1、7.5空間向量及其運算第七章2022高中總復習優化設計GAO ZHONG ZONG FU XI YOU HUA SHE JI課標要求1.在平面直角坐標系的基礎上,了解空間直角坐標系,感受建立空間直角坐標系的必要性,會用空間直角坐標系刻畫點的位置.2.借助特殊長方體(所有棱分別與坐標軸平行)頂點的坐標.探索并得出空間兩點間的距離公式.3.了解空間向量的概念.4.經歷由平面向量的運算及其法則推廣到空間向量的過程.5.了解空間向量基本定理及其意義,掌握空間向量的正交分解及其坐標表示.6.掌握空間向量的線性運算及其坐標表示.7.掌握空間向量的數量積及其坐標表示.8.了解空間向量投影的概念以及投影向量的

2、意義.備考指導本節內容是在平面向量基礎上的推廣與擴充,復習時要類比平面向量的相關概念、定理、公式、運算律等,比較它們之間的異同.本節知識對數學抽象核心素養體現較多,是基礎性和工具性的內容,難度不大.重點是理解和記憶定理、公式等,能準確進行空間向量的運算以及應用空間向量解決平行、垂直和夾角等問題.內容索引010203第一環節必備知識落實第二環節關鍵能力形成第三環節學科素養提升第一環節必備知識落實【知識篩查】 1.空間向量的相關概念(1)定義在空間,我們把具有大小和方向的量叫做空間向量.空間向量的大小叫做空間向量的長度或模.(2)特殊的空間向量 2.空間向量的線性運算(1)加法與減法運算(2)數乘

3、運算定義:實數與空間向量a的積a仍然是一個向量,稱為向量的數乘運算.當0時,a與向量a方向相同;當0時,a與向量a方向相反;當=0時, a=0;a的長度是a的長度的|倍,即|a|=|a|.(3)運算律交換律:a+b=b+a;結合律:a+(b+c)=(a+b)+c;分配律:(a+b)=a+b;(a)=()a.3.空間向量的基本定理(1)共線向量定理定理:對任意兩個空間向量a,b(b0),ab的充要條件是存在實數,使a=b .溫馨提示1.定理中規定b0,這是因為:(1)在充分性中,當b=0,0時,也有a=b=0,而零向量與任一向量共線,并不唯一;(2)在必要性中,當a0,b=0時,不存在實數,使a

4、=b.(2)共面向量定理定義:平行于同一個平面的向量,叫做共面向量.共面向量定理:如果兩個向量a,b不共線,那么向量p與向量a,b共面的充要條件是存在唯一的有序實數對(x,y),使p=xa+yb.(3)空間向量基本定理如果三個向量a,b,c不共面,那么對空間任一向量p,存在唯一的有序實數組(x,y,z),使p=xa+yb+zc.a,b,c叫做空間的一個基底,其中a,b,c都叫做基向量.4.空間向量的數量積運算(1)空間兩向量的夾角夾角的范圍:空間任意兩個向量的夾角的取值范圍是0,.特別地,當=0時,兩向量同向共線;當=時,兩向量反向共線,所以若ab,則= 0或.(2)空間兩向量的數量積運算定義

5、:已知兩個非零向量a,b,則|a|b|cos叫做a,b的數量積,記作ab.即ab=|a|b|cos.特別地,零向量與任意向量的數量積為 0 .運算律結合律:(a)b=(ab);交換律:ab=ba;分配律:a(b+c)=ab+ac.(3)空間向量的坐標表示及其應用設a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3).【知識鞏固】 1.下列說法正確的畫“”,錯誤的畫“”.(1)“|a|-|b|=|a+b|”是“a,b共線”的充要條件.()(2)對空間任意一點O與不共線的三點A,B,C,若 (其中x,y,zR),則P,A,B,C四點共面.()(3)對于空間非零向量a,b,abab=0.()(4)對于

6、非零向量b,由ab=bc,得a=c.()(5)非零向量a,b,c滿足(ab)c=a(bc).()2.已知x,yR,有下列說法:若p=xa+yb,則p與a,b共面;若p與a,b共面,則p=xa+yb;其中正確說法的個數是()A.1B.2C.3D.4B正確.中若a,b共線,p與a不共線,則p=xa+yb不成立.正確.中若點M,A,B共線,點P不在此直線上,則 不成立.3.如圖,在一個60的二面角的棱上,有兩個點A,B,AC,BD分別是在這個二面角的兩個半平面內垂直于AB的線段,且AB=4,AC=6,BD=8,則CD的長為.4.如圖,在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別是A1B

7、1和BB1的中點,則直線AM和CN所成角的余弦值為.5.如圖,已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線長都等于1,點E,F,G分別是AB,AD,CD的中點,計算:(3)EG的長;(4)異面直線AG與CE所成角的余弦值. 第二環節關鍵能力形成能力形成點1空間向量的線性運算例1如圖,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,設 , M,N,P分別是AA1,BC,C1D1的中點,試用a,b,c表示以下各向量:解題心得1.選定空間不共面的三個向量作基向量,并用它們表示出指定的向量,這是用向量解決立體幾何問題的基本方法.解題時應結合已知和所求觀察圖形,靈活運用相關的運算法則和公式來表示所需向量.2.空間向

8、量問題可以轉化為平面向量問題來解決,即把空間向量轉化到某一個平面上,利用三角形法則或平行四邊形法則來解決.對點訓練1如圖,在三棱錐O-ABC中,M,N分別是OA,BC的中點,G是ABC的重心,用基向量能力形成點2共線定理、共面定理的應用例2已知E,F,G,H分別是空間四邊形ABCD的邊AB,BC,CD,DA的中點,用向量方法證明:(1)E,F,G,H四點共面;(2)BD平面EFGH.對點訓練2 能力形成點3空間向量的數量積及其應用例3在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,點E,F,G分別是DD1,BD,BB1的中點.(1)求CE的長;(2)求證:EFCF;(方法二:坐標法) 解題心得

9、1.證明垂直問題利用abab=0(a0,b0),可將向量的垂直問題轉化為向量數量積的計算問題,主要有兩種方法:(1)先把兩個向量用同一組基底表示出來,再計算它們的數量積.選擇基向量時要盡量選擇已知長度和夾角的向量作為基向量.(2)建立適當的空間直角坐標系,利用向量數量積的坐標運算直接計算驗證.2.求夾角(1)結合圖形,平移向量,利用空間向量的夾角的定義來求,但要注意向量夾角的取值范圍.(2)先求出兩個向量的數量積ab,再利用公式 求cos,最后確定.對點訓練3(1)如圖,已知線段AB平面,BC,CDBC,DF平面,且DCF=30,點D與點A在的同側,若AB=BC=CD=2,則A,D兩點間的距離為.(2)如圖,在直三棱柱ABC-ABC中,AC=BC=AA,ACB=90,D,E分別為棱AB,BB的中點.求證:CEAD;求異面直線CE與AC所成角的余弦值.(方法二:坐標法)CC平面ABC,且CACB,以點C為原點,分別以CA,CB,CC所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系(圖略).令AC=BC=AA=2,則點A(2,0,0),C(0,0,2),A(2,0,2),E(0,2,