1、專題15數列構造求解析式必刷100題任務一:善良模式（基礎）1-30題一、單選題.數列4中，+i=2a+l,4=1,則=（）A.32B.62C.63D.64【答案】C【分析】把%=2%+1化成all+,+1=2（4+1）,故可得a+1為等比數列，從而得到的也.【詳解】數列%中，%+|=2&+1,故%“+1=2（。，,+1）,因為1=1，故4+1=20,故4+lwO,所以號詈=2,所以%+1為等比數列，公比為2,首項為2.所以4+1=2即=2-1,故&=63,故選C.在數列4中，4=1,且。用=2“+1,則%的通項為（）A.a=2-1B.4=2C.。“=2+1D.a=2n+1【答案】A【分析】依

2、題意可得。用+1=2（/+1）,即可得到為+1是以2為首項，2為公比的等比數列，冉根據等比數列的通項公式計算可得：【詳解】解：%=2%+1,+1=2（”“+1）,由q=l,徨q+l=2,，數列血+1是以2為首項，2為公比的等比數列，an+=2-2=2,即凡=2-1.故選：A.設數列呢滿足“1=1,放=3,且2。=（一l）a,Li+（+l）a+i,則。20的值是（）【答案】D【分析】首先證得(如一(-I)”一為常數列，得至lJ%-(-l)a“T=5,進而證得數列響,是以1為首項，5為公差的等差數列，從而求出通項公式，進而求出結果.【詳解】因為2910n=(-I)如I+(+I)小I，所以nan-(

3、/-1)an-1=(n+1)ani-na,t故數列(0一(九一1)。”“為常數列，且2a2-=5,所以natl-(n-X)an_x=5,nan-(n-X)an_x=5,因此數列“，是以1為首項，5為公差的等差數列，所以4=1+5(-1)=5-4,因此g故選：D.設數列%中，ai=2,a+i=2a+3,則通項a“可能是()A.53/1B.3-2-11C.5-3n2D.5-2n-1-3【答案】D【分析】用構造法求通項.【詳解】設a.+i+X=2(q+x),則a+l=2a+x,因為a”11=1an+3,所以x=3,所以a“+3是以q+3為首項，2為公比的等比數列,a“+3=5x2-l所以a,=5-2

4、i-3故選：D.已知數列%滿足：卬=1,。,用=蘭二(),則數列4的通項公式為()4十z【答案】D【分析】對4M兩邊取倒數后，可以判斷是首項為1,公差為;的等差數列，即可求得.4+22【詳解】由數列q,滿足：4=l,a+i=兩邊取倒數得：即=,4+142an+la2所以數列：是首項為1，公差為3的等差數列，111/八+1所以一=+彳(-1)=丁， TOC o 1-5 h z anax222所以。“=等故選:D.已知數列叫中，q=L一=i+_(“)，貝！|4)=()an1111A.B.-C.-D.一78910【答案】D【分析】令a=(),由等差數列的性質及通項可得=，即可得解.【詳解】令b“=L

5、nwN*),則b“+1=l+或，4=1,an所以數列4是以I為首項，1為公差的等差數列,所以=,=,，n所以4。=/故選：D.已知數列叫的前”項和為S，4=1,%=2,an=3a_l+4_2(n3),則與=()4,0-14-1A.B.C.41-1D.4-1【答案】A【分析】由已知得出數列q+4+J是等比數列，然后可利用數列q+。“的奇數項仍然為等比數列,求得和兀.【詳解】因為=3a“_i+4a“_2(N3),所以a“+4,=4(a“_|+a2)，又4+出=3a0，所以=4523),所以”,+/“是等比數列，公比為4,首項為3,an-*an-23(1-165)1-16則數列%17+%也是等比數列

6、，公比為4?=16,首項為3.所以，。=故選：A.已知數列4滿足：q=%=2,a=3an_l+4an_2(n3),則%+%=()A.47B.4【詳解】2=2+41,即 24+2%“ = 1，C.49D.410【答案】C【分析】由已知關系求得數列q+4,J是等比數列，由等比數列通項公式可得結論.【詳解】由題意4+。2=4,由an=3a“t+”2(N3)得a“+%=4(a_,+a_,),即:叱 1A. B.20182019【答案】D【分析】由遞推式可得數歹為等差數歹L=4(n3),所以數列an-+an-24+。向是等比數列，僅比為4,首項為4,所以為+。=49.故選：C.已知數列4滿足遞推關系，4

7、+4,=。“-。用嗎=；，則網=()1D.20211C.2020根據等差數列的通項公式即可得結果.【詳解】1L111.因為4+1.。=%-%+，4=彳，所以:;-7=1，7=2,ZMn+IU即數列是以2為首項，1為公差的等差數列，所以-=2+2019x1=2021,所以42。=焉，W2()2O幺1故選：D.,(wN,),則數列4的通項公式為().已知數列%滿足：4=1,4=皆A.a=B.a=C,an=2n-D.a=-1zz1z【答案】B【分析】取倒數，可得,+1是以2為首項，2為公比的等比數列，由此可得結論.【詳解】=-V?(eN*)。“+20a =.” T-故選:B.11.數列4滿足22 =

8、 2%,用-1,且4=1,若a“,as=二一421653216155,若41Vg，則n的最小值為5,故選c.12.已知數列qj滿足4=50,2an+I=a-l,則滿足不等式4%”。的k（2為正整數）的值為（）.A.3B.4C.5D.6【答案】D【分析】先求得4的通項公式，然后解不等式4q”。求得左的值.【詳解】依題意+1=ga“-g，a“+i+l=g（a.+l），所以數列4+1是首項為50+1=51,公比為3的等比數列，所以。“+1=51（；）,所以4=511；）-1.由得-1-51-W-1513,則的最小值是（）A. 9B. 10C. 11D. 12【答案】C【分析】根據遞推關系可得數列是以

