1、等差數列教學案例設計一、教學內容分析本節課是普通高中課程標準實驗教科書數學5（人教版）第二章數列第二節等差數列第一課時。數列是高中數學重要內容之一，它不僅有著廣泛的實際應用，而且起著承前啟后的作用。一方面, 數列作為一種特殊的函數與函數思想密不可分；另一方面,學習數列也為進一步學習數列的極限等內容做好準備。而等差數列是在學生學習了數列的有關概念和給出數列的兩種方法通項公式和遞推公式的基礎上，對數列的知識進一步深入和拓廣。同時等差數列也為今后學習等比數列提供了“聯想”、“類比”的思想方法。二、學生學習情況分析我所教學的學生是我校高二（2）班的學生，經過一年的學習，大部分學生知識經驗已較為豐富，他

2、們的智力發展已到了形式運演階段，具備了較強的抽象思維能力和演繹推理能力，但也有一部分學生的基礎較弱，學習數學的興趣還不是很濃，所以我在授課時注重從具體的生活實例出發，注重引導、啟發、研究和探討以符合這類學生的心理發展特點，從而促進思維能力的進一步發展。三、設計思想1教法誘導思維法：這種方法有利于學生對知識進行主動建構；有利于突出重點，突破難點；有利于調動學生的主動性和積極性，發揮其創造性。分組討論法：有利于學生進行交流，及時發現問題，解決問題，調動學生的積極性。講練結合法：可以及時鞏固所學內容，抓住重點，突破難點。2學法引導學生首先從四個現實問題（數數問題、女子舉重獎項設置問題、水庫水位問題、

3、儲蓄問題）概括出數組特點并抽象出等差數列的概念；接著就等差數列概念的特點，推導出等差數列的通項公式；可以對各種能力的同學引導認識多元的推導思維方法。用多種方法對等差數列的通項公式進行推導。在引導分析時，留出“空白”，讓學生去聯想、探索，同時鼓勵學生大膽質疑，圍繞中心各抒己見，把思路方法和需要解決的問題弄清。四、教學目標通過本節課的學習使學生能理解并掌握等差數列的概念，能用定義判斷一個數列是否為等差數列，引導學生了解等差數列的通項公式的推導過程及思想，會求等差數列的公差及通項公式，能在解題中靈活應用，初步引入“數學建?！钡乃枷敕椒ú⒛苓\用；并在此過程中培養學生觀察、分析、歸納、推理的能力，在領會

4、函數與數列關系的前提下，把研究函數的方法遷移來研究數列，培養學生的知識、方法遷移能力；通過階梯性練習，提高學生分析問題和解決問題的能力。在解決問題的過程中培養學生主動探索、勇于發現的求知精神；使學生認識事物的變化形態，養成細心觀察、認真分析、善于總結的良好思維習慣。并通過一定的實例激發同學們的民族自豪感和愛國熱情。五、教學重點與難點重點：等差數列的概念。等差數列的通項公式的推導過程及應用。難點：理解等差數列“等差”的特點及通項公式的含義。理解等差數列是一種函數模型。關鍵： 等差數列概念的理解及由此得到的“性質”的方法。六、教學過程教學環節情境設計和學習任務學生活動設計意圖創設情景上節課我們學習

5、了數列。在日常生活中，人口增長、教育貸款、存款利息等等這些大家以后會接觸得比較多的實際計算問題，都需要用到有關數列的知識來解決。今天我們就先學習一類特殊的數列。傾聽課堂引入探索研究由學生觀察分析并得出答案：在現實生活中，我們經常這樣數數，從0開始，每隔5數一次，可以得到數列：0，5，_,_,_,_,2000年，在澳大利亞悉尼舉行的奧運會上，女子舉重被正式列為比賽項目。該項目共設置了7個級別。其中較輕的4個級別體重組成數列（單位：kg）：48，53，58，63。水庫的管理人員為了保證優質魚類有良好的生活環境，用定期放水清理水庫的雜魚。如果一個水庫的水位為18cm，自然放水每天水位降低2.5m，最

6、低降至5m。那么從開始放水算起，到可以進行清理工作的那天，水庫每天的水位組成數列（單位：m）：18，15.5，13，10.5，8，5.5我國現行儲蓄制度規定銀行支付存款利息的方式為單利，即不把利息加入本金計算下一期的利息。按照單利計算本利和的公式是：本利和=本金（1+利率寸期）.例如，按活期存入10 000元錢，年利率是0.72%。那么按照單利，5年內各年末的本利和分別是：時間年初本金（元）年末本利和（元）第1年10 00010 072第2年10 00010 144第3年10 00010 216第4年10 00010 288第5年10 00010 360各年末的本利和（單位：元）組成了數列：1

