1、專題10角度的計算（壓軸題專項講練）【典例1】如圖，點O為直線AB上一點，BOC40，OD平分AOC（1）求AOD的度數；（2）作射線OE，使BOE=2COE，求COE的度數；3（3）在（2）的條件下，作FOH90，使射線OH在BOE的內部，若DOF3BOH，求AOH的度數【思路點撥】（1）根據平角定義和角平分線定義即可得結果；（2）根據題意分兩種情況畫圖：如圖1，當射線OE在AB上方時，如圖2，當射線OE在AB下方時，BOE=2COE，利用角的和差進行計算即可；3（3）根據題意分四種情況畫圖：如圖3，當射線OE在AB上方，OF在AB上方時，作FOH90，使射線OH在BOE的內部，DOF3BO

2、H，如圖4，當射線OE在AB上方，OF在AB下方時，如圖5，當射線OE在AB下方，OF在AB上方時，如圖6，當射線OE在AB下方，OF在AB下方時，利用角的和差進行計算即可【解答過程】解：（1）BOC40，AOC180BOC140，OD平分AOC，AOD=1AOC70；2（2）如圖1，當射線OE在AB上方時，BOE=2COE，3BOE+COEBOC，2COE+COE40，3COE24；如圖2，當射線OE在AB下方時，BOE=2COE，3COEBOEBOC，COE2COE40，3COE120；綜上所述：COE的度數為24或120；（3）如圖3，當射線OE在AB上方，OF在AB上方時，作FOH90

3、，使射線OH在BOE的內部，DOF3BOH，設BOHx，則DOF3x，FOCCODDOF703x，AOHAOD+DOF+FOH70+3x+90160+3x，EOHBOCCOEBOH4024x16x，FOHFOC+COE+EOH703x+24+16x90，x5，AOH160+3x175；如圖4，當射線OE在AB上方，OF在AB下方時，AOFDOFAOD3x70，BOFFOHBOH90 x，AOF+BOF180，3x70+90 x180，解得x80，COB40，8040，x80不符合題意舍去；如圖5，當射線OE在AB下方，OF在AB上方時，AOFDOF+AOD3x+70，BOFFOHBOH90 x

4、，AOF+BOF180，3x+70+90 x180，解得x10，AOH180BOH180 x170；如圖6，當射線OE在AB下方，OF在AB下方時，AOFDOFAOD3x70，BOFFOH+BOH90+x，AOF+BOF180，3x70+90+x180，解得x40，AOHAOF+FOH50+90140綜上所述：AOH的度數為175或170或1401如圖所示，能用，AOB，O表示同一個角的是（）ABCD2如圖所示，AOB是直線，圖中小于180的角共有（）A7個B9個C8個D10個3（2020秋錦江區校級期末）楊老師到幾何王國去散步，剛走到“角”的家門，就聽到A、B、C在吵“架，A說：我是4815

5、，我應該最大!”B說：我是48.3，我應該最大!”C也不甘示弱：我是48.15，我應該和A一樣大!”聽到這里，楊老師對它們說：“別吵了，你們誰大誰小，由我來作評判!”，楊老師評判的結果是（）AA最大BB最大CC最大DAC4（2020秋含山縣期末）如圖，已知點A在點O的北偏東4240方向上，點B在點O的正南方向，OE平分AOB，則E點相對于點O的方位可表示為（）A南偏東6840方向C南偏東6820方向B南偏東6940方向D南偏東6910方向5（2020秋寧波期末）如圖，點O在直線AB上，COBEOD90，那么下列說法錯誤的是（）A1與2相等CAOD與1互補BAOE與2互余DAOE與COD互余（6

6、2020秋成華區期末）親愛的同學，現在是北京時間下午2：47，按正常做題速度，你應該做到此題了，此時鐘表上的時針和分針的夾角度數是7（2020秋皇姑區期末）看下面小明和小麗的對話：小明：“我今天12點10分到達圖書館時，你已經開始看書了，你是什么時間到的呢？小麗：“我11點30分從家出發，到達圖書館時，鐘表的時針與分針的夾角恰好是11”回答問題：小麗從家到圖書館共用了分鐘8（2020秋橋東區校級期中）觀察下圖，回答下列問題：（1）在圖中有幾個角？（2）在圖中有幾個角？（3）在圖中有幾個角？（4）以此類推，如圖所示，若一個角內有n條射線，此時共有多少個角？（92020秋興業縣期末）如圖，O是直線