9、I為首項，2為公比的等比數列，利用等比數列的通項公式可得a“=2T+l,即求.【詳解】a1因為4M=24-1,所以a,M-l=2（a“-l）,即-=2,1一1所以數列,-1是以1為首項，2為公比的等比數列.則4-1=2、即。=2一+1.因為。513,所以2+1513,所以2”t512，所以10.故選:C14.已知數列4滿足4,=肅丁（22,wN*）,且4=g,貝的第項為（） TOC o 1-5 h z fl1A.2nB.-C.3m-1D.22n【答案】A【分析】在等式。“=盧七兩邊取倒數，可推導出數列為等差數列，確定該數列的首項和公差，進而可求得【詳解】aJ2a+11當“22且wN*，在等式。

10、兩邊取倒數得一=3=+2,21+1an%11c1cf11=2,且一=2,所以，數列為等差數列，且首項為2,公差為2,anan-aatlJ因此，一=2+2（-1）=2”.an故選:A.數列q,中，若q=l,=2a.+3（21）,則該數列的通項a“=（）A.2n+,-3B.2-3C.2+3D.2-1-3【答案】A【分析】據遞推關系式可得+3=2（a“+3）,利用等比數列的通項公式即可求解.【詳解】因為a”=2。“+3（21）,所以。“+|+3=2（,+3）,即數列4+3是以4為首項，2為公比的等比數列，所以a,+3=4-2T,故。“=4-2-3=2-3,故選：A.已知數列q滿足。e=血,+1,且4

11、=1,4=3,則數列叫前6項的和為（）.A.115B.118C.120D.128【答案】C【分析】由題干條件求得4=2,得到“z=2a“+l,構造等比數列可得數列q的通項公式，再結合等比數列求和公式即可求得數列叫前6項的和.【詳解】a2=丸4+1=2+1=3,則4=2,可得4+1=+1,可化為+1=2（。.+1）,有4+=2,得q=27,則數列前6項的和為（2+2?+L+26=斗/-6=120.故選：C第II卷（非選擇題）二、填空題.已知數列,滿足=3a“+2,4=l,則4=.【答案】2x3T-1【分析】先判斷事4+1是首項為2,公比為3的等比數列，即可得到a,+1=2.3，從而求出明.【詳解

12、】因為4用=3a“+2,q=1,所以a“+i+l=3（a“+l）,由q+l=2#0,所以a“+l為首項為2,公比為3的等比數列，所以a“+1=2.3，所以q=2x3-,-l.故答案為：2x3T_i.已知數列可的各項均為正數,且-。2_=0,則數列,的通項公式4=【答案】+1【分析】因式分解可得+“+)=0,結合%0,即得解【詳解】由a；-w(n+l)=0,得4-(+l)(a“+)=0.乂凡()，所以數列a.的通項公式q=+L故答案為：+1.已知數列”滿足4=1,且a“=1a,-+(g)(22),貝!J數列。”的通項公式?=【分析】利用條件構造數列3%,可得數列為等差數列即求.【詳解】.34=3

13、T%+1(n2),即3q-3&_|=1(22).又q=l,3a,=3,數列3。,是以3為首項，1為公差的等差數列，3=3+(1)x1=+2,數列的通項公式。“=竽.故答案為：亨.若正項數列。“滿足q=2,2,neN*,且4=1,則%=.【答案】15【分析】根據題意整理可得7?不=7%；，所以小不為常數列，令=5即可得解.+(n-l)nn(n+l)【詳解】由(-1)%=(+l)a,i可得,n+1ni兩邊同除可得就I1篇故數列一AkI為常數列，(/7+1)ana.1所以而寸廣3，所以令=；，解得4=15.故答案為：15.數列為的前項和為S“，已知=1,a+l=5(=1,2,3,-),則%=一，n【

14、答案】(+力2”2【分析】由給定條件借助n+1=-S,消去a用，求出S“即可得解.【詳解】因”eN*，。川=95，而。“”=5的7“，則5向一J=史工5”,，產出土為.，nnn于是得辿=24，又3=?=1,則數歹12是首項為I,公比為2的等比數列，n+1n11n從而有&=2，即S=-2T,an+i=-n-2-=(n+2)-2-,nn“22時,a=(n+l)-2n-2,而4=1滿足上式，所以4=(+1)-2-2,eN*.故答案為：(+1)212.在數列,中，4=2,凡+|=2(1+：卜,+4+4,則%=.【答案】460【分析】由已知可得個=么+4,即數列1%+同是以6為首項，2為公比的等比數列，

15、由此可求出4,的通項公式，得出所求.【詳解】an2),即4+1)=3(%+1)且4=2,，q+1是首項為3,公比為3的等比數列，即+1=3”，1/11a2=3:-1=8,a,=35-l=26.(2)設c“=a+,由(1)知a“=3-l,又勿=bg3(a“+D=.：.c=3+n-,S=(3+32+.+3)+(1+2+.+m-1)=-3)+(仁1出2二1)=1(34+n2-n-3).1-32230.已知數列,滿足4=1,a2=3,S.an+2-2a+l+a=4,nwN*.(1)求數列4的通項公式；(2)設2=4,neN：求的最小值.n【答案】3)凡=22-4+1；(2)1.【分析】(1)構造向-4

