1、九年級相似三角形動點問題 九年級相似三角形動點問題 相似三角形動點問題.選擇題（共1小題）5X5.如圖，小正方形的邊長均為 1,每個小格的頂點稱為格點，以格點連線為邊的三角形叫格點三角形.在如圖 的方格中，作格點三角形和 ABC相似，則所作的格點三角形中，最小面積和最大面積分別為（）A. 0.5 , 2.5 B, 0.5 , 5C. 1, 2.5D. 1,5解：如圖所示， DEF和AGHI分別是面積最小和面積最大的三角形.因為DEF AGHI 和4ABC都相似，AB=/2, DE=1, GH=10, 所以它們的相似比為 DE AB=1:也，GH AB=qfl: V2,的面積為X 2X 1=1,

2、2又因為相似三角形的面積比等于相似比的平方，而4 ABC故 DEF和AGHI面積分別為0.5, 5.故選B.填空題（共10小題）2.如圖，P是RtABC斜邊AB上的動點（P異于A、B）, / C=90 , / B=30 ,過點P的直線截 ABC使截得的三 角形與 ABC相似，當段=工或亞或至 時，截得的三角形面積為 ABC面積的BA 一2一 4 一4一4解：設P （lx）截得的三角形面積為 S, S4Saabc;則相似比為1: 2,4第1條l 1,此時P為斜邊AB中點，1i/AG一第2條l 2,此時P為斜邊AB中點，l 2/BG一 BA- 2第3條l 3,此時BP與BC為對應邊，且世=!瓦同B

3、PBF一 區 E為頂點的三角形與 ABC相似時，運 動的時間是3秒或4.8秒.三.解答題(共19小題).如圖，在 ABC中，AB=6cm AC=12cm動點M從點A出發，以1cm/秒的速度向點 B運動，動點 N從點C出發, 以2cm/秒的速度向點 A運動，若兩點同時運動，是否存在某一時刻 t ,使得以點A、M N為頂點的三角形與 ABC 相似，若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由.動點型.分析：首先設經過t秒時，4AMN與4ABC相似，可得 AM=t, CN=2t, AN=12- 2t (0t6),然后分別從當 MN/ BC時, AM中ABC與當/AMN=C時，ANWABC去分析，根據相似

4、三角形的對應邊成比例即可求得答案.解：存在t=3秒或4,8秒，使以點A、M N為頂點的三角形與 ABC相似(無此過程不扣分)設經過t秒時，4AMN與4ABC相似，此時,AM=t, CN=2t, AN=12- 2t (0t Z CDO令 PD& AOCD. / CDO= PED . CE=CD. COL ED . OE=OD OP= ED=OD=12九年級相似三角形動點問題 九年級相似三角形動點問題 若PC與邊OA的反向延長線相交過P作PHL OA P業OB垂足分別為 H, N,. / PED / EDC令 PD曰 AODC. / PDEW ODC/ OEC= PED. / PDEW HCP.

5、PH=PN RtAPHC RtAPND. HC=ND PC=PD. / PDC=45/ PDO= PCH=22.5 / OPC=180 / POG / OCP=22.5.OP=OCi OP=X 貝U OH=ON=?k .HC=DN=ODON=1-叱2 K2HC=HO+OC= ,+x. .1.= J- x+x-.x=.:即OP題L 13.如圖，矩形 ABCD43, AB=6cm AD=3cm CE=2cm動點P從A出發以每秒2cm的速度向終點 B運動，同時動點 Q也從點A出發以每秒1cm的速度向終點E運動.設運動的時間為 t秒.解答下列問題：(1)當0v tW3時，以A、P、Q為頂點的三角形能與

6、 ADE相似嗎？(不必說理由)(2)連接DQ試求當t為何值時？ ADQ為等腰三角形.(3)求t為何值時？直線 P5分矢I形ABCD勺面積.分析：(1)不能相似，因為相似時，只能/ AQP=90 , Z QPA=30 ,而 ADE中的銳角不能為30 ;(2)分為三種情況： 當AD=AQ=3cm寸，當DA=DQ寸，過D作DMLAE于M 當QA=QD寸，求出 AQ長即可；(3)連接AC,取AC中點O(即AO=OC,當直線PQ過O時，直線PQ平分矩形ABC曲面積，根據 ROC POA 求出CR=AP=2t得出RE=2t - 2, EQ=5- t,根據RQaPQAf導出照鍥，代入求出即可.解：(1)不能