7、AB上一點，OC為任一條射線，OD平分BOC，OE平分AOC（1）若BOC70，求COD和EOC的度數；（2）寫出COD與EOC具有的數量關系并說明理由10（2020秋江北區期末）將一副三角板疊放在一起，使直角頂點重合于點O（1）如圖1，若AOD35，求BOC的度數（2）若三角板AOB保持不動，將三角板COD的邊OD與邊OA重合，然后將其繞點O旋轉試猜想在旋轉過程中，AOC與BOD有何數量關系？請說明理由（112020秋鐵西區期末）1）如圖1所示，已知AOC90，AOB38，OD平分BOC，請判斷AOD和BOD之間的數量關系，并說明理由；（2）已知：如圖2，點O在直線AD上，射線OC平分BOD

8、求證：AOC與BOC互補；（3）已知EPQ和FPQ互余，射線PM平分EPQ，射線PN平分FPQ若EPQ（090），直接寫出銳角MPN的度數是12（2021春乳山市期末）【問題回顧】我們曾解決過這樣的問題：如圖1，點O在直線AB上，OC，OD分別平分AOE，BOE，可求得COD90（不用求解）【問題改編】點O在直線AB上，COD90，OE平分BOC（1）如圖2，若AOC50，求DOE的度數；（2）將圖2中的COD按圖3所示的位置進行放置，寫出AOC與DOE度數間的等量關系，并寫明理由13（2020秋溫江區校級期末）已知AOB60，求：（1）如圖1，OC為AOB內部任意一條射線，OM平分AOC，O

9、N平分BOC，求MON；（2）如圖2，當OC旋轉到AOB的外部時，MON的度數會發生變化嗎？請說明原因；（3）如圖3，當OC旋轉到AOB（BOC120）的外部且射線OC在OB的下方時，OM平分AOC，射線ON在BOC內部，NOC=1BOC，求COM2BON的值？4314（2020秋南寧期末）如圖，已知AOB120，OC是AOB內的一條射線,且AOC：BOC=1：2（1）求AOC，BOC的度數；（2）作射線OM平分AOC，在BOC內作射線ON，使得CON：BON1：3，求MON的度數；（3）過點O作射線OD，若2AOD3BOD，求COD的度數AOD，求EOF的度數15（2020秋城廂區期末）已知

10、AOB和COD是直角（1）如圖1，當射線OB在COD的內部時，請探究AOD和BOC之間的關系，并說明理由（2）如圖2，當射線OA，OB都在COD的外部時，過點O作射線OE，OF，滿足BOE=1BOC，DOF=434（3）在（2）的條件下，在平面內是否存在射線OG，使得GOF：GOE3：7？若存在，求出GOF的度數；若不存在，請說明理由16（2020秋鎮海區期末）新定義問題如圖，已知AOB，在AOB內部畫射線OC，得到三個角，分別為AOC、BOC、AOB若這三個角中有一個角是另外一個角的2倍，則稱射線OC為AOB的“幸運線”（本題中所研究的角都是大于0而小于180的角）【閱讀理解】（1）角的平分

11、線這個角的“幸運線”；（填“是”或“不是”）【初步應用】（2）如圖，AOB45，射線OC為AOB的“幸運線”，則AOC的度數為；【解決問題】（3）如圖，已知AOB60，射線OM從OA出發，以每秒20的速度繞O點逆時針旋轉，同時，射線ON從OB出發，以每秒15的速度繞O點逆時針旋轉，設運動的時間為t秒（0t9）若OM、ON、OA三條射線中，一條射線恰好是以另外兩條射線為邊的角的“幸運線”，求出所有可能的t值17（2020秋和平區期末）如圖，點O是直線AB上的一點，COD80，OE平分BOC（1）如圖1，若AOC40，求DOE的度數（2）在圖1中若AOC（其中20100），請直接用含的代數式表示D

12、OE的度數，不用說明理由（3）如圖2，請直接寫出AOC和DOE的度數之間的關系，不用說明理由在AOC的內部有一條射線OF，滿足AOC4AOF2BOE+AOF試確定AOF與DOE的度數之間的關系，直接寫出關系式即可，不用說明理由18（2020秋越秀區校級月考）如圖1，已知AOB120，COD60，OM在AOC內，ON在BOD內，AOM=1AOC，BON=1BOD（本題中所有角均大于0且小于等于180）33（1）COD從圖1中的位置繞點O逆時針旋轉到OC與OB重合時，如圖2，則MON；（2）COD從圖2中的位置繞點O逆時針旋轉n（0n120且n60），求MON的度數；（3）COD從圖2中的位置繞點

13、O順時針旋轉n（0n180且n60a，其中a為正整數），直接寫出所有使MON2BOC的n值（192020秋渝中區校級期末）如圖1，AOB40，COD60，OM、ON分別為AOB和BOD的角平分線（1）若MON70，則BOC；（2）如圖2，COD從第（1）問中的位置出發，繞點O逆時針以每秒4的速度旋轉；當OC與OA重合時，COD立即反向繞點O順時針以每秒6的速度旋轉，直到OC與OA互為反向延長線時停止運動整個運動過程中，COD的大小不變，OC旋轉后的對應射線記為OC，OD旋轉后的對應射線記為OD，BOD的角平分線記為ON，AOD的角平分線記為OP設運動時間為t秒當OC平分BON時，求出對應的t的