16、，結合已知條件可知%是首項為2,公差為4的等差數列，寫出通項公式，再應用累加法有。+6+.+%_|=。0-1,即可求4的通項公式；|(I)知：bn=2n+-4,易知22#-4在wN*上恒成立，且數列單調遞增，即n可求其最小值.【詳解】(1)令與二4川一勺，則%+g=4，而4=/一4=2，1”是首項為2,公差為4的等差數列,即=2+4(-1)=4-2,/.G+c2+c“t=%+丐一2+“an-=凡一囚=-1,又G+Q+c”t=4-(1+2+.+711)2(-1)=2(-1)2rl2-477+2,an=2/-4+3.(2)由題設，bn=-=2n+-4fneN,nn.瓦22,2小：-4=2m-4,當

17、且僅當=半仁(1,2)時等號成立，故2a-4且在22上3單調遞增，又a=ib2=j.,.當”=i時，”,的最小值仇=i.任務二:中立模式（中檔）-50題一、單選題1.已知數列凡滿足q=,%=；,2，=（2記數列前八項和為臬，則（）A.7cs2如8B.8Vs2叫9C.9cs2021V1D.10S202i2）,利用累加法可求得2”=1+=,求得2。的范圍，從而可得的范圍，從而可得出答案n+V2-1【詳解】解：由2%_2=（24_1）（2冊”一。可得（2%一1）=（2冊-1）（27）,化簡得二二一4=1（22），2+,-12-1累加求和得77=2-121 TOC o 1-5 h z 7=1.1!=1

18、化筒得-2+1-“+&-1,2-1因為0-所以2（1+工+，】，7I+1n）un,+2,+1即log。an2.+1n_.1,4,5,+2.n+2S=q+&+412T+log2T+log27+*,+1OS2r=1Og2-234+l6_,1,3,4,zz+1,+lS“=4+%+logz7+logz7+logz7+log?=lo2r223n4707inii所以log228log2S2021Vlog2log,29,62即8Vs2Ml9.故選：B.2.已知數列q滿足（%1）&-1）=3（。.一凡“），a,=1,設.=2（各一八，若數列%是單調遞減數列，則實數2的取值范圍是（）A.，+8）B.（；，+8）

19、c.（；，+8）D.（1，+）【答案】B【分析】將遞推關系式整理為7-=:，可知數列二為等差數列，借助等差數列通項4+1-】a“T3J公式可整理求得,從而得到c“的通項公式：根據數列5的單調性可采用分離變量法得42到人初一商結合導數的知識可求得k + 2 + 1 Jmax,由此可得結果.【詳解】由(4,+1)=(4-1)=3(4一。“+1)得：(4用一1)(4,-1)=3(4,-1)(-1)-.=1即_I_=1(an-l)(an+l-l)3a-l3- %7) = a-l 0,-1 3VI是公差為1的等差數列.1311,n+1-1In-11=5.3V3123 + 4刀=77? 2| = 2 +

20、4 J. ，“是遞減數列，. N*, Mg,即 2“7M只需2max=42=2(x+21-4(x+1=4-2x?=2卜-0)k+&)(x+2(x+1)2-(x+2(x+1)2-(x+2)2(x+1)2(x+2)2(x+1)2f(X)在(1,0)上單調遞增,在(+8)上單調遞減.又/=(，2)=g,二當wN*時，4)a=l)=2)=；,即一二71=:，即實數4的取值范圍是(士內丫l+2+1幾*3313)故選:B.3.已知在數列叫中，q=g,1=)+,則4=()J_22_J_J_22_2y;F-22r3F-F【答案】a【分析】依題意可得2叫/-3=*（2a“-3），即可得到2%-3是以-g為首項，

21、|為公比的等比數列，再根據等比數列的通項公式計算可得;【詳解】解:因為q=,afl+1=-an+f-l，所以2叫42a+1,整理得632y32+。向一3=|(2%-3),所以數列2見-3是以2q-3=為首項，3為公比的等比數列.所以2a“-3=-g圖,解得4=最-，故選：A.設數列滿足4=3m“m=3%-4，若=+8”土5,且數列么的前n項和為s,anan+則，=()A.nl+-IB.-+C.nfl+-1D.V6n+9J36/7+96/14-9716+9J【答案】D【分析】先根據。”的遞推關系求出凡的通項公式，代入的表達式中，求出2的通項，即可求解九的前”項和5.【詳解】由%=3。“-4可得%

22、-2(”+1)+1=3&-(2+1),:4=3,/.ax-(2x1+1)=0,則可得數列。“-(2+1)為常數列0,即4-(2+1)=0,.%=2+14+8+5_(2+1)(2+3)+2_1+2_1+_J1_(2n+l)(2n+3)-(2+1)(2+3)一(2+1)(2+3)-2+12+3*, s2/1 + 33 2 + 3=(1 +6 + 9)故選：D.數列4滿足4=1,嗎,+|=(+l)a“+(+l),若以=a.cos等,且數列,的前”項和為S”,則用=()A.64B.80C.-64D.-80【答案】C【分析】由已知可得巴弋-殳=1,即數列是等差數列，由此求出=/COS，分別令n+1nnj

