1、任意角的三角函數教案 一、教材分析“ 任意角的三角函數” 是人民訓練出版社（A 版）一般高中標準試驗教科書數學必修4 第一章其次節的內容,是第一章“ 任意角和弧度制” 的后繼內容；1、主要教學內容：1、任意角三角函數（正 弦、余弦、正切）的定 義 ;任意角的三角函數 2、公式一 : sin k 2 sin 利用單位圓懂得 cos k 2 cos學問結構圖：tan k 2 tan3、三種三角函數的定義 域和函數值在各象限的 符號；2、教材的位置與作用：“ 任意角的三角函數” 是高中數學特別重要的內容,本節是三角函數第一章其次節第一課時,主要學習任意三角函數的定義,它是這一章也是整個三角函數部分的

2、重要基礎學問,在教材內容結構上起到一個承上啟下的作用,對三角函數的整體學習也至關重要；同時它又為平面對量、解析幾何等內容的學習作必要的預備；最終對任意角的三角函數的探究過程中,使同學經受了觀看、歸納、推理、溝通、反思等理性思維過程,培育了同學的思維方式,提高了他們探究問題、分析問題、解決問題的才能,幫助同學更加深化懂得函數這一基本概念,為以后的學習奠定了扎實的基礎；所以這個內容要仔細探討教材,細心設計過程；二、學情分析1、學問基礎： 在中學時,同學已經學了“ 銳角三角函數” 為本節懂得三角函數的幾何意義有幫忙,以及在本章第一節“ 任意角與弧度制” 的內容中同學用坐標不僅找出來任意角與象限角,而

3、且仍明白了它們的含義與性質,對角的范疇和表示方法有所明白,學習了弧度制,同學能夠把以前所學過的角度都在弧度制下表示出來；2、才能基礎：高一同學已初步具有抽象規律思維才能,相對于中學同學來說已經相對成熟,能在老師的引導下獨立的解決問題；3、習慣情形 ：班級同學基礎學問較扎實、思維較活躍,能較好的應用數形結合解決問題,但處理抽象問題的才能仍有待進一步提高；三、教學重難點1、重點： 任意角三角函數的定義及分別在各個象限的符號判定法；終邊相同角的誘導公式（一） ；2、難點： 從函數角度懂得以實數為自變量的任意角的三角函數,以及單位圓、有向線段的應用；四、教學目標1、學問與技能目標：借助單位圓懂得任意角

4、三角函數（正弦、余弦、正切）的定義：能用直角坐標系中角的終邊與單位圓交點的坐標來表示銳角三角函數；能用直角坐標系中角的終邊與單位圓交點的坐標來表示任意角的三角函數；知道三角函數是討論一個實數集（角的弧度數構成的集合）到另一個實數集（角的終邊與單位圓交點的坐標或其比值構成的集合）的對應關系,正弦、余弦和正切都是以角為 自變量,以單位圓上點的坐標或坐標的比值為函數值的函數2、滲透數學的思想方法：同學的積極參加,親身經受,通過觀看,利用幾何畫板讓同同學們進一步懂得任意 角在坐標系中的幾何樣貌,體驗坐標的優越性,數形結合思想的運用；老師引導同學回憶中學銳角三角函數的學問內容,提出猜想,運用幾何畫板,驗

5、證 任意角的幾何性質,提出單位圓的思想,感受運算機科技工具的快捷便利性,培育同學利 用多媒體解決問題的方法；推導任意角的三角函數的過程類似于數學建模的過程,它貫穿明白析幾何的始終,通過適當的建立坐標系與構造單位圓的方法,回憶以往三角函數的性質帶入坐標系中,讓 同學有一種回憶舊知的習慣；總結規律,把握方法,為后面三角函數的誘導公式等學習提 供示范；3、情感態度與價值觀：通過培育同學主動探究、合作溝通的過程,加強了同學團隊協作意識,感受探究的樂 趣和勝利的歡樂；養成實事求是的科學態度和鍥而不舍的精神；激發同學的學習愛好、增強數學應用和創新意識,體會數學的美感,熟悉數學的科學 價值、應用價值和文化價