14、值；請問在整個運動過程中，是否存在某個時間段使得|BOPMON|的值不變？若存在，請直接寫出這個定值及其對應的t的取值范圍（包含運動的起止時間）；若不存在，請說明理由20（2020秋江岸區期末）已知如圖1，線段AOB40（1）若AOC=1BOC，則BOC；3（2）如圖2，AOC20，OM為AOB內部的一條直線，ON是MOC四等分線，且3CONNOM，求4AON+COM的值；（3）如圖3，AOC20，射線OM繞著O點從OB開始以5度/秒的速度逆時針旋轉一周至OB結束，在旋轉過程中，設運動的時間為t，ON是MOC四等分線，且3CONNOM，當t在某個范圍內4AON+BOM會為定值，請直接寫出定值，

15、并指出對應t的范圍（本題中的角均為大于0且小于180的角）專題10角度的計算（壓軸題專項講練）【典例1】如圖，點O為直線AB上一點，BOC40，OD平分AOC（1）求AOD的度數；（2）作射線OE，使BOE=2COE，求COE的度數；3（3）在（2）的條件下，作FOH90，使射線OH在BOE的內部，若DOF3BOH，求AOH的度數【思路點撥】（1）根據平角定義和角平分線定義即可得結果；（2）根據題意分兩種情況畫圖：如圖1，當射線OE在AB上方時，如圖2，當射線OE在AB下方時，BOE=2COE，利用角的和差進行計算即可；3（3）根據題意分四種情況畫圖：如圖3，當射線OE在AB上方，OF在AB上

16、方時，作FOH90，使射線OH在BOE的內部，DOF3BOH，如圖4，當射線OE在AB上方，OF在AB下方時，如圖5，當射線OE在AB下方，OF在AB上方時，如圖6，當射線OE在AB下方，OF在AB下方時，利用角的和差進行計算即可【解答過程】解：（1）BOC40，AOC180BOC140，OD平分AOC，AOD=1AOC70；2（2）如圖1，當射線OE在AB上方時，BOE=2COE，3BOE+COEBOC，2COE+COE40，3COE24；如圖2，當射線OE在AB下方時，BOE=2COE，3COEBOEBOC，COE2COE40，3COE120；綜上所述：COE的度數為24或120；（3）如

17、圖3，當射線OE在AB上方，OF在AB上方時，作FOH90，使射線OH在BOE的內部，DOF3BOH，設BOHx，則DOF3x，FOCCODDOF703x，AOHAOD+DOF+FOH70+3x+90160+3x，EOHBOCCOEBOH4024x16x，FOHFOC+COE+EOH703x+24+16x90，x5，AOH160+3x175；如圖4，當射線OE在AB上方，OF在AB下方時，AOFDOFAOD3x70，BOFFOHBOH90 x，AOF+BOF180，3x70+90 x180，解得x80，COB40，8040，x80不符合題意舍去；如圖5，當射線OE在AB下方，OF在AB上方時，

18、AOFDOF+AOD3x+70，BOFFOHBOH90 x，AOF+BOF180，3x+70+90 x180，解得x10，AOH180BOH180 x170；如圖6，當射線OE在AB下方，OF在AB下方時，AOFDOFAOD3x70，BOFFOH+BOH90+x，AOF+BOF180，3x70+90+x180，解得x40，AOHAOF+FOH50+90140綜上所述：AOH的度數為175或170或1401如圖所示，能用，AOB，O表示同一個角的是（）ABCD【思路點撥】角可以用一個大寫字母表示，也可以用三個大寫字母表示角還可以用一個希臘字母表示，或用阿拉伯數字表示【解答過程】解：能用，AOB，

19、O三種方法表示同一個角的圖形是選項D中的圖，選項B，C，D中的圖都不能用，AOB，O三種方法表示同一個角的圖形，故選：D2如圖所示，AOB是直線，圖中小于180的角共有（）A7個B9個C8個D10個【思路點撥】按一定的規律數即可【解答過程】解：有兩種方法：（1）先數出以OA為一邊的角，再數出以OB、OC、OD、OE為一邊的角，把他們加起來（2）可根據公式：n(n1)來計算，其中，n指從點O發出的射線的條數2圖中角共有4+3+2+110個，根據題意要去掉平角，所以圖中小于180的角共有1019個故選：B3（2020秋錦江區校級期末）楊老師到幾何王國去散步，剛走到“角”的家門，就聽到A、B、C在吵