23、3=1,2,3,11可求出S”.【詳解】數列4滿足4=1，%,+i=(+1)4+(+1)，貝|J&L=&+1,n+nUj得數列皆是首項為1、公差為1的等差數列，即有&=，即為。“=2,n門.,2n7r22n兀貝ijbn=ancos=nrcos,貝=-卦十2一*。，+112)+(32+62+9，)=-(l2+22-32-32+42+52-62-62+72+82-92-92+102+ll:)=-gx(5+23+41+59)=-64.故選：C. TOC o 1-5 h z .已知數列qj滿足3a“-2a,r=a.4)(/?2,ne,N*),且q=0,4=2021,貝(j0)=()20212021_2

24、0212021A.B.C.D.31336365【答案】A【分析】由力”-2al=%(N2,eN，)可得2(=+1,從而得數列以生一4為首項,2為公比的等比數列，根據&=4-4,可化為4=31%,從而即可求得答案.【詳解】由%-2%=aN2,sN.)nJ2(a-a_t)=a+1-a,若。“一。1=0,則/=%=，與題中條件矛盾，故見一。“一戶0,所以芻曰二&=2,即數列。向-%是以4-4為首項，2為公比的等比數列，a.一%所以a“+i-a“=。2,2,所以=2021a2-2+2-2+2-22+2-23+2-24=31=2021,所以=不一，故選：A.已知數列%滿足=2,4,%+。“=341-1(

25、22,6%”),若7；=的2勺，當】10時，的最小值為()A.3B.5C.6D.7【答案】C【分析】將已知遞推關系式變形可得二7一一二=:，由此可知數列為等差數列，由等差a“T2aw-lj數列通項公式可取得不，進而得到%;由=42/。可上下相消求得，結合wN,anL解不等式可求得的最小值.【詳解】一|由4%+a=3a,i-1得：an=2j,an-+1.2的22(加1) TOC o 1-5 h z an-+1an-+1/一+1a“_i+1a“_i-1+211111an-12(a_一1)2(%-1)an_x-12an-121數列一;是以一二=1為首項，;為公差的等差數列，a“T4T21I/八+1,

26、+3=l+_(n-l)=_(則凡=,1乙z+1.456+2+3(/1+2)(+3)ln=4a嗎4=x-xx-xx=乙234n+16由7；10得：(+2“+3)0,又eN，；.26且eN，二的最小值為6.故選：C.8.數列,各項均是正數，4=g,出=|,函數y=gx在點處的切線過點an+1-2ana,則下列命題正確的個數是().為+。4=18；數列%+4用是等比數列；數列4,3叫是等比數列；4=3*.A.1B.2C.3D.4【答案】B【分析】求出函數的導函數，利用導數的幾何意義得到=4=2J，整理得到an-4+2+2a“+i%+2-2。“+尸冽，利用構造法求出數列的通項,即可判斷:【詳解】解：山

27、y=gx3得y= TOC o 1-5 h z la3_Za33所以=4-33_Q：,an一(4+224+)an-。“+2+%+；4+2-加+1一%=勿”=%+2-2。同=(*),339=1,%加2=3q=3=3x-+2x-=3+-=-,39927=2,%2a3=3a24=3x4-2x=9+=,.927361Q七環222由(*)知”+2+4川=3(4+1+/)，,首項4+4*。，”3=0,.+4+J是等比數列，正確；4+2-34+=-1(%+|-3%)，首項為-3q=|-3x；=o,不符合等比數列的定義，錯誤；由對可知：勺+4_1=232,兩邊同除3得小+g得J，令李=4，+3%=於4=-31+

28、，n-2-；2一：=_;1如_,636)6二=%=夏=0,即數列是恒為。的常數列163636661J.%Y=0=黑=!=a=93=；3T,故錯誤.o3ooZ故選：B.9.已知數列q滿足4=1,4川=(曠)，若如I=(-2田+1(1B.A,C.4,且4伉求得實數4的取值范圍.【詳解】由數列上+1是首項為2,公比為2的等比數列,UJs+I=2x2n-=2,an=(n-22)-|+1得%=(-2辦2,因為數列是單調遞增數列,所以N2時，b+lb,m4-1：.(n-2A)-2(n-2A)-2n-,即/1”,得2422,得i0,根據遞推公式可得出40,%0,，進而可知，對任意的neN*，。，在等式4+1

29、=1（_,+1）一兩邊取對數可得323陛2（。“+1）=1嗚=2隰（%+I）+log2：.令以=1%（4+1），則或。,可得”=%+噫|,則+唾：:|=2（%+1%|所以，數歹+1。82是等比數列,339且首項為4+log2弓=log2（4+1）+log?-=log,-,公比為2,39因為把一 2 二泰,所以必- = 2, 2n-7/5+log2-=2即電（%+1）=321%3-小。叼=31陶375.故選：B.13.已知數列qj的前項和為S“，q=5,且滿足詈-2 =#=，若，qeN*, Pq, 277-52/i-z則t-s,的最小值為（）A. -6B. -2C. -1D. 0【答案】A【分析

30、】轉化條件為3三4 = 2,由等差數列的定義及通項公式可得。“=（2-3）（2-7）,求 2- 5 2/2-7得滿足4 4 0的項后即可得解.【詳解】log,-=16（2log,3-1）=32log23-16,乂冊i所以數列篇是以T為濘項公差為2的等松列.所以y=T+2(n-l)=2-3,所以a“=(2-3)(2-7),令4=(2”-3)(2-7)40,解得;44鼻，所以/0嗎解：由a“+=:。“，力以。+1=u-。，得o二-所以數列是以#;=1為首項，以2為公比的等比數列，1+1J1+1所以4=2，所以a=(+l)-2T.設。“的前項和為s“，則S“=2x2+3x2i+4x22+(+l)-2