6、值；應用多媒體、幾何畫板等教學,提高同學的活躍性,讓學問具有科學依據；五、教學教法1、教法： 數學是集抽象與實踐為一體的重要學科,因此在教學過程中,不僅要使學 生“ 知其然” 仍要使同學“ 知其所以然” ；考慮到同學的現狀,主要實行“ 溫故知新,逐 步拓展” 的形式讓同學真正參加到教學,在學習中,得到體驗；通過復習銳角三角函數的 定義結合前面角的概念的推廣提出問題：如何修正三角函數的定義？進一步擴展所學內 容,進展新學問,從而激起同學探求新知的欲望,調動同學參加學習的積極性；教學中運 用多媒體工具提高直觀性增強趣味性,并留意用新課程理念處理傳統教材,使同學在學習 活動自主探究、動手實踐、合作溝

7、通,老師發揮引導者、合作者的作用,引導同學主動參與、揭示本質、經受過程、收成成果；主要以“ 老師主導、同學主體” 的原就,采納“學“ 啟示、引導發覺式” 教學方法組織教學；2、學法： 在教學過程中,要充分調動同學的積極性和主動性,讓同學從機械的答” 向“ 學問” 轉變,從“ 學會” 向“ 會學” 轉變,成為真正的學習的主人；這節課在指 導同學的學習方法和培育同學的學習才能方面主要實行以下方法：分析歸納法、自主探究 法、總結反思法；同時同學具備肯定的自學才能,教學中通過同學對已把握的學問進行拓展, 既培育同學從現有學問探究新學問的才能 識；六、教學預備 1、常規媒體（黑板）；3、“ 幾何畫板”

8、、 ppt 課件制作；, 又提高了同學解決問題的數學思想與數學意（為了加強同學對三角函數定義的懂得,幫忙同學克服在懂得定義過程中可能遇到的障 礙,本節課預備在運算機的支持下,利用幾何畫板動態地討論任意角與其終邊和單位圓交 點坐標的關系,構建有利于同學建立概念的“ 多元聯系表示” 的教學情境,使同學能夠更 好地數形結合地進行思維；）七、 教學程序1、設立情形、引入課題A、提問形式 ：上節課已經學習了角的推廣,我們推廣到了任意角,那么任意角給你 留下印象最深的是什么？（猜測答案：1、一個角可以表示出許多個角 補充：這些角就是在直角坐標系中與它 終邊相同的角,也就是相差 360 度整數倍是吧 ；2、

9、角度可以是正角、負角、零角；3、能夠用角度表示它對應的弧長 是吧,這樣一個角就可以弧度數來表示它 補充：那么這個就是用弧度制來度量4、假如把角放在直角坐標系中,當它終邊一圈一圈轉時,可以觀察一種 周而復始的現象 演示幾何畫板：以原點為頂點,x 軸非負半軸為始點,圍著頂點轉動,角 周而復始的現象,補充：其實最關鍵的是這個角是由旋轉生成的 ）轉動 引入：任意角 圓周運動 函數？任意角的三角函數 讓同學舉出實例 多媒體展現圖片 （圓周運動時生活一個特別重要的運動,函數是數學當中用來刻畫客觀世界變化規律的一 個數學模型,那就產生了這樣一個問題：任意角的這種圓周運動應當用什么樣的函數來刻 畫它呢？）2、

10、啟示誘導,探究新知A、【啟示誘導】：在中學我們已經學過銳角三角函數,知道它們都是以銳角為 自變量,以比值為函數值的函數；上節課老師給大家布置了一個課后作業就是 去復習銳角三角函數的定義,中學學的三角函數是在什么圖形中定義的？（直 角三角形）,那么現在我們的角放在直角坐標系里面,我們要定義三角函數是 不是同樣需要一個直角三角形？B、【同學探究】： 現在同學們結合所學的學問在紙上用直角坐標系來表示出銳 角三角函數,老師等一下要抽同學來展現自己的成果；（抽同學將成果貼在黑 板上,并講解自己的思路；）rx2y2（總結補充：設銳角的頂點與原點O重合,始邊以x 軸的非負半軸重合,那么它的終邊在第一象限,在

11、的終邊上任取一點Px,y,它與原點的距離OPrx2y20,依據siny,cosx,tany；）中學學過的三角函數我們有：rrx（1）銳角三角函數定義：A、【老師啟示】：【問題 1】這個就是銳角三角函數,它反映的是直角三角形中邊角的關系,那么 銳角三角函數它是不是真的函數呢？從高中函數定義這個角度你能不能說明一下呢？（猜測回答1：siny是函數,由于每一個y 都有唯獨的x 與之對應（那這就涉r及到一個問題了：這里自變量是（ ）誰是函數值呢（y）y（猜測同學訂正：函數值應當是r）【問題 2】 那么依據高中函數的定義你怎么來說明它就是函數？（猜測答案 2：y 取一個值時都有唯獨的與之對應 ）y（猜測