7、相似；(2)二.四邊形 ABC皿矩形,.DC=AB=6cm/ADC=90 ,分為三種情況： 當AD=AQ=3cn0寸，此時t=3 ;當DA=DQ寸，過 D作DML AE于M,在 RtADE中，AD=3, DE=DO CE=6cm- 2cm=4cm 由勾股定理得： AE=5cm由三角形的面積公式得：Saade=1 x ADX dEaEX DM DM=r=cm,在RtADM中，由勾股定理得： AMq、？. JJ (cm),.DML AQ AD=DQ.AQ=2AM9cm (三線合一定理)，即t=;55當QA=QD寸，過Q作QNL AD于N,貝U AN=ND=J,2/ ADCW ANQ=90. QN/

8、 DC. DN=AN，EQ=AQAE=ix5cm=cm,即 t= 2 222綜合上述，當t為3秒或基秒或互秒時，4ADQ是等腰三角形.52(3)連接AC,取AC中點0(即AO=OC,當直線PQ O時，直線PQ平分矩形ABCD勺面積,.四邊形 ABCD矩形,DC/ AR :./OCR = OAF?在 ROC 和 APOA 中，f ZRCO=ZPAOOC=OA ,Izroc=Zpoa ROC POA( ASA ， CR=AP=2tRE EQ =. AP AQ CE=2 RE=2t- 2, EQ=5- t ,. DC/ AB,RQEAPQA2t - 2 5 - t解得：11=3, 12=0 (舍去)

9、.即t=3秒時，直線 PQ平分矩形ABCD勺面積.線段PCC的坐標.4.已知：RtAOAB在直角坐標系中的位置如圖所示，P (3, 4)為OB的中點，點C為折線OAB上的動點,把RtOAB分割成兩部分.在圖上畫出所有線段 PC,使分割得到的三角形與 RtOAB相似，并直接寫出點九年級相似三角形動點問題 九年級相似三角形動點問題 分析：根據平行于三角形一邊的直線分成的三角形與原三角形相似，可得PC/ AR PC/ OA時，分割得到的三角形與 RtAOAB相似，根據網格結構寫出此時點C的坐標即可；又當PC!OB時，分割得到的三角形與 RtOAB也相似，根據網格結構，利用勾股定理求出OB的長度，然后

10、根據相似三角形對應邊成比例列式求出BC的長度，再求出 AC的長度，從而得到此時點C的坐標.解：如圖，PC/ AB時，OCWOAB此時點 C的坐標為(3, 0),PC/ OA時，PCBOAB此時點 C的坐標為(6, 4),PC!OB時，CPBOAB根據勾股定理得，OB舊不豆二10,- P (3, 4)為OB的中點，PB=J；OB=5 .第罌，即第胄， ZIJD m 1U o解得BC=,AC=A9 BC=8-義=衛4 4此時點C的坐標為(6, N),4綜上所述，點C的坐標為(3, 0), (6, 4), (6, W).5.如圖，已知矩形 ABCD勺邊長AB=3cm BC=6cm某一時刻，動點 M從

11、A點出發沿AB方向以1cm/s的速度向B點勻速運動；同時，動點 N從D點出發沿DA方向以2cm/s的速度向A點勻速運動，問：(1)經過多少時間， AMN的面積等于矩形 ABC而積的(2)是否存在時刻t ,使以A, M N為頂點的三角形與 ACD相似？若存在，求t的值；若不存在，請說明理由.動點型.分析：(1)關于動點問題，可設時間為X,根據速度表示出所涉及到的線段的長度，找到相等關系，列方程求解即可，如本題中利用， AMN的面積等于矩形 ABC面積的工作為相等關系；9(2)先假設相似，利用相似中的比例線段列出方程，有解的且符合題意的t值即可說明存在，反之則不存在.解：(1)設經過x秒后，4AM

