1、高 等 數 學第六章 定積分的應用回顧曲邊梯形求面積的問題一、定積分元素法abxyo面積表示為定積分的步驟如下（3） 求和，得A的近似值（1）把區間分成n個長度分別為的小區間，那么相應的曲邊梯形被分為個小窄曲邊梯形，第個小窄曲邊梯形的面積為abxyo（4） 求極限，得A的精確值提示面積元素若用上的窄曲邊梯形的面積， 則并取于是 表示任一小區間元素法的一般步驟：1）分割2）近似3）求和4）取極限這個方法通常叫做元素法應用方向：平面圖形的面積；體積；平面曲線的弧長；功；水壓力；引力和平均值等 f上(x) f下(x)dx,它也就是面積元素.二、平面圖形的面積 設平面圖形由上下兩條曲線yf上(x)與y

2、f下(x)及左右兩條直線xa與xb所圍成. 因此平面圖形的面積為 在點x處面積增量的近似值為 1.直角坐標情形 討論： 由左右兩條曲線xj左(y)與xj右(y)及上下兩條直線yd與yc所圍成的平面圖形的面積如何表示為定積分？提示： 面積為 面積元素為j右(y)j左(y)dy, 例1 計算拋物線y2x與yx2所圍成的圖形的面積. 解 (2)確定在x軸上的積分區間: 0, 1; (1)畫圖; (4)計算積分 例2 計算拋物線y22x與直線yx4所圍成的圖形的面積. (2)確定在y軸上的積分區間: (4)計算積分 (3)確定左右曲線:-2, 4. 解 (1)畫圖; 解兩曲線的交點選 為積分變量于是所

3、求面積說明：注意各積分區間上被積函數的形式 例4 因為橢圓的參數方程為 xacost, ybsint, 所以 解 橢圓的面積是橢圓在第一象限部分的四倍.于是 ydx, 橢圓在第一象限部分的面積元素為 曲邊扇形曲邊扇形的面積元素 曲邊扇形是由曲線()及射線, 所圍成的圖形.曲邊扇形的面積 2.極坐標情形 例1 計算阿基米德螺線a (a0)上相應于從0變到2 的一段弧與極軸所圍成的圖形的面積. 解 曲邊扇形的面積： 例2 計算心形線a(1cos)(a0)所圍成的圖形的面積. 解 解由對稱性知總面積=4倍第一象限部分面積三、旋轉體的體積 旋轉體就是由一個平面圖形繞這平面內一條直線旋轉一周而成的立體.

4、 這直線叫做旋轉軸. 1.旋轉體的定義 旋轉體就是由一個平面圖形饒這平面內一條直線旋轉一周而成的立體這直線叫做旋轉軸圓柱圓錐圓臺 2、體積求法 旋轉體都可以看作是由連續曲線yf(x)、直線xa、ab及x軸所圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉一周而成的立體. 旋轉體的體積 旋轉體的體積元素 考慮旋轉體內點x處垂直于x軸的厚度為dx的切片, 用圓柱體的體積f(x)2dx作為切片體積的近似值, 旋轉體的體積 于是體積元素為 dVf(x)2dx. 例1 連接坐標原點O及點P(h, r)的直線、直線xh及x軸圍成一個直角三角形. 將它繞x軸旋轉構成一個底半徑為r、高為h的圓錐體. 計算這圓錐體的體積. 解 旋轉體

5、的體積： 例2 計算由橢圓 所成的圖形繞x軸旋轉而成的旋轉體(旋轉橢球體)的體積. 旋轉體的體積： 解 軸圍成的圖形繞x軸旋轉而成的立體. 旋轉橢球體的體積為 旋轉體的體積： 例3 計算由擺線xa(tsint), ya(1cost)的一拱, 直線y0所圍成的圖形分別繞x軸、y軸旋轉而成的旋轉體的體積. 解 所給圖形繞x軸旋轉而成的旋轉體的體積為 例4 計算由擺線xa(tsint), ya(1cost)的一拱, 直線y0所圍成的圖形分別繞x軸、y軸旋轉而成的旋轉體的體積. 解 設曲線左半邊為x=x1(y), 右半邊為x=x2(y). 所給圖形繞y軸旋轉而成的旋轉體的體積為6 3a3 . 解 繞固

6、定軸旋轉所成旋轉體的體積解(2)四、平面曲線的弧長. 設曲線弧由直角坐標方程yf(x) (axb)給出, 其中f(x)在區間a, b上具有一階連續導數. 現在來計算這曲線弧的長度. 在曲率一節中, 我們已經知道弧微分的表達式為 這也就是弧長元素. 因此, 曲線弧的長度為直角坐標情形 曲線yf(x)(axb)的弧長： 例1 長度. 因此, 所求弧長為 解 解 設曲線弧由參數方程x(t)、y(t)(t)給出, 其中(t)、(t)在, 上具有連續導數. 于是曲線弧的長為 參數方程情形 曲線yf(x)(axb)的弧長： 曲線x(t)、y(t)(t)的弧長： 解: 曲線yf(x)(axb)的弧長： 例2

7、 計算星形線 , 的全長. 用參數方程的弧長公式 曲線x(t)、y(t)(t)的弧長： 例3 求擺線xa(qsinq), ya(1cosq)的一拱(02 )的長度. 解 于是所求弧長為曲線yf(x)(axb)的弧長： 弧長元素為 設曲線弧由極坐標方程()()給出, 其中()在, 上具有連續導數. 因為 x(q)cosq, y(q)sinq (), 所以弧長元素為 曲線弧的長為 極坐標情形 曲線yf(x)(axb)的弧長： 曲線x(t)、y(t)(t)的弧長：曲線()()的弧長： 例4 求阿基米德螺線a (a0)相應于從0到2 一段的弧長. 解 于是所求弧長為 弧長元素為曲線yf(x)(axb)

8、的弧長： 曲線x(t)、y(t)(t)的弧長：解:解證根據橢圓的對稱性知故原結論成立.補充 平行截面面積為已知的立體的體積 如果一個立體不是旋轉體，但卻知道該立體上垂直于一定軸的各個截面面積，那么，這個立體的體積也可用定積分來計算.立體體積 例 一平面經過半徑為R的圓柱體的底圓中心, 并與底面交成角. 計算這平面截圓柱所得立體的體積. 建立坐標系如圖, 則底圓的方程為x2y2R2. 所求立體的體積為截面面積為A(x)的立體體積： 解 立體中過點x且垂直于x軸的截面為直角三角形, 其面積為 例2 求以半徑為R的圓為底、平行且等于底圓直徑的線段為頂、高為h的正劈錐體的體積. 建立坐標系如圖, 則底圓的