20、“架，A說：我是4815，我應該最大!”B說：我是48.3，我應該最大!”C也不甘示弱：我是48.15，我應該和A一樣大!”聽到這里，楊老師對它們說：“別吵了，你們誰大誰小，由我來作評判!”，楊老師評判的結果是（）AA最大BB最大CC最大DAC【思路點撥】根據度、分、秒的換算1度60分，即160，1分60秒，即160將4815，48.3，48.15的單位統一，再進行大小的比較【解答過程】解：A481548+（15）48.25，B48.3，C48.15，60BAC，即B最大，故選：B4（2020秋含山縣期末）如圖，已知點A在點O的北偏東4240方向上，點B在點O的正南方向，OE平分AOB，則E點

21、相對于點O的方位可表示為（）A南偏東6840方向B南偏東6940方向C南偏東6820方向D南偏東6910方向【思路點撥】根據方向角的定義以及角的和差，可得BOE的度數【解答過程】解：點A在點O的北偏東4240方向上，點B在點O的正南方向，AOB90+（904240）13720，OE平分AOB，BOE=1AOB=113720=6840，22E點相對于點O的方位為：南偏東6840方向，故選：A5（2020秋寧波期末）如圖，點O在直線AB上，COBEOD90，那么下列說法錯誤的是（）A1與2相等BAOE與2互余CAOD與1互補DAOE與COD互余【思路點撥】根據余角和補角的定義逐一判斷即可得【解答過

22、程】解：COBEOD90，1+COD2+COD90，12，故A選項正確；AOE+190，AOE+290，即AOE與2互余，故B選項正確；COB90，AOD+2180，12，AOD+1180，即AOD與1互補，故C選項正確；無法判斷AOE與COD是否互余，D選項錯誤；故選：D（62020秋成華區期末）親愛的同學，現在是北京時間下午2：47，按正常做題速度，你應該做到此題了，此時鐘表上的時針和分針的夾角度數是【思路點撥】根據時針每分鐘轉0.5度，分針每分鐘轉6度計算即可【解答過程】解：下午2：47鐘表上的時針和分針的夾角度數是360476（60+470.5）161.5，故答案為161.57（202

23、0秋皇姑區期末）看下面小明和小麗的對話：小明：“我今天12點10分到達圖書館時，你已經開始看書了，你是什么時間到的呢？小麗：“我11點30分從家出發，到達圖書館時，鐘表的時針與分針的夾角恰好是11”回答問題：小麗從家到圖書館共用了分鐘【思路點撥】11點30分時，時針與分針的夾角為165，分針每分鐘轉過6，而時針每分鐘轉過0.5，此問題可以轉化為追及問題，當分針從與時針的夾角為165減少到還有11時所用的時間，以及超過時針11時所用的時間，設未知數，列方程解答即可，同時注意分鐘在時針前11和在時針后11兩種情況【解答過程】解：11點30分時，時針與分針的夾角為165，由鐘表時針、分針的旋轉規律得

24、，分針每分鐘轉過6，而時針每分鐘轉過0.5，設小麗從家出發用x分鐘到達圖書館，由題意得：（60.5）x16511或（60.5）x165+11，解得：x28或x32，經檢驗，28分，32分鐘均符合題意，故答案為：28或328（2020秋橋東區校級期中）觀察下圖，回答下列問題：（1）在圖中有幾個角？（2）在圖中有幾個角？（3）在圖中有幾個角？（4）以此類推，如圖所示，若一個角內有n條射線，此時共有多少個角？【思路點撥】解答此題首先要弄清楚題目的規律：當角內有n條射線時，每條射線都與（n1）條射線構成了（n1）個角，則共有n（n1）個角，由于兩條射線構成一個角，因此角的總數為：n(n1)，可根據這個

25、規律，直接求2出（1）（2）（3）的結論；在解答（4）題時，首先要弄清圖中共有多少條射線，已知角內共n條射線，那么圖中共有（n+2）條射線，代入上面的規律，即可得到所求的結論【解答過程】解：由分析知：（1）圖中有2條射線，則角的個數為：2(21)=1（個）；2（2）圖中有3條射線，則角的個數為：3(31)=3（個）；2（3）圖中有4條射線，則角的個數為：4(41)=6（個）；2（4）由前三問類推，角內有n條射線時，圖中共有（n+2）條射線，則角的個數為(n+1)(n+2)個2（92020秋興業縣期末）如圖，O是直線AB上一點，OC為任一條射線，OD平分BOC，OE平分AOC（1）若BOC70，