12、N的面積等于矩形 ABC面積的工，貝U有：工(62x) x=-iX3X6,艮X2 3x+2=0, (2 分)29解方程，得xi=1, x2=2, (3分)經檢驗，可知xi=1 , x2=2符合題意,所以經過1秒或2秒后，4AMN的面積等于矩形 ABC而積的士.(4分)ACD相似,(2)假設經過t秒時，以A, M N為頂點的三角形與由矩形 ABCD可彳導/ CDAW MAN=90 ,因此有瑞嗡喘嘿（5分）12=-（ 6 分）解，得t= W；解，得t= (7分)25經檢驗，t= 或t=孝都符合題意,M N為頂點的三角形與 ACD相似.所以動點M N同時出發后，經過 秒或基秒時，以A,256. Rt

13、ABC中，/ C=90 , AC=6厘米，BC=8厘米，動點P從點A開始在線段AC上以1厘米/秒的速度向點C移動,同時動點Q從點B開始在線段BA上以2厘米/秒的速度向點 A移動，當一個動點先運動到終點時，整個運動過程結束.設點P、Q移動的時間為t秒.(1)設4APQ的面積為y (厘米2),請你求出y與t的函數關系式，寫出自變量t的取值圍，并求出當t為何值時, APQ的面積最大；(2)在整個運動過程中，是否會存在以點A P、Q為頂點的三角形與 ABC相似？若存在，請你求出此時 t的值;若不存在，請你說明理由.分析：(1)根據已知條件求出 AB的長，再過點 Q作QHLAG交AC與點H,的長QHAB

14、CA求出雪噂,即可求出BC ABQH的值，最后求 Saapq的值；(2)存在在以點 A、P、Q為頂點的三角形與 ABC相似，此小題要分兩種情況進行討論，當/APQ=90時，九年級相似三角形動點問題九年級相似三角形動點問題 APQAAB(C求出t的值；當/PQA=90時，APQsABC求出t的值，經檢驗它們都符合題意即可. 解：(1) BC=8 AC=q 彳A AB=10, .AP=t, CP=6- t , BQ=2t, AQ=10- 2t , 過點Q作QHL AG交AC與點H,.QH/VABCA.坦 J。- 2t , TOC o 1-5 h z BC AB 810 S aap牛二AP?QHt

15、(8 t) =4t -t2;235當t= J 3時，面積有最大值，是 4至-$X會2 4(2)當/APQ=90 時，APMABC 貝嘿寺.y，仁普當/PQA=90時，4AP64ABC則旭/？，則義二,解得t=-!,ACAB 6 -1013當t為吊或捐時，經檢驗，它們都符合題意，此時 AQP和 ABC相似，故存在以點 A P、Q為頂點的三角形與 ABC相似.7.如圖，在正方形網格上有若干個三角形，找出與ABC相似的三角形.分析：可利用正方形的邊把對應的線段表示出來，利用三邊對應成比例兩個三角形相似，分別計算各邊的長度即可解題.解：觀察可以發現 AC=：AB,故該三角形中必須有一條邊與鄰邊的比值為

16、.EBF 中，BF/, EF=/10, BF=5,D舊中，DI=2, DB=2/2, BI=2近，HFE 中，HF=fl, HE=2, EF=/10,ABC 中，AB=1, AC=/2, BC二后計算對應邊比值即可求得EBFADIBAHFEAABC8.如圖，在梯形 ABCD43, AD/ BC AD=2 BC=1Q對角線 AC=4,動點E從點B出發，以2cm/s的速度向點 C運動, 運動時間為t (s) (0WtW5).那么當t為何值時，以 A、E、C為頂點的三角形與 ADC相似.分析：由于AD/ BG得/ DACW BCA若以 A E、C為頂點的三角形與 ADC相似，可得兩種情況:AADS