12、同學訂正：應當是取定一個y值,有唯獨的r與它對應的 ）B、【老師總結】：任取定y唯獨確定的（那么只要滿意這樣一個關系就是一r個函數是吧,于是cosx tan r同理）x2 、單位圓思想：y A、【老師啟示】 ：（任取 ,r這個比值是唯獨確定,那這個比值是不是和P 點的位置有關呢（是的）這個比值是隨著P 點的變化而變化嗎？那我角給定的情形下會不會轉變它的比值呢？（不會） ,為什么（由于角給定了,sin 是定的全部比值是不變的）（幾何畫板播放）當角給定時, P 在終邊上運動,坐標變化,但是比值不變,這是為什么y呢？依據是什么（相像）,所以有了相像的比可以保證我們的r這個比值并不是隨著終邊y上點的位

13、置變化而變化的,只要角給定了這個比值也是給定了的；既然 r 這個比值與點在終邊上的位置無關,那這個點可以在終邊上位置隨便取吧（可以）,那么一般我們取什么地方比較好呢（r=1 ）,那 r=1 時有什么好處？是不是直接可以寫出：ysinr sin ycos x r 1cos xrtanx y tan yx那么此時 x、y 對應的幾何含義是什么？假如把 x、y 看成一個點 Px,y 這個點是一個怎樣的點？ B 、【老師總結】 ：Px,y 是單位圓與角終邊的交點；當角是銳角時,就可以得到一個結論siny,cosx ,tanyx, 找到了這個邊和角的關系；（3）、利用單位圓與銳角三角函數的定義,定義任意

14、角的三角函數： A 、【老師引導】 ：而且我們發覺當是銳角的時候,siny就是一個函數,是以角r為自變量, y 為函數值得一個函數,那我們能不能用它來刻畫整個圓周運動呢？剛才呢角是銳角的時候,我們找到了這些量之間的關系,那假如這個角是鈍角呢？這個關系仍有沒有呢？ （幾何畫板） 我把它變為鈍角,大家發覺鈍角現在不好放在直角三角形中了,但是給你一個角是不是依舊有一個x、y 與它對應啊？（是） ,那假如我把它變成第三象限角,是不是仍舊有個 x、y 與它對應啊？（是） ,也就是無論角怎么轉變,那么就有一個結論,任給一個角都有一唯獨的 x、y 與它對應是吧（是） ,利用之前銳角三角函數的定義,那同樣我們

15、也可以說明,就把這個y 叫做 的正弦, x 就叫它的余弦：任意角三角函數定義：設是一個任意角,它的終邊與單位圓交于點;Px,y,那么： 1y叫做的正弦,記做sin,即siny ; 2x叫做的余弦,記做cos,即cosx; 3 y叫做的正切,記做tan,即tanyxx那么這三個以角為自變量,以坐標或者坐標的比值為函數值的函數,我們就把它稱 作是任意角的三角函數；那么從函數的角度分析一下,函數應當有個三要素,那這些函數的定義域是什么 呢？（猜測答案：由于它是任意角,全部它的定義域應當是,）也就是實數R；那tany中R 嗎？y是個比值,全部x 0）那也就是說對點P 的位置x（r有要求是吧（ OP不能

16、與 x 軸垂直）也就是角不能落在y 軸上,那么對角也應當是有條件的 k ,kZ,可以看出,當kkZ時, 的終邊在 y 軸上,這2 =2y時點 P 的橫坐標 x 等于 0,所以 tan =r 無意義； B 、【 老師總結】：任意角三角函數定義：設是一個任意角,它的終邊與單位圓交于點Px ,y,那么：1 y 叫做的正弦,記做sin,即siny ,其中R ;R ;Z；2x叫做的余弦,記做cos,即cosx,其中3 y叫做的正切,記做tan,即tany,xx其中R 且k ,k2對于確定的 ,上述三個值都是唯獨確定的,所以正弦、余弦、正切都是以角為自變量,以單位圓上點的坐標或坐標的比值為函數值的函數,所

17、以我們將它們統稱為三角函數；由于角的集合與實數集之間可以建立一一對應關系,三角函數可以看成是自變量為實數的函數； 3 、隨堂練習,鞏固新知例 1（1）、任給一個角,“ 口算” 它的三角函數值： 協作幾何畫板解決問題 p 的坐標sin270o1 cos3 （1）tan4（2）假如角 的正弦值為sin =-1, 你能寫出其中的一個角嗎？（270 度,應為sin =y=-1 就是單位圓與Y 軸的交點在y 軸的負半軸上,所以點為（ -1 、0）所以角 的終邊是 y 軸的負半軸, =270 度）推廣： 其實仍有沒有啊（有 ）許多許多,能不能表示啊？3 2 k （k R）就是 = 2（那為什么他們的正弦值