26、求COD和EOC的度數；（2）寫出COD與EOC具有的數量關系并說明理由【思路點撥】（1）根據角平分線的定義求出COD的度數即可，先求出AOC的度數，再根據角平分線的定義解答；（3）根據角平分線的定義表示出COD與EOC，然后整理即可得解【解答過程】解：（1）OD平分BOC，BOC70，COD=1BOC=17035，22BOC70，AOC180BOC18070110，OE平分AOC，EOC=1AOC=111055；22（2）COD與EOC互余，理由如下：OD平分BOC，OE平分AOC，COD=1BOC，EOC=1AOC，22COD+EOC=1（BOC+AOC）=118090，22COD與EOC

27、互余10（2020秋江北區期末）將一副三角板疊放在一起，使直角頂點重合于點O（1）如圖1，若AOD35，求BOC的度數（2）若三角板AOB保持不動，將三角板COD的邊OD與邊OA重合，然后將其繞點O旋轉試猜想在旋轉過程中，AOC與BOD有何數量關系？請說明理由【思路點撥】（1）由于是兩直角三角形板重疊，根據AOD的度數可得BOD，再根據DOC90可得BOC；（2）當分兩種情況：AOB與DOC有重疊部分時和當AOB與DOC沒有重疊部分時【解答過程】解：（1）若AOD35，AOBCOD90，BOD903555，BOC90BOD905535；（2）AOC與BOD互補當AOB與DOC有重疊部分時，AO

28、BCOD90，AOD+BOD+BOD+BOC180AOD+BOD+BOCAOC，AOC+BOD180，當AOB與DOC沒有重疊部分時，AOB+COD+AOC+BOD360，又AOCBOD90，AOB+DOC180（112020秋鐵西區期末）1）如圖1所示，已知AOC90，AOB38，OD平分BOC，請判斷AOD和BOD之間的數量關系，并說明理由；（2）已知：如圖2，點O在直線AD上，射線OC平分BOD求證：AOC與BOC互補；（3）已知EPQ和FPQ互余，射線PM平分EPQ，射線PN平分FPQ若EPQ（090），直接寫出銳角MPN的度數是【思路點撥】（1）根據角的計算，可求解BOC的度數，結合

29、角平分線的定義求解BOD的度數，進而可求解AOD的度數，利用AOD+BOC的度數；（2）由角平分線的定義可得BOCCOD，利用補角的定義可證明結論；（3）先根據題意畫出圖形，由考角平分線的定義可得MON=1EPF，利用EPQ和FPQ互余可求解EPF290，進而可求解【解答過程】解：（1）AOD+BOD90，理由如下：AOC90，AOB38，BOCAOCAOB903852，OD平分BOC，BOD=1BOC26，2AODAOB+BOD38+2664，AOD+BOC64+2690（2）OC平分BOD，BOCCOD，AOC+COD180，AOC+BOC180，即AOC與BOC互補；（3）如圖，PM平分

30、EPQ，PN平分FPQ，MPQ=1EPQ，NPQ=1FPQ，22MONMPQ+NPQ=1EPQ+1FPQ22=1EPF，2EPQ和FPQ互余，EPQ+FPQ90，即EPF90，MON45，故答案為4512（2021春乳山市期末）【問題回顧】我們曾解決過這樣的問題：如圖1，點O在直線AB上，OC，OD分別平分AOE，BOE，可求得COD90（不用求解）【問題改編】點O在直線AB上，COD90，OE平分BOC（1）如圖2，若AOC50，求DOE的度數；（2）將圖2中的COD按圖3所示的位置進行放置，寫出AOC與DOE度數間的等量關系，并寫明理由【思路點撥】（1）先求COB，利用角平分線定義再求CO

31、E，最終求DOE的度數；（2）設AOC，再根據（1）的求解過程，用含的式子表示兩個角的數量關系【解答過程】解：（1）COD90，AOC+BOD90AOC50，BOD40COBCOD+BOD90+40130OE平分BOC，COE=1BOC=1130=6522DOECODCOE906525（2）設AOC則BOC180OE平分BOC，BOE=1BOC=1(180)=901222BODCODBOC90（180）90，DOEDOB+BOE=90+901=122按圖3所示的位置放置時，AOC與DOE度數間的等量關系為：DOE=1AOC213（2020秋溫江區校級期末）已知AOB60，求：（1）如圖1，OC

32、為AOB內部任意一條射線，OM平分AOC，ON平分BOC，求MON；（2）如圖2，當OC旋轉到AOB的外部時，MON的度數會發生變化嗎？請說明原因；（3）如圖3，當OC旋轉到AOB（BOC120）的外部且射線OC在OB的下方時，OM平分AOC，射線ON在BOC內部，NOC=1BOC，求COM2BON的值？43【思路點撥】（1）先利用角平分線的性質得到MOC=1AOC，NOC=1BOC，再利用MONCOM+CON計算；22（2）根據角平分線的性質并結合MONCOMCON解答即可；（3）根據題意得到COM=1AOC，BON=3BOC，再利用COM2BON計算，即可解答243【解答過程】解：（1）O