17、ACEA此時應邊 AD=AD則兩三角形全等， AD=EC=2ADSCAE此時AD AC=AC CE,根據所得的比例式，即可求出CE的長；根據上述兩種情況所得出的 CE的值，再除以B點的速度，即可求出時間 t的值.解：.AD/ BCZ DACW BCA當ADS ACEA時，過即 EC=AD=2 t=2+2=1s； ECAC當ADSCAE時，即 CE=aC+ AD=8 t=8+2=4s；故當t為1s或4s時，以A、E、C為頂點的三角形與 ADC相似.9.如圖，在 RtABC中，/C=90 , AC=4cm BC=3cm動點M從點A出發，以每秒1cm的速度沿 AC向終點C移動， 同時動點P從點B出發

18、，以每秒2cm的速度沿BA向終點A移動，連接PM設移動時間為t （單位：秒，0vtv2.5）.當 t為何值時，以 A, P, M為頂點的三角形與 ABC相似？分析：根據勾股定理求出 AB,根據相似得出兩種情況，根據相似得出比例式，代入比例式求出即可.解：.如圖，在 RtABC中，/ C=90 , AC=4cm BC=3cm，根據勾股定理，得 AB=;彳-=5cmi,以A, P, M為頂點的三角形與 ABC相似，分兩種情況:當AMPABC 時,解得t=軍.14當APWABC時,黑時即解得t嚕綜上所述，當t=25T西以A、P、M為頂點的三角形與 ABC相似.選作題.在 ABC 中，/ C=90(1

19、)如圖1, P是AC上的點，過點P作直線截 ABC使截得的三角形與 ABC相似.例如：過點 P作PD/ BC交 AB于D,則截彳#的4 ADP與4ABC相似.請你在圖中畫出所有滿足條件的直線.(2)如圖2, Q是BC上異于點B, C的動點，過點 Q作直線截 ABC使截得的三角形與 ABC相似，直接寫出滿足 條件的直線的條數.(不要求畫出具體的直線)分析：(1)根據平行于三角形一邊的直線截另兩邊或另兩邊的延長線所得三角形與原三角形相似，可以作DP/ BG PEE/ AB;又由有兩個角對應相等的三角形相似，可以過點P作PGLAB交AC于點G,過點P作/PFChA即可；(2)本題需要根據 BQ的取值

20、圍不同，所畫的直線條數不同討論即可.解：(1)如圖所示：4條.已知：如圖，在平面直角坐標系中，A、B兩點分別在x軸，y軸的正半軸上，點 A (6, 0), / BAO=30 .(1)求點B的坐標；(2)點P是線段AB上的動點，若使 POA為等腰三角形，求點 P的坐標；(3)在第一象限是否存在點 Q,使彳#以。B為頂點的三角形與 OAB相似？若存在，請求出所有符合條件的點 Q的坐標；若不存在，請說明理由.九年級相似三角形動點問題0九年級相似三角形動點問題 分析：(1)在直角三角形 AOB中，由OA與tan30的值求出OB的長，即可確定出 B的坐標；(2) P為線段AB上的動點，若使 POA為等腰

21、三角形，則有 OP=PA PA=ACM種情況，如圖1所示，當OP=P1A時，連接OP,作PiCiOA則Ci為AO的中點，PiCi為4AOB的中位線，求出 PiC與OC的長，確定出此時 Pi的坐標；當P2A=AO寸，連接。粒，彳P2C2 OA可彳#出P2A=AO=6 / P2A0=30 ,在RtPzAC中，求出P2c與AO的長，進而確定出0C的長，確定出此時 P2的坐標即可；(3)分三種情況考慮：當/ 0BQ為直角時，如圖2所示，再分兩種情況考慮：(DABQCAOAB若4BQ40AB 時，分別求出Q的坐標；當/CQB為直角時，如圖3所示，再分兩種情況考慮： 過。作OQL AB,此時4Q0匕40AB 若4QB40AB時，分別求出Q的坐標；當/BOQ為直角時，經檢驗不合題意，綜上，得到所有滿足題意 Q的坐標.解：(i)在 RtAOB中，0B=0A?tan30 =6X運涓,3則B坐標為(0, 2