ftype,window)b = fir1(.,nos

54、cale)參數向量 b 是 n 階 FIR 濾波器的系數截止頻率 Wn 是從 0 到 1 之間的數，1 對應著奈氏頻率。對于高通濾波器，ftype 為 high5.3.5 窗口法：Matlab 實現108對于帶通或帶阻濾波器，Wn 為包含通頻帶邊帶頻率的一個二元素向量 wn1,wn2， ftype 為 stop參量 window 表示所采用的窗函數類型。window 的長度必須為 n+1 n 為濾波器的階數，假設 window 卻省，那么 fir1 使用漢明窗。注意因為奇數階的 II 型濾波器h(n) 為偶對稱，長度N為偶數在高頻段的頻率響應為零，所以 fir1 函數在高通和帶阻情況下不設計

55、II型濾波器，因此，如果 n 為奇數時，fir1 將階次加 1 并返回 I 型濾波器。函數 b = fir2(n,f,m) 也可設計加窗 FIR 濾波器，但它針對任意形狀的分段piece-wise線性頻率響應。向量 f 由從 0 到 1 的頻率點組成，其中 1 表示奈氏頻率，第一個點必須是 0，最后一個點必須是 1，頻率點必須是遞增的。m 是對應于頻率點 f 處的期望的頻率幅值響應。f 和 m 的長度必須相等。 5.3.5 窗口法：Matlab 實現109Matlab 頻率響應函數在 Matlab 中提供了一個 freqz 函數，利用這個函數開發一個新的函數 freqz_m，它給出了絕對的和相

56、對的 dB 值幅度響應、相位響應以及群延時響應。5.3.5 窗口法：Matlab 實現function db,mag,pha,grd,w = freqz_m(b,a);% Modified version of freqz subroutine% -% db,mag,pha,grd,w = freqz_m(b,a);% db = Relative magnitude in dB computed over 0 to pi radians% mag = absolute magnitude computed over 0 to pi radians % pha = Phase response

57、in radians over 0 to pi radians% grd = Group delay over 0 to pi radians% w = 501 frequency samples between 0 to pi radians% b = numerator polynomial of H(z) (for FIR: b=h)% a = denominator polynomial of H(z) (for FIR: a=1)%H,w = freqz(b,a,1000,whole); H = (H(1:1:501); w = (w(1:1:501); mag = abs(H);

58、db = 20*log10(mag+eps)/max(mag); pha = angle(H); grd = grpdelay(b,a,w);110 根據以下技術指標，設計一個數字 FIR 低通濾波器 ws = 0.3，As = 50dB 采用漢明窗，確定脈沖響應，并給出所設計的濾波器的頻率響應圖。解: 在設計中，沒有使用通帶波動值 Rp=0.25dB，但必須檢查設計的實際波動，驗證它是否確實在給定容限內。5.3.5 窗口法：Matlab 實現% Lowpass filter design - Hamming windowwp = 0.2*pi; ws = 0.3*pi;tr_width =

59、ws - wpN = ceil(6.6*pi/tr_width) + 1 n=0:1:N;wc = (ws+wp)/2h = fir1(N,wc/pi);db,mag,pha,grd,w = freqz_m(h,1);delta_w = 2*pi/1000;Rp = -(min(db(1:1:wp/delta_w+1) % Passband RippleAs = -round(max(db(ws/delta_w+1:1:501) % Min Stopband attenuation111運行結果如下： tr_width = 0.3142 過渡帶寬 N = 67 濾波器的階數，長度為 68，Ty

60、pe II 偶對稱偶數 wc = 0.7854 理想 LPF截止頻率 Rp = 0.0364 實際通帶波動 As = 53 最小阻帶衰減5.3.5 窗口法：Matlab 實現 從結果看，67 階 Hamming 窗的 FIR 數字濾波器的實際阻帶衰減為 53dB，通帶波動為 0.0364dB，顯然滿足上面所提的技術要求，其時域和頻域響應曲線如以下圖所示。112 利用例 5.5 給出的設計技術指標，選擇 Kaiser 窗，設計所需的低通濾波器。解：5.3.5 窗口法：Matlab 實現% Lowpass filter design - Kaiser windowwp = 0.2*pi; ws =