33、M平分AOC，ON平分BOC，AOB60，MOC=1AOC，2NOC=1BOC，2MONMOC+NOC=1BOC+1AOC=1AOB=160302222故答案為：30；（2）不變，當OC旋轉到AOB的外部時，OM平分AOC，ON平分BOC，AOB60，MOC=1AOC，2NOC=1BOC，2MONMOCNOC=1BOC1AOC=1AOB=160302222MON的度數不會發生變化；（3）當OC旋轉到AOB（BOC120）的外部且射線OC在OB的下方時，OM平分AOC，NOC=1BOC，4COM=1AOC，BON=3BOC，24COM2BON=1AOC23BOC=1BOC1AOC=1AOB303

34、23422214（2020秋南寧期末）如圖,已知AOB120，OC是AOB內的一條射線,且AOC：BOC1：2（1）求AOC，BOC的度數；（2）作射線OM平分AOC，在BOC內作射線ON，使得CON：BON1：3，求MON的度數；（3）過點O作射線OD，若2AOD3BOD，求COD的度數【思路點撥】（1）根據AOC：BOC1：2，即可求解；（2）先求出COM，再求出CON，相加即可求解；（3）分OD在AOB內部和外部兩種情況分類討論即可求解【解答過程】解：（1）AOC：BOC1：2，AOB120，AOC=1AOB=112040，33BOC=2AOB=212080；33（2）OM平分AOC，C

35、OM=1AOC=14020，22CON：BON1：3，CON=1BOC=18020，44MONCOM+CON20+2040；（3）如圖，當OD在AOB內部時，設BODx，2AOD3BOD，AOD=3x，2AOB120，x+3x120，2解得：x48，BOD48，CODBOCBOD804832，如圖，當OD在AOB外部時，AOD，求EOF的度數設BODy，2AOD3BOD，AOD=3y，2AOB120，3yy120，2解得：y240，BOD240，此時COD320，綜上所述，COD的度數為32或32015（2020秋城廂區期末）已知AOB和COD是直角（1）如圖1，當射線OB在COD的內部時，請

36、探究AOD和BOC之間的關系，并說明理由（2）如圖2，當射線OA，OB都在COD的外部時，過點O作射線OE，OF，滿足BOE=1BOC，DOF=434（3）在（2）的條件下，在平面內是否存在射線OG，使得GOF：GOE3：7？若存在，求出GOF的度數；若不存在，請說明理由【思路點撥】（1）根據已知條件，AOB和COD是直角，可得出BOD和AOC與BOC的關系式，再根據AOC與AOB和BOD列出等量關系，即可得出答案；（2）根據已知條件BOE=1BOC，可設BOEa，則BOC4a，再根據周角的關系可得到AOD的等4量關系，再根據DOF=3AOD，可得到AOF的等量關系式，由BOE、AOB和AOF

37、可列出等量關4系，即可得到答案；（3）分兩種情況，當射線OG在EOF內部時，由GOF：GOE3：7，可得出結果，當射線OG在EOF外部時，由GOF：GOE3：7，可得出結果【解答過程】（1）AOD+BOC180證明：AOB和COD是直角，AOBCOD90，BOD+BOCCOD，BOD90BOC，同理：AOC90BOC，AODAOB+BOD90+90BOC180BOC，AOD+BOC180；（2）解：設BOEa，則BOC4a，BOE+EOCBOC，EOCBOCBOE3a，AOD+COD+BOC+AOB360，AOD360CODBOCAOB360904a901804a，DOF=3AOD，4DOF=

38、3（1804a）1353a，4AOF=1AOD=1（1804a）45a，44EOFBOE+AOB+AOFa+90+45a135，EOF的度數為135；（3）當射線OG在EOF內部時，GOF：GOE3：7，1013540.5；3+7（GOF+GOE）=10EOF=GOF=333當射線OG在EOF外部時，GOF：GOE3：7，（GOEGOF）GOF=33+7=310310EOF（DOF+COD+EOC）10（1353a+90+3a）=367.5綜上所述，GOF的度數是40.5或67.516（2020秋鎮海區期末）新定義問題如圖，已知AOB，在AOB內部畫射線OC，得到三個角，分別為AOC、BOC、

39、AOB若這三個角中有一個角是另外一個角的2倍，則稱射線OC為AOB的“幸運線”（本題中所研究的角都是大于0而小于180的角）【閱讀理解】（1）角的平分線這個角的“幸運線”；（填“是”或“不是”）【初步應用】（2）如圖，AOB45，射線OC為AOB的“幸運線”，則AOC的度數為；【解決問題】（3）如圖，已知AOB60，射線OM從OA出發，以每秒20的速度繞O點逆時針旋轉，同時，射線ON從OB出發，以每秒15的速度繞O點逆時針旋轉，設運動的時間為t秒（0t9）若OM、ON、OA三條射線中，一條射線恰好是以另外兩條射線為邊的角的“幸運線”，求出所有可能的t值【思路點撥】（1）根據幸運線定義即可求解；