7、0 072，10 144，10 216， 10 288，10 360。觀察分析，發表各自的意見引向課題發現規律思考：同學們觀察一下上面的這四個數列：0，5，10，15，20， 48，53，58，63 18，15.5，13，10.5，8，5.5 10 072，10 144，10 216， 10 288，10 360 看這些數列有什么共同特點呢？觀察分析并得出答案:引導學生觀察相鄰兩項間的關系，得到： 對于數列，從第2項起，每一項與前一項的差都等于 5 ； 對于數列，從第2項起，每一項與前一項的差都等于 5 ； 對于數列，從第2項起，每一項與前一項的差都等于 -2.5 ； 對于數列，從第2項起，每

8、一項與前一項的差都等于 72 ； 由學生歸納和概括出，以上四個數列從第2項起，每一項與前一項的差都等于同一個常數（即：每個都具有相鄰兩項差為同一個常數的特點）。通過分析，激發學生學習的探究知識的興趣，引導揭示數列的共性特點?？偨Y提高等差數列的概念對于以上幾組數列我們稱它們為等差數列。請同學們根據我們剛才分析等差數列的特征，嘗試著給等差數列下個定義：等差數列：一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，那么這個數列就叫做等差數列。這個常數叫做等差數列的公差，公差通常用字母d表示。那么對于以上四組等差數列，它們的公差依次是5，5，-2.5，72。學生認真閱讀課本相關概念，

9、找出關鍵字。通過學生自己閱讀課本，找出關鍵字，提高學生的閱讀水平和思維概括能力，學會抓重點。提問：如果在與中間插入一個數A，使，A，成等差數列數列，那么A應滿足什么條件？由學生回答：因為a，A，b組成了一個等差數列，那么由定義可以知道：A-a=b-A所以就有 讓學生參與到知識的形成過程中，獲得數學學習的成就感。由三個數a，A，b組成的等差數列可以看成最簡單的等差數列，這時，A叫做a與b的等差中項。不難發現，在一個等差數列中，從第2項起，每一項（有窮數列的末項除外）都是它的前一項與后一項的等差中項。如數列：1，3，5，7，9，11，13中5是3和7的等差中項，1和9的等差中項。9是7和11的等差

10、中項，5和13的等差中項?？磥恚瑥亩傻迷谝坏炔顢盗兄?，若m+n=p+q則 深入探究，得到更一般化的結論引領學習更深入的探究，提高學生的學習水平?？偨Y提高等差數列的通項公式對于以上的等差數列，我們能不能用通項公式將它們表示出來呢？這是我們接下來要學習的內容。、我們是通過研究數列的第n項與序號n之間的關系去寫出數列的通項公式的。下面由同學們根據通項公式的定義，寫出這四組等差數列的通項公式。由學生經過分析寫出通項公式：這個數列的第一項是5，第2項是10（=5+5），第3項是15（=5+5+5），第4項是20（=5+5+5+5），由此可以猜想得到這個數列的通項公式是 這個數列的第一項是48，第2項是

11、53（=48+5），第3項是58（=48+52），第4項是63（=48+53），由此可以猜想得到這個數列的通項公式是 這個數列的第一項是18，第2項是15.5（=18-2.5），第3項是13（=18-2.52），第4項是10.5（=18-2.53），第5項是8（=18-2.54），第6項是5.5（=18-2.55）由此可以猜想得到這個數列的通項公式是這個數列的第一項是10072，第2項是10144（=10172+72），第3項是10216（=10072+722），第4項是10288（=10072+723），第5項是10360（=10072+724），由此可以猜想得到這個數列的通項公式是學會發現

12、規律，并加以總結。、那么，如果任意給了一個等差數列的首項和公差d，它的通項公式是什么呢？ 引導學生根據等差數列的定義進行歸納： 所以 引導學生進行理性分析與推導，從而得出公式。總結提高思考：那么通項公式到底如何表達呢？ 進一步的分析。得出通項公式：由此我們可以猜想得出：以為首項，d為公差的等差數列的通項公式為 也就是說，只要我們知道了等差數列的首項和公差d，那么這個等差數列的通項就可以表示出來了。思考，并發表各自的意見。讓學生有自主思考的時空。應用鞏固例1、求等差數列8，5，2，的第20項.-401是不是等差數列-5，-9，-13，的項？如果是，是第幾項？讓兩個學生分別對這兩小題加以分析。讓學

