1、醫學物理學 第7章 靜電場醫學物理學自然界中有兩種電荷：正電荷、負電荷。一、電荷 (charge)電子是自然界中存在的最小負電荷, 1986年的 推薦值為：e =1.602 177 3310-19 C 庫侖實驗證明微小粒子帶電量的變化是不連續的，它只能是元電荷 e 的整數倍 , 即粒子的電荷是 量子化的： Q = n e ; n = 1, 2 , 3, 第一節 電場強度醫學物理學二、庫侖定律(Coulomb law) 在真空中兩個相對于觀察者靜止的點電荷之間的相互作用力的大小與它們所帶電量的乘積成正比，與它們之間距離的平方成反比 ,方向沿兩電荷的連線,同號相斥,異號相吸。 庫侖力滿足牛頓第三定

2、律其中 為q1 指向q2 的矢量 設q2 受到 q1 的作用力為F12 則：當q2 與q1 異號時, F12 與r12 方向相反醫學物理學稱為真空電容率或真空介電常量。是國際單位制中的比例系數 條件：點電荷，真空適用疊加原理醫學物理學例1：三個點電荷q1=q2=2.010-6C , Q=4.010-6C ， 求q1 和 q2 對Q 的作用力。解： q1 和 q2對Q 的作用力的 方向雖然不同，但大小相等：由對稱性可以看出兩個力在 y 方向的分力大小相等，方向相反而相互抵消，Q 僅受沿x方向的作用力：q1q2Qyxor1r20.30.30.4FxF1F2Fy醫學物理學三、電場與電場強度它與試探電

3、荷無關，反映電場本身的性質。單位正電荷在電場中某點所受到的力。物理意義1. 試探電荷： q0 是攜帶電荷足夠小；占據空間也足夠小的點電荷，放在電場中不會對原有電場有顯著的影響。2. 將正試探電荷q0放在電場中的不同位置，q0受到的電場力 F 的值和方向均不同 , 但對某一點而言 F 與 q0 之比為一不變的矢量，為描述電場的屬性 引入一個物理量電場強度(簡稱為場強）：醫學物理學3. 單位 ：在國際單位制 (SI)中電場是一個矢量場(vector field )力 的單位：牛頓(N ); 電量 的單位：庫侖(C )場強 單位(N/C )，或(V/m)。電荷在場中受到的力：+電場中某點的電場強度的

4、大小，等于單位電荷在該點所受電場力的大小；電場強度的方向與正電荷在該點所受電場力的方向一致。醫學物理學四、電場強度的計算1.點電荷的電場強度位矢 求場點O 場源F 正電荷負電荷醫學物理學2.多個點電荷產生的電場電場中任何一點的總場強等于各個點電荷在該點各自產生的場強的矢量和。這就是場強疊加原理。若空間存在n個點電荷q1 ,q2 ,qn 求它們在空間電場中任一點P 的電場強度：ri 是點P 相對于第i 個點電荷的位置矢量。E3E2E1醫學物理學3.任意帶電體產生的電場將帶電體分成很多電荷元dq ,先求出它在空間任意點 P 的場強對整個帶電體積分,可得總場強：以下的問題是引入電荷密度的概念并選取合

5、適的坐標，給出具體的表達式和實施計算。P醫學物理學電荷的線密度線電荷分布的帶電體的場強醫學物理學 解：在圓環上任選dq ，引矢徑 r 至場點，由對稱性可知， p 點場強只有x 分量例2： 均勻帶電圓環軸線上一點的場強。設圓環帶電量為Q，半徑為R。dE/dE醫學物理學當所求場點遠大于環的半徑時，方向在x 軸上，正負由q的正負決定。說明遠離環心的場強相當于點電荷的場。dE/dE醫學物理學例3：求帶電線的中垂線上與帶電線相距為 R的點的場強2LdEX2LdEyadxrP方法一：醫學物理學當L為無限長方向：0 背離導線 0 指向導線醫學物理學方法二：2LdEyadxrP醫學物理學醫學物理學一、電場線(

6、electric line of field)1、定義： 電場線上各點的切線方向與 該點場強的方向一致； 在垂直于電場線的單位面積上穿過的曲線條數與該處的電 場強度的大小成正比。第二節 高斯定理醫學物理學1）切線方向為E的方向；2）E的大小為垂直通過面積元 dS 的電場線的條數 d；3)電場線發自正電荷，終于負電荷，在無電荷處不中 斷；4）任何兩條電場線不相交；5）電場線不構成閉合曲線；2、 性質：醫學物理學1、定義二、電場強度通量(electric flucx)通過任一面積元的電場線的條數稱為通過這 一面積元的電場強度通量。（簡稱電通量） 如果垂直于電場強度的面積為dS，穿過的電場線條數為d