18、都為-1 呢,（由于他們的終邊都相同,都是 y 軸的負半軸）那對于任意的角 ,只要與它終邊相同的角的正弦值都相同嗎？（幾何畫板演示）,我們就可以表示為：sin 2 k sin,那么對于余弦值,正切值也一樣嗎（幾何畫板演示）；總結結論： 由三角函數定義,可以知道終邊相同的角的同一三角函數的值相等sin 2 k sin ,cos 2 k cos , 公式一 tan 2 k tan , 其中 k Z .（由公式一可知,三角函數值有“ 周而復始” 變化規律,即角 的終邊每繞原點旋轉一周,函數值將重復顯現,所以利用公式一,可以把求任意角的三角函數值,轉化為求 0 到2 （或 0360 度）角的三角函數值

19、； ）探究（ p13）符號判定,形象記憶那么剛剛所給的角都是特別的角,假如我任取一個角,如391.11度,那這個角有些特點仍是可以把握的,比如說,這個角終邊現在這里,那么這個角的正弦值、余弦值、正切值的符號你能確定嗎？依據什么來確定呢？（象限）為什么依據象限就可以判定它的符號呢？假設這個點在第一象限呢？（猜測答案：由于在第一象限,x 、 y 的值都是正的,于是比值也是正的,而：siny,cosx ,tany,所以這個角的正弦、余弦、正切值也都是正的）其實根x據坐標的符號就可以肯定三角函數值得符號有沒有道理啊？（有）那么總結不同象限的函數值,依據終邊所在位置總結出形象的識記口訣y ：x y y

20、x x （同好得正、異號得負）sin = y/r：上正下負橫為 0 cos =x/r ：左負右正縱為 0 tan =y/x ：交叉正負（設計意圖：判定三角函數值的正負符號,是本章教材的一項重要的學問、技能要求 . 要引導同學抓住定義、數形結合判定和記憶三角函數值的正負符號,并總結出形象的識記口訣,這也是懂得和記憶的關鍵 變式練習：. ）現在我們就應用這個道理大家算算看：例 2、不求值你是否能判定以下三角函數值的符號？sin50503cos4 tan11y）56例 3、已知角 的終邊過點P1,22,求 的正弦、余弦、正切值？（幾何畫板）（由于 r=1 所以可以看做是單位圓與 的終邊的交點那么si

21、ny ,cosx ,tanx（那么通過剛才的這些例題,就是為了鞏固三角函數定義的熟悉）4、形成測試,評判回授 摸索題： 一個質點從點（1、0）動身,在單位圓上按逆時針方向作勻速圓周運動,如經過弧長為 x,試用 x 表示質點所在位置P 點的坐標；（協作幾何畫板質點運動講解）（這樣來看,三角函數的確能夠很好的表示圓周運動是吧）課堂練習（ p15 題 3）填表：角 （角090180270360度）角 （弧 度）sin cos tan 處理：要求取點用定義求解,針對運算過程提問、點評,懂得鞏固定義；強調：終邊在坐標軸上的角叫軸線角,如0、 /2、 、3 /2等,今后常常用到軸線角的三角函數值,要結合三

22、角函數定義記熟這些值；（設計意圖：準時支配自學例題、自做教材練習題,一般性與特別性相結合,進行適 量的變式練習,以鞏固和加深對三角函數概念的懂得,通過課堂積極主動的練習活動進行 思維訓練,把“ 培育同學分析解決問題的才能” 貫穿在每一節課的課堂教學始終；）5、小結（1）利用單位圓定義三角函數的定義：銳角三角函數與解直角三角形直接相關,中學我們是利用直角三角形邊的比值來表 示其銳角的三角函數通過今日的學習,我們知道任意角的三角函數雖然是銳角三角函數 的推廣,但它與解三角形已經沒有什么關系了我們是利用單位圓來定義任意角的三角函數,借助直角坐標系中的單位圓,我們建立了角的變化與單位圓上點的變化之間的對應關 系,進而利用單位圓上點的坐標或坐標的比值來表示圓心角的三角函數你能再回憶一下我們是如何借助單位圓給出任意角三角函數的定義嗎？師生活動： 在同學給出定義之后,老師進一