31、T,兩邊同乘2,得25=2x2l+3x22+.-+n-2*l+(n+l)-2,兩個式子相減得-5=2x2+(2+22+-+2,-|)-(n4-l)-2,=24-21-2-(n+)-2tt=-n-2n所以S2所以生2021x2_2021力以，以以+%“9-2019x2刈-2019.故選：A16.若數列4的首項4=-21,且滿足(2-3)a,M=(2-l)a.+42-8+3,則%的值為()A.1980B.2000C.2020D.2021【答案】A【分析】由條件(2-3)4*1=(2-l)a“+42-7+3可得=從而數列是首項2n-2n-32n-3)為21,公差為1的等基數列，由q=21,可得.=2

32、1,得出包的通項公式，進一步得出答案.【詳解】*.*(23)。+I=(2-1)4+4-7/?+3,(2九一3)。“土=(2+(2-3)(2/11),.臥-善二=1，所以數列是苜項為21,公差為I的等差數列，2n-l2/7-3-3JA=21+(n-l)xl=n+20,2一3工。=(+20)(2-3),ngNa24=1980,故選：A.17.設數列“的前項和為S,且q=l,a.1+25-1)(“e設),則“S.-21的最小n值為2A.-2B.-1C.-D.33【答案】B【分析】S,n=l利用數列的通項與前項和的關系/=。，因為。+| = + 6y1ati + 2 + 9 , 即J* + 2-也+2

33、=3, 也+2是以3 所以，4+2=3-1嗎+2 = (3-1)2,即 叫 故選：C.已知在數列,中，a =1, %： j_2_2_A, 23 321) = 2 1,故 S“ = 2/?2 - n.? -3x2,x 1，貝ij y= 6/ - 6x = 6x(x-l)20.=1 時,S 一2, 有最小值 12=-1.+- 6+ 2 + 9 ,則 % =()C. 6398D. 40282+3/，所以構造數列也+2為等差數列，算出所以1+2 = (,+2+3產，為公差，以2為首項的等差數列.7=802-2 = 6398.8+出，則“,=()C -1d - 2“ 3 3” 2【答案】A【分析】遞推關

34、系式乘以2山，再減去3,構造等比數列求通項公式.【詳解】因為4=|，4+1=+（；），所以2叫aM=2a“+l,整理得2叫*-3=:（2工一3）,所以數列2q-3是以2q-3=-g為首項，|為公比的等比數列.所以2%-3=1（|），32解得4=.-守故選：A.20.如果數列,滿足4=2,a2=,且=（“22）,則這個數列的第10項an-ananan等于（）111121029105【答案】D【分析】由膽設條件知鄉吟，所以i+i）,由此能夠得至W為等基數列，從而得到第10項的值.【詳解】解：.%二%=%一%1(n22)an-ananan+一+=一,即，*%and1=2,a2=1111,/.=一,=

35、1,/.cq2a2為以!為首項,-j為等差數列.11.11-=-02al22;為公差的等差數列.IAJ/乙111/nI422、12+9=5.(12210=-故選：D.二、填空題21.已知數列,滿足%+22【答案】(+1)【分析】由已知條件可得-|-(4+2a”+J等差數列，進而可得-=式即可求解.【詳解】解：由4d+&包=2+。“小得一凡+24a由4=1,%=?得=2,3%4所以一!，是以2為首項,I-所以=2+(-1)=+1%4第口卷(非選擇題)片=2+。“+|,且q=l,4J,則。“的通項公式”“=|=1從而有二是以2為首項，1為公差的+IaJIAman)=2+(-1)=+1,最后利用累加

36、法及等差數列的前項和公=i,-K-1=1,n+2anan+(。什2/“+1J1為公差的等差數列，當22時，=I1+jh%(勺%)an-2)l2%)%z、n(n+1)=+(/!-l)+.+2+l=,2所以凡二而用,當九=1時，4=1也適合上式,2所以=而而2故答案為；而可SS+122.設數列叫滿足q=2,%=6,4=12,數列4前項和為S,且黃字不=3(“eN且22).若但表示不超過x的最大整數，b,=盧，數列他,的前項和為T”,則心22的值為.【答案】2023【分析】根據遞推公式，可知4*從第2項起是等差數列,可得-4=2+2,再根據累加法,可得4=(+1)，由此可得當22時，b=一L=1,又

37、4=匕工=2,由此即可求出2022【詳解】當“22時，r=3,3+1-3+.4+2+。的+。“+1=3%+1_2a“+I+4=2,上4+2-4+1-(4+1-4)=2.a+l-a從第2項起是等差數列.又,.4=2,d2=6,%=12,/.(a,-a2)(a,a)=2,a”+ia“=4+2(-l)=2+2,當22時，an=(a“一)+(*-4-2*-+3-4)+4/、n(n+/、=2/7+2(n-l)4-L+2x2+2=2x_-=n(n+)(n+l)2n+1(冊n.WN2時，=又.西=叱匚=2,2213220232-T2O22=+-=2+2021=2023.故答案為：202323.已知S.是數列

38、叫的前項和，qm-3q,+2a“T=l,q=l,4=4,求數列4的通項公式.【答案】4=2e-2【分析】根據已知條件構造a+l-a+l=2(4a,-+1),可得an+l-a+1卜是公比為2的等比數列,即an4l-a=2+|-1,再由累力口法以及分組求和即可求解.【詳解】所以=2(4-)+1,因此本=2,因為4=1,a2=4,所以/-4+1=4,故數列。，用一。“+1是首項為4，公比為2的等比數列,所以4“一。”+1=42-=2向，即.一4=2同1,所以當22時,出“I=21t%勺=2,1,4/=21,L,一=211以上各式累加可得:2“1一2”。冊一4=(22+23+-+2)-(n-l)=1-