7、e，那么SE醫學物理學若選擇比例系數為1，則有de = E d S . 如果在電場強度為E的勻強電場中，平面S與電場強度E 相垂直，則 e = E S . 如果在場強為E的勻強電場中，平面S與場強E不垂直，其法線n與場強E成 角。 nEs醫學物理學如果在非勻強電場中有一任意曲面S，可以把曲面S分成許多小面元dS，則穿過面元dS的電場線條數de可以表示為通過任一曲面S 的電通量：通過閉合曲面S 的電通量：醫學物理學s1s2s3s4s5E nxyz例4：一個三棱柱放在均勻電場中，E=200 N/C ,沿x方向，求通過此三棱柱體的電場強度通量。解：三棱柱體的表面為一閉合曲面，由S1、S2、S3、S4

8、、S5 構成，其電場強度通量為：即：通過閉合曲面的電場強度通量為零。醫學物理學三、 高斯定理（Gauss theorem）真空中靜電場中任何意閉合曲面S 的電通量，等于該曲面所包圍的電量除以e 0 ，而與S以外的電荷無關。 數學表達式1、 包圍點電荷q 的同心球面S 的電通量 S醫學物理學 此結果與球面的半徑無關。即通過各球面的電力線總條數相等。從 q 發出的電場線連續的延伸到無窮遠。醫學物理學3、 任意閉合曲面S不包圍電荷，點電荷q 處于 S之外：如圖所示，由于從q 發出的電場線，凡是穿入S 面的，必定又從S面穿出，所以穿過S 面的電場線凈條數必定等于零，曲面S的電通量必定等于零。2、包圍點

9、電荷q 任意閉合曲面S 的電通量 S1S2S穿過球面S1和S2的電場線，必定也穿過閉合曲面S。所以穿過任意閉合曲面S的電通量必然為q / 0 ，即醫學物理學應用高斯定理（電荷對稱情況下）解題的方法先分析電場的對稱性；據對稱性選取合適的高斯面；高斯面要通過待求點；面上各點E或與面垂直、或與面平行，且均勻大小 相等。高斯定理的應用 在靜電學中，常常利用高斯定理來求解電荷分布具有一定對稱性的電場問題。醫學物理學例5：均勻帶電的球殼內外的場強分布。設球殼半徑為 R，所帶總電量為 Q。解：場源的對稱性決定著場強分布的對稱性。它具有與場源同心的球對稱性。固選同心球面為高斯面。 場強的方向沿著徑向，且在球面

10、上的場強處處相等。(1) 當 高斯面內電荷為Q，所以(2)當 高斯面內電荷為 0高斯面高斯面均勻帶電球殼醫學物理學例6：求半徑為R的均勻帶電球體在球內外各點的場強分布，總電量為Q 。解：因為電荷分布具有球對稱性。固選取同心的球面為高斯面。 QRr設球體電荷密度為r醫學物理學解：電荷均勻分布在無限大的平面上，電場分布對該平面對稱。所以 p 點的場強必然垂直于該平面，離平面等遠處的場強大小都相等。例7：求無限大均勻帶電平板的場強分布。設面電荷密度為 。醫學物理學場強方向垂直于帶電平面。 選一其軸垂直于帶電平面的圓筒式封閉面作為高斯面 S，帶電平面平分此圓筒，場點 p 位于它的一個底面上。醫學物理學

11、 場強方向指離平面;場強方向指向平面。例8：求兩個平行無限大均勻帶電平面的場強分布。設面電荷密度分別為 和 。解：該系統不再具有簡單的對稱性，不能直接應用高斯定理。然而每一個帶電平面的場強先可用高斯定理求出，然后再用疊加原理求兩個帶電平面產生的總場強。需注意方向：醫學物理學直流電路中的平行板電容器間的場強，就是這種情況。由圖可知，在A 區和B區場強均為零。C 區場強的方向從帶正電的平板指向帶負電的平板。場強大小為一個帶電平板產生的場強的兩倍。醫學物理學例9：一無限長均勻帶電細棒，其線電荷密度為，求距細棒為a處的電場強度。 解：以細棒為軸作一個高為l、截面半徑為a的圓柱面，如圖所示。由于對稱性，

12、圓柱側面上各點的場強E的大小相等, 方向都垂直于圓柱側面向外。 通過高斯面S的電通量可分為圓柱側面和上、下底面三部分通量的代數和。S a醫學物理學因上、下底面的場強方向與面平行，其電通量為零，即式中后兩項為零。此閉合面包含的電荷總量其方向沿場點到直導線的垂線方向。正負由電荷的符號決定。S a醫學物理學1）高斯面上的 E 與哪些電荷有關 ？2）哪些電荷對閉合曲面上的 有貢獻 ？1）高斯面上的電場強度為所有內外電荷的總電場強度.4）僅高斯面內的電荷對高斯面的電通量有貢獻.2）高斯面為封閉曲面.3）穿進高斯面的電通量為負，穿出為正.3）將q2從A點移動到B點，P點電場強度是否變化？穿過高斯面S的變化

13、否？思考：注意：醫學物理學一、靜電場力做功 (conservative field)點電荷 從 P 經任意路徑到 Q點，電場所作的功為：rQPQcrP電場力所做的功只與始點和末點的位置有關第三節 電勢在點電荷q的場中移動試探電荷q0，求電場力作的功：醫學物理學任何一個帶電體都可看成是由無數電荷元組成， 由場強疊加原理可得到電場強度 E=E1+E2+En， 試探電荷q0從P 移動到Q，電場力作的功為： 任何靜電場中，電荷運動時電場力所作的功只與起始和終了的位置有關,而與路徑無關。這一特性說明： 靜電場是保守場 。點電荷的靜電場力所作的功與積分路徑無關。醫學物理學 在靜電場中，場強沿任意閉合路徑的