13、生參與課堂。分析：要求出第20項，可以利用通項公式求出來。首項知道了，還需要知道的是該等差數列的公差，由公差的定義可以求出公差；這個問題可以看成是上面那個問題的一個逆問題。要判斷這個數是不是數列中的項，就是要看它是否滿足該數列的通項公式，并且需要注意的是，項數是否有意義。解：由=8，d=5-8=-3，n=20，得由=-5，d=-9-（-5）=-4，得這個數列的通項公式為由題意知，本題是要回答是否存在正整數n,使得-401=-4n-1成立。 解這個關于n的方程，得n=100，即-401是這個數列的第100項。例題評述：從該例題中可以看出，等差數列的通項公式其實就是一個關于、d、n（獨立的量有3個

14、）的方程；另外，要懂得利用通項公式來判斷所給的數是不是數列中的項，當判斷是第幾項的項數時還應看求出的項數是否為正整數，如果不是正整數，那么它就不是數列中的項。聆聽教師點評通過教師點評，提高學生對關鍵問題的認知水平。隨堂練習：課本45頁“練習”第1題；完成練習講練結合，有利提高學生的知識應用水平例2某市出租車的計價標準為1.2元/km，起步價為10元，即最初的4km（不含4千米）計費10元。如果某人乘坐該市的出租車去往14km處的目的地，且一路暢通，等候時間為0，需要支付多少車費？解：根據題意，當該市出租車的行程大于或等于4km時，每增加1km，乘客需要支付1.2元.所以，我們可以建立一個等差數

15、列來計算車費. 令=11.2，表示4km處的車費，公差d=1.2。那么當出租車行至14km處時，n=11，此時需要支付車費 答：需要支付車費23.2元。學以致用，將所學知識應用到具體生活中去，加深對概念的理解。例題評述：這是等差數列用于解決實際問題的一個簡單應用，要學會從實際問題中抽象出等差數列模型，用等差數列的知識解決實際問題。聆聽教師點評通過教師點評，提高學生對關鍵問題的認知水平。隨堂練習：課本45頁“練習”第2題；完成練習講練結合，有利提高學生的知識應用水平例3 已知數列的通項公式為其中p、q為常數，且p0，那么這個數列一定是等差數列嗎？分析思考，然后分組討論，讓兩組學生代表發表自己的見

16、解。培養學生分析問題的能力，在小組討論中提高組長的組織與歸納組內成員想法的能力。分析：判定是不是等差數列，可以利用等差數列的定義，也就是看（n1）是不是一個與n無關的常數。解：取數列中的任意相鄰兩項（n1），求差得 它是一個與n無關的數.所以是等差數列。課本左邊“旁注”：這個等差數列的首項與公差分別是多少？這個數列的首項公差。由此我們可以知道對于通項公式是形如的數列，一定是等差數列，一次項系數p就是這個等差數列的公差，首項是p+q.例題評述：通過這個例題我們知道判斷一個數列是否是等差數列的方法：如果一個數列的通項公式是關于正整數n的一次型函數，那么這個數列必定是等差數列。對所得結論進行更深入一

17、步的探究，激發學生的學習興趣。探索研究引導學生動手畫圖研究完成以下探究：在直角坐標系中，畫出通項公式為的數列的圖象。這個圖象有什么特點？在同一個直角坐標系中，畫出函數y=3x-5的圖象，你發現了什么？據此說一說等差數列與一次函數y=px+q的圖象之間有什么關系。分析：n為正整數，當n取1，2，3，時，對應的可以利用通項公式求出。經過描點知道該圖象是均勻分布的一群孤立點；畫出函數y=3x-5的圖象一條直線后發現數列的圖象（點）在直線上，數列的圖象是改一次函數當x在正整數范圍內取值時相應的點的集合。于是可以得出結論：等差數列的圖象是一次函數y=px+q的圖象的一個子集，是y=px+q定義在正整數集

18、上對應的點的集合。該處還可以引導學生從等差數列中的p的幾何意義去探究。學生動手畫圖，并進行學習小組討論，發表見解。通過學生動手作圖，并加以對比，讓學生體會數列與函數的內在關系。課堂小結本節主要內容為：等差數列定義：即(n2)等差數列通項公式：(n1)推導出公式：以學習小組為單位，在學習小組中，各自歸納自己對這堂課的收獲，后由小組代表總結歸納。學生自己小結，使學生對自己所學知識有更深刻的認識。評價設計1、已知是等差數列. 是否成立？呢？為什么？ 是否成立？據此你能得出什么結論？ 是否成立？據此你又能得出什么結論？2、已知等差數列的公差為d.求證：作業是課堂的延續，除了檢驗學生對本節課知識的理解程度，還在于引導學生對本課知識的進一步探究，讓學生在更大的深度與廣度之間進行思考。七、教學反思本節課通過生活中一系列的實例讓學生觀察，從而得出等差數列的概念，并在此基礎上學會求等