39、Z=2n+l-4-(n-l)=2nl-n-3,因為4=1,所以a“=2i-2,”22；又4=1符合上式，所以%=2-w-2.故答案為：an=2+-n-2.5-S+124.設數列4滿足4=2,%=6,%=12,數列4前項和為S，且r二二二3%+1一%+1(eN且”22).若國表示不超過x的最大整數，b“=色盧，數列也的前項和為，則422的值為.【答案】2023【分析】根據遞推公式，可知q“一從第2項起是等差數列,可得i=2“+2,再根據累加法，z、F(n+1)21fl4.1V可得+由此可得當22時，bn=L=1,又1=2,由此即可求anJ4出與022【詳解】.。”+2+4川+凡+13%+i+l-

40、24x+4=2,%+2-4用一(47-4，)=2川-4,從第2項起是等差數列.乂,.4=2，%=6,3=12,.(4-%)一(%-aj=2,a“+=4+2(-1)=2+2,當22時，4=(anan-t)+(an-lan-2)+-+(a2-ai)+ai=2n+2(n-l)+L+2x2+2=2x”(丁)=(+1),(+1)2n+1.-=(7?2),.(l+l)2乂也=-乙=2,q22322023?T2(f22=+=2+2021=2023._“lL%L。2022_故答案為:2023.51125.已知數列4中4=1,n+l=-一，設“=一二，求數列的通項公式71【答案】4M【分析】首先判斷，+;1是等

41、比數列，并求得其通項公式，從而求得數列的通項公式.【詳解】51,11a-2依題意。用=彳.則。”*1-2=3=-,2a2a2azi TOC o 1-5 h z 14兩邊取倒數并化簡得=7+2,%-2a-2即或+i=妝+2=%+g=4（+1）,r?12121所以數列或+刀是首項為伉+三=-+-=公比為4的等比數列，3JJq-/Jj0101所以=4-產，71故答案為：hn=-.已知數列,滿足4=3,4向+1=2（3-1）（：“+1）（“）,則數列%的通項公式+2,3-1為“二【答案】2（3）_n【分析】將已知遞推關系式變形為黑蘭=,U,令2=科，采用倒數法可證得數列1為3-1吧+23-1bn3-1

42、等片數列，利川等差數列通項公式求得或后，整理可得所求通項公式.【詳解】由”得:%+1 .一 2(6 + 1)- 3T3” 1 % + 2 3 1 a” +1 + 2 3n-設bo =%+l3-l則有2月這+2口=11,1. .4+13 + 1 c即喜3T 5,又八tt=i=2.f1111111zn.數列1了是以百=5,3為公差的等差數列，.萬=5+（-1）=5,.也3即2=2,一坐二Un3n-lnnn故答案為：20“二I）；.若數列叫滿足4=1,為“=6q+2”，則數列叫的通項公式。“=.【答案】2x6T-2T【分析】由=6勺+ 2向，可得爵=3x次+ 1,設咤，即鼠+g=3（+|,先求出的4

43、通項公式，進而得到答案.【詳解】由。“八=64+2，可得招=3x2+1，設4,=*Z2./則%=3仇+1,則%+；=3(+g所以+；是以1為苜項，3為公比的等比數列.則+g=3T,則紇=31-g,所以4=2x6-2,故答案為：2x6T-2T.已知數列4中，a,=|,且滿足q=；a,T+(N2,GN*),若對于任意wN,都有&2為成立，則實數義的最小值是.n【答案】2【分析】將己知等式化為2%“=2%t+1,根據數列2%.是首項為3公差為1的等差數列，可求得通項公式,將不等式化為a22”恒成立,求出2的最大值即可得解.【詳解】因為“22時，%=S，所以2q=2-%_產1,而2%=3,所以數列2為

44、是首項為3公差為1的等差數列，故2凡=+2,從而,=乂因為人2為恒成立，即；in(+2)恒成立,所以力J(：2)n22n2 31-/3/3 ,得 =2, n g N*,n 2(+2)(+1)(+3)由-(:：(eN*,N2)得所以4K =1，=2,所以2之2,即實數人的最小值是2.-Jmax故答案為：2(+2)2x(2+2).在數列,中，=1,且=34+(-1),則“=.(用含”的式子表示)答案3一(-1)”4【分析】將條件變形為%+；(-1)”=34+；(-1)”,即數列卜是首項為，公比為3的等比數列，然后可算出答案.【詳解】因為。”+1=3。“+(-1).所以4川+；(T)/=3,所以數列

45、“+；(-1)”是首項為，公比為3的等比數列，所以所以4故答案為：37(二1)：4.若數列4滿足6=1,且見“=4q+2,則4=,【答案】2016【分析】由題意結合數列的遞推公式，逐步運算即可得解.【詳解】因為向=4。“+2”，所以一+2=4(4+21,，數列a+2T是等比數列，首項為2,公比為4,則通項4+2T=2x4T,可得：a“=22T-2T,則ab=22x6*-26-*=2,-25=2016.故答案為：2016.在數列中，4=1,3-4=3%1-2-3-2+2(.2),S.是數列義1的前項和，n則S.為.【答案】3(1T【分析】將y-an=3T4T_2.3-2+2(.2)化為3-,(,