14、環路積分等于零。稱為靜電場的環路定理。ACBD因為保守力的數學形式為可以證明在靜電場中有醫學物理學二、電勢1、電勢能 電荷在電場中移動時，電場力作的功等于電勢能的變化量 q0 在電場中某點的電勢能等于把 q0 從該點移到無限遠處電場力作的功不能確切反映電場的性質。醫學物理學2、電勢電場中某點a的電勢，等于把單位正電荷從a點經任 意路徑移動到無限遠處時，靜電場力所作的功。電勢電勢(electric potential )是標量，單位為伏特（V ） 也稱為焦耳/庫侖，即1V= 1 J /C醫學物理學電勢差（電壓）在數值上等于單位正電荷從電場中 a 點經任意路 徑到 b 點時電場力作的功電場對點電荷

15、做功醫學物理學3、電勢的計算 (electric potential ) 1）、 點電荷產生的電場中的電勢分布 可用場強分布和電勢的定義直接積分。 注意：可以沿很多路徑，但是沿電場線最簡單。醫學物理學2）、 在多個點電荷產生的電場中任意一點的電勢： 在多個點電荷產生的電場中,任一點的電勢等于各個點電荷單在該點所產生的電勢的代數和。醫學物理學線密度為l的帶電體 可以把帶電體看為很多很小電荷元的集合體。它在空間某點產生的電勢，等于各個電荷元在同一點產生電勢的代數和。 P 3）、 在任意帶電體產生的電場中任意一點的電勢醫學物理學求電勢的方法：1.2.醫學物理學例10：求半徑為R均勻帶電球面的電勢分布

16、。 已知球面總帶電量為Q。解：設無限遠處為零電勢，由高斯定理知, 在r R 的球外空間電場分布為：E1RqrE21.球內任一點的電勢為：Er醫學物理學帶電球殼是個等勢體。在球面處場強不連續，而電勢是連續的。UrRqrU1U22.球外任意點的電勢：醫學物理學例11：求無限長均勻帶電直線的電場中的電勢分布。解：由高斯定理知場強為： 方向垂直于帶電直線。由此例看出，當電荷分布擴展到無窮遠時，電勢零點不能再選在無窮遠處。 若仍然選取無窮遠為電勢零點，則由積分可知各點電勢將為無限大而失去意義。因此可以選取某一距帶電直導線為r0的p0點為電勢零點，則距帶電直線為r 的p點的電勢：電荷線密度醫學物理學三、

17、等勢面 (equipotential surface ) 將電場中電勢相等的點連接起來所形成的一系列曲面叫做等勢面。等勢面上的任一曲線叫做等勢線。等勢面與電場線正交。因為將單位正電荷從等勢面上M點移到N點，電場力作功為零，而路徑不為零等勢面的性質：電荷沿等勢面移動，電場力不作功。正電荷等勢面醫學物理學 規定兩個相鄰等勢面的電勢差相等，所以等勢面較密集的地方，場強較大。等勢面較稀疏的地方，場強較小。正電荷的場負電荷的場均勻電場醫學物理學E的大小 等于電勢在此方向上變化率dU/dl的負值四、電場強度與電勢的關系dl醫學物理學E在任意方向上的分量大小 Ecos等于電勢在此方向上變化率dU/dl的負值

18、醫學物理學靜電場在任一點的場強等于該點電勢梯度的負值（電勢變化率最大）等勢面密的地方，場強大；等勢面疏的地方場強小。電場強度的方向恒指向電勢降落的方向。電勢梯度醫學物理學第四節 電偶極子和電偶層電偶極子：相距很近、帶等量異號電荷 +q 和 q組成的點電荷系統。電偶極矩的方向由負電荷引向正電荷一、電偶極子的場強醫學物理學r-r+rq+qEE+E-中垂線醫學物理學二、電偶極子的電勢醫學物理學醫學物理學電偶極子的電勢分布特點：電偶極子中垂面上的電勢為零（=900），把電勢分成正、負兩個區域；正電荷一側為正電勢區，負電荷一側為負電勢區。醫學物理學電偶層：相距很近互相平行，帶有等值異號的電荷面密度的兩個帶電表面層。a層矩立體角d為ds對a點所張的立體角。醫學物理學如果層矩相等a膜外為0，膜內為-4k醫學物理學 一、電介質的極化 絕緣體都屬于電介質。在這種物質中，不存在自由電荷，但是在靜電場的作用下，電介質的表面上會出現電荷，稱為極化電荷。電介質出現極化電荷的現象，稱為電介質極化。第五節 靜電場中的電介質極性分子電介質：正、負電荷中心不重合，分子 電矩不為零無極分子電介質：正、負電荷中心重合，分子 電矩為零醫