40、（2）分3種情況，根據幸運線定義得到方程求解即可；（3）分3種情況，根據幸運線定義得到方程求解即可【解答過程】解：（1）一個角的平分線是這個角的“幸運線”；故答案為：是；（2）設AOCx，則BOC2x，由題意得，x+2x45，解得x15，設AOCx，則BOCx，由題意得，x+x45，解得x22.5，設AOCx，則BOC=1x，2由題意得，x+1x45，解得x30，2故答案為：15或22.5或30；（3）當0t6時，MON60+5t，AON6015t，若OA是射線OM與ON的幸運線，則AON=1MON，即6015t=1（60+5t），解得t=12；227AON=1MON，即6015t=1（60+

41、5t），解得t=12；335AON=2MON，即6015t=2（60+5t），解得t=12；3311當6t9時，MOA20t，AON15t60，若ON是射線OM與OA的幸運線，則AON=1MOA即15t60=120t，解得t12（舍）；22AON=1MOA，即15t60=120t，解得t=36；335AON=2MOA，即15t60=220t，解得t36（舍）；33故t的值是12或12或12或367511517（2020秋和平區期末）如圖，點O是直線AB上的一點，COD80，OE平分BOC（1）如圖1，若AOC40，求DOE的度數（2）在圖1中若AOC（其中20100），請直接用含的代數式表示D

42、OE的度數，不用說明理由（3）如圖2，請直接寫出AOC和DOE的度數之間的關系，不用說明理由在AOC的內部有一條射線OF，滿足AOC4AOF2BOE+AOF試確定AOF與DOE的度數之間的關系，直接寫出關系式即可，不用說明理由【思路點撥】（1）由AOC的度數可以求得BOC的度數，由OE平分BOC，可以求得COE的度數，又由DOC80可以求得DOE的度數；（2）由第（1）問的求法，可以直接寫出DOE的度數；（3）首先寫出AOC和DOE的度數之間的關系，由COD80，OE平分BOC，BOC+AOC180，可以建立各個角之間的關系，從而可以得到AOC和DOE的度數之間的關系；首先得到AOF與DOE的

43、度數之間的關系，由AOC4AOF2BOE+AOF，COD80，OE平分BOC，AOC和DOE的關系，可以建立各個角之間的關系，從而可以得到AOF與DOE的度數之間的關系【解答過程】解：（1）AOC40，BOC180AOC140OE平分BOC，COE=1BOC2COE70DOECODCOE807010（2）DOE=102AOC，BOC180OE平分BOC，COE=1BOC2COE9012DOECODCOE8090+=1022（3）AOC2DOE+20理由：OE平分BOC，BOC2COECOD80，AOC+BOC180，DOE+COE80，COE80DOEAOC+2COE180AOC+2（80DO

44、E）180化簡，得：AOC2DOE+20；4DOE5AOF140理由：AOC4AOF2BOE+AOF，AOC2BOE5AOFOE平分BOC，EOCBOE，AOC2EOC5AOF由（3）知：AOC2DOE+20，2DOE+202EOC5AOFEOCCODDOE80DOE，2DOE+202（80DOE）5AOF4DOE1405AOF即4DOE5AOF14018（2020秋越秀區校級月考）如圖1，已知AOB120，COD60，OM在AOC內，ON在BOD內，AOM=1AOC，BON=1BOD（本題中所有角均大于0且小于等于180）33（1）COD從圖1中的位置繞點O逆時針旋轉到OC與OB重合時，如圖

45、2，則MON100；（2）COD從圖2中的位置繞點O逆時針旋轉n（0n120且n60），求MON的度數；（3）COD從圖2中的位置繞點O順時針旋轉n（0n180且n60a，其中a為正整數），直接寫出所有使MON2BOC的n值【思路點撥】（1）當COD從圖1中的位置繞點O逆時針旋轉到OC與OB重合時，如圖2，可得MONMOB+BON，再根據已知條件進行計算即可；（2）根據COD從圖2中的位置繞點O逆時針旋轉n（0n120且n60），分兩種情況畫圖：當0n60時，如（圖1），當60n120時，如（圖2），結合（1）進行角的和差計算即可；（3）根據COD從圖2中的位置繞點O順時針旋轉n（0n180且