46、+1)=3一(%+1)+2(.2),再由等比數列的定義和通項公式、求和公式,可得所求和.【詳解】解：由4=1,-2S+2(.2),可得3T(%+1)=32(a“_1+1)+3T-3-2-2-3-2+2(.2),即3小(q+1)=3一2(%+1)+2(.2),所以數列3T(,+1)是以31(4+1)=2為首項、2為公差的等差數列，所以尸4+1)=2，2(1-),J*).3故答案為：3(1-).若數列,滿足4=2,4M=4a“+4j+l,則使得%22020成立的最小正整數”的值是.【答案】11【分析】根據遞推關系式可證得數列、屆+為等比數列，根據等比數列通項公式求得J，代入不等式，結合eN*可求得

47、結果.【詳解】+i=%+4血+1=(2阮+1);；.向?=2飆+1卮?+1=2(乩+1),數歹Ia+1是以8+1=應+1為首項，2為公比的等比數列，.阮+1=(夜+1)x2“t,.瘋=(夜+1)x2T-1,山220202得：瘋22020,BP2-=2021x(/2-1)837,29=512,嚴=1024且wN*，滿足題意的最小正整數=11.故答案為：11.已知數列,滿足4=5,(2+3)。“+|-(2+5)%=42+16+15,貝！K=.【答案】22+3【分析】轉化原式為#+-k%=1,可得是以I為首項，1為公差的等差數列，即得解【詳解】依題意，(2+3)。川-(2+5)(=(2+3)(2+5

48、),故詈七一盧=1,故數列彳%是2n+52+32+3J以1為首項，1為公差的等差數列，故三%=，則。“=22+3”.故答案為：21+3.已知數列應滿足區=七七-11+1(n0N-),且s=6,則斷的通項公式為.【答案】22-【分析】an_10n+l_1%_1由宓意令。=1可得6，與N2時，轉化條件“H卜二+1，進而可存與二=2,即n-nn-可得解.【詳解】因為數列Qn滿足2=-11+1(。閉N*),所以&-1=一nn1幾+1jnn/?+1)當n=l時，4-1=0即ai=l.當22時，由-1=七彳甥-1可得；-1：;In+1)-=n-n回數列十，從第二項開始是常數列,又萬一2圄一22-1n-Qa

49、n=2n2h（w2）,又4=1=2-1滿足上式，13aH=2n2-n.故答案為：2n2n.設數列4滿足4=4,%=10,a；血?=503，Vo3,貝！J片心9-3皿/因=.【答案】In5【分析】由題意可得,1nM施；）=In（5吭），化簡整理得2ln1lnWlna-,-7111n-2J=ln5.令=lna+1glna“，可得2（一1一In5）=*-In5,由此可得b=】n5,從而可求出答案.【詳解】解：Ja“_2=5a；_,Vn3,.當N3時，In（a；ya）=In（5q；_1）,即2Ina“+；Ina.?=皿5+2Ina“_1,2Inart-2Inc*-b-lnan_2=ln5,21na“-

50、gnq_j-na,；In%=】n5,令2=lnq+-Jlna“，則24_一白吃=姑5,且4=ln%-Jlna】=ln5,二2-In5）=2-皿5,又4_ln5=0,.也=2Wln-lln,t=ln5f故答案為：In5.已知數列4滿足用=34+10,2=4-4（+1）,若垢濁,則數列%的首項的取值范圍為.【答案】（3,+w）【分析】利用構造法求得a=（q+5）-3”T5,由方川2可得出4+5高，可得4+5（京.進而可求得為的取值范圍.【詳解】=3。，+10,.。,+|+5=3（q+5）,若4+5=0,得q=-5,可知=-5,此時，b=-4n-9,數列是遞減數列，不合乎題意；若4+5=0,得4#-

51、5,則數列%+5是以3為公比的等比數列，所以，/+5=（%+53小，則%=（嗎+5）31-5,也=%-4（n+1）,且也用包,即（4+5）354（+2）（4+5）-3-5-4（n+l）,整理得（4+53T2,.4+5,貝,易如數列儕是單調遞誠數列，則q+5,=2,解得可-3.因此，數列為的首項的取值范圍為（-3,e）.故答案為：（3,供）.數列叫滿足q=l,a2Sn-）=2S（2,wN*）,則勺=.n = 1n2I,答案4=2,（2網一1）（2也一3）【分析】2為公差的等差數列，可得八11,1、1一利用項和轉換，得至12=三-丁，故三是以k二1為首項,臬=:，再借助4=S“-Si，即得解2n-

52、i【詳解】由于a,（2S.-l）=2S；,4=S.-S,i.-S,i）（25,-1）=2S.2S,iS“=Si-S”2為公差的等差數列故=是以1=1為首項,由于 4=S ”一 Sa5N2)71=1n21,故答案為：。”=238.已知數列q,滿足q=l, M十場（”2 2）,則通項公式a“ =(21)(2-3)【答案】百匕（*）【分析】先取倒數可得-=網W=2+3,即-L+1=3!+J,由等比數列的定義可得n2時,4的峭an（的）+1=6$-2,即4=入，再檢驗n=1時是否符合即可。2,31【詳解】 TOC o 1-5 h z an.,、3、12an.+3,3由題，因為4=。T(22),所以一=

53、y=2+,2%+3ana_1外111、所以一+1=3+1)4；當=2時=!，所以,+1=5+1=6,2.CL+53CI-,所以當22時,;+1=632則;=2.尸-1,即4=Clnan23-當”=1時,4=萬匕=1,符合，所以q=姑7，故答案為:一(eN*)Z,139.數列4“滿足：叫+2+（+1）4=（2+l）4+iT,4=1,a2=6,令c.=a”.cos彳,數列cj的前項和為S“，貝!|S4.=.【答案】16/? .12/1-1I2j? I = +1+6【詳解】由遞推關系整理可得：（。,+2-。”+1）=5+1）（4+尸4,）一1，貝IJ：據此可得:一/I二八一見n+1nn(n+1) T

54、OC o 1-5 h z 以上各式相力U可得：Z=4+l,.-.a+1-a=4n+l,nn再次累加求通項可得：4=2-(“22),-in=l時該式也滿足題意，綜上可得：an=2n2-n，則：C4n-3+C4n-2+C4n-1+C4n=a4n-2+“4”=32n。，(22+32-10),r.S,n=-=16+6n42.數列凡滿足q=14+2=-(eN)記4=為，則數列也,的前項和S.=Vana”+ia：乙,但r2+3【答案】3【詳解】試題分析：由Jr+2=得一-3=2,|4=1,所以數列與構成以1為首項，2 TOC o 1-5 h z 歸心。，用4a,為公差的等差數列，所以，-l+S-DxZnZ

55、n-l,從而得到。；=白，則竽，13所以 S =- + t + -+2一1 12n f2nI32n-32n-=rHr+417-3 2 + 3222兩式相減，得;S“=.崇+言-割22-2向2n2n+,所以邑=3-若三、解答題.已知在數列。中，q=T,且=3a“T-2+3(22,eN*).(1)求出，%，并證明數列是等比數列；(2)求qj的通項公式；(3)求為+生+4,的值.【答案】-4,-15,證明見解析=m-2x3T(3)3+T22【分析】an-n-(1)代值計算出生，小，根據遞推公式可得據“八=3,即可證明；(2)由(1)可知”,是以-2為首項，以3為公比的等比數列，即可求出通項公式:(3

56、)分組求和，即可求出答案.解：因為q=-1,且a“=31T-2+3(N2,gN+)所以。2=3-2x2+3=4,%=3%2x3+3=-15,=3。”一|一2+3,a“_=3(a“_1_+l).a-1=-2,=311=42=312,，目飛_2.數列q-是等比數列,(2)解：由(1)可知%-是以-2為首項，以3為公比的等比數列,即a“_=_2x3T,即an=-2x3,*,i解：4+0+a”=(l+2+3+)-2(1+3+3+3”=業辿_2、15+2+1-3”.21-32242.已知S4Qn9求。”與Sn2【答案】GN*；s“=4一.【分析】1由題得S”=4“一,Sfl-i=4tzw-iJ-,n2,

57、兩式相減化簡即得a與Sn.22【詳解】anan-l=2；/11:2Chi2H1（7/i12（5）（5）2小是等差數列，d=2,首項為2m.2nan=2+2（nI）=2n.J.Sn=4an=4n()n-1=4：j.2-22-22T43.設各項均為正數的等差數列&的前項和為，Ss=20,且,%-1,卬成等比數列.(1)求數列叫的公差d;(2)數列也滿足bfw，且4+1=q,求數列也的通項公式.【答案】(1)d=l；h=+i+(-ir1.24【分析】根據4，%-1，%成等比數列可得(-if=生即，利用q，d&示出S$=20和（%-1）2=%卬，解方程組可求得q，d，結合得結果：13,13、（2）由（

58、1）可得+=-包+1,整理得一耳一=一（“一（一1）一,可知數列卜.彳（一1）一*為等比數列，由等比數列通項公式可推導得到結果.（1）設等差數列”“的公差為d,Q%，%T，3成等比數列，（4-1）2=。2卬，即（4+5J-1）2=（0j+d）（q+10d）,5x4又 55=54+式d = 20,解得：，8217當1；時，/=4+3*圻/0,與0矛盾，:17即等差數列,的公差=1:由（】）得：=+1,.-.bn+bn+l=n+l,即紇+|=-4+1,+|=又+l=q=2,解得：=1,二數列么-；（-1）-是以4-=J為苜項，T為公比的等比數列，24J44.也一:（一1）一=（一1廣x整理可得：h

59、=二+1+（一244n2444.已知數列4中，4=1, “用=neN*（1）求證：數列是等比數列（2）數列間滿足的=（3-1）卡多，數列的前項和為，若不等式（-1）兒7；,+言對一切“恒成立，求4的取值范圍.【答案】（1）證明見解析（2）-2/l3【分析】(1)將遞推公式兩邊取倒數，即可得到一二=2+1,從而得到一!一+=3,即可4+1%2(a,2)得證：(2)由(1)可得見=，,從而得到=白,再利用錯位相減法求和即可得到%即3122可得到(-I)4-定，對一切eN.恒成立，再對分奇偶討論，即可求出丸的取值范圍；(1)解：由“含(j)得晟所以數列，+1是以3為公比，以=為首項的等比數列.-+r

60、31 1一+ an 2a2J42)2 TOC o 1-5 h z 39解：由（I）得了+5=留3即4=了-“4,J-所以八券F.1C1C1/八11/=1X+2x+3xHF（/2-11X-+X-222?、*2-22”t711/八112212若為奇數，則一丸4齊，對一切eN*恒成立，.一/1一2v72tT兩式相減得：與二泉+/+/+擊_“吟=2_,因為不等式(-1)義7；+8對一切N*恒成立，2所以(-1)24-產，對一切eN*恒成立，2因為，=4-5訂單調遞增,，2，一若為偶數，則44一亍=，對一切恒成立.，2；(3)證明見解析.【分析】由條件取特殊值求的,%由條件證明數列、/為等差數列，由此可