46、n60a，其中a為正整數），MON2BOC，分兩種情況畫圖：當0n60時，如圖3，當60n180時，如圖4，結合（2）進行角的和差計算即可【解答過程】解：（1）AOM=1AOC，BON=1BOD，33MOC=2AOC，DON=2BOD，33當COD從圖1中的位置繞點O逆時針旋轉到OC與OB重合時，如圖2，MONMOB+BON=2AOC+1BOD33=2120+1603380+20100；故答案為：100；（2）COD從圖2中的位置繞點O逆時針旋轉n（0n120且n60），當0n60時，如（圖1），BOCn，AOCAOBBOC120n，BODCODBOC60n，MONMOC+BOC+BON=2（

47、120n）+n+1（60n）33100；當60n120時，如（圖2），BOCn，AOCAOBBOC120n，BODBOCDOCn60，MONMOC+DOC+DON=2（120n）+60+2（n60）33100；綜上所述：MON的度數為100；（3）COD從圖2中的位置繞點O順時針旋轉n（0n180且n60a，其中a為正整數），MON2BOC，當0n60時，如圖3，BOCn，MON2BOC2n，AOCAOB+BOC120+n，BODBOC+DOCn+60，MONMOC+DOCDON=2（120+n）+602（n+60）33100，2n100n50；當60n180時，如圖4，BOCn，MON2BO

48、C2n，AOC360（AOB+BOC）360（120+n）240n，BODBOC+DOCn+60，MON360AOMAOBBON3601（240n）1201（60+n）33140，2n140，n70；綜上所述：n的值為50或70（192020秋渝中區校級期末）如圖1，AOB40，COD60，OM、ON分別為AOB和BOD的角平分線（1）若MON70，則BOC；（2）如圖2，COD從第（1）問中的位置出發，繞點O逆時針以每秒4的速度旋轉；當OC與OA重合時，COD立即反向繞點O順時針以每秒6的速度旋轉，直到OC與OA互為反向延長線時停止運動整個運動過程中，COD的大小不變，OC旋轉后的對應射線記

49、為OC，OD旋轉后的對應射線記為OD，BOD的角平分線記為ON，AOD的角平分線記為OP設運動時間為t秒當OC平分BON時，求出對應的t的值；請問在整個運動過程中，是否存在某個時間段使得|BOPMON|的值不變？若存在，請直接寫出這個定值及其對應的t的取值范圍（包含運動的起止時間）；若不存在，請說明理由【思路點撥】（1）根據角平分線的定義結合圖形根據已知條件求角的大小；（2）分類討論順時針、逆時針轉兩種情況，根據角平分線的定義用t表示出角的度數，列出等量關系式求出t；分類討論順時針、逆時針轉兩種情況，當C在B下方時，當C在B上方時，根據角平分線的定義用t表示出角的度數，求在某個時間段使得|BO

50、PMON|的值不變，求出這個定值及其對應的t的取值范圍【解答過程】解：（1）OM為AOB的角平分線、AOB40，MOB20MON70，BONMONMOB50ON為BOD的角平分線，BONDON50CONCODDON10BOCDONCON40故答案為：40（2）如圖：逆時針旋轉時：當C在B上方時，根據題意可知，BOC404t，BODBOD4t1004tBON=1BOD=1(1004t)=502t，22OC平分BON，BOC=1BON，即404t=1（502t），22解得：t5（s）當C在B下方時，此時C也在N下方，此時不存在OC平分BON順時針旋轉時：如圖，同理當C在B下方時，此時C也在N下方，

51、此時不存在OC平分BON當C在B上方時，即OC與OB重合，由題意可求OC與OB重合用的時間AOC4+AOB6（AOB+BOC）4+AOB6=80（s）3OC與OB重合之后，BOC6（t80）（s）3BODBOC+606（t80）+606t1003BON=1BOD=1（6t100）3t50，22OC平分BON，BOC=1BON，26（t80）=1（3t50），32解得：t30（s）綜上所述t的值為5或30逆時針旋轉時：當C在B上方時，如圖根據可知，BOC404t，BOD1004t，BON502tAODAOB+BOD1404t，AOP=1AOD=1(1404t)=702t，22BOPAOPAOB3

52、02t，MONMOB+BON702t，|BOPMON|302t70+2t|40，此段時間0t10s；如圖當C在B下方時，設經過OB后運動時間為t2，2同理可知，BOC4t2，BOD604t2，MON=1BON=302t2，2AODAOB+BOD1004t2，AOP=1AOD=502t2，BOPAOPAOB102t2，MONMOB+BON502t2，|BOPMON|102t250+2t2|40此時：10t20；順時針旋轉時：當C在B下方時，如圖，設經過OB后運動時間為t1，2同理可知：BOC406t1，BOD20+6t1，BON=1BOD=10+3t1，AOD60+6t1，AOP30+3t1，BOPAOPAOB3t110，MONMOB+BON303t1，|BOPMON|3t110303t1|40，此時：20t80；3當C在B上方時，如圖，BON=1BON=50+3