1、第三章 函數(shù)的概念與性質(zhì)3.2函數(shù)的基本性質(zhì)3.2.1 單調(diào)性與最大（小）值第2課時函數(shù)的最大值、最小值素養(yǎng)導(dǎo)引1.借助函數(shù)圖象，會用符號語言表達(dá)函數(shù)最大值、最小值(數(shù)學(xué)抽象)2.理解函數(shù)的最大值、最小值的作用和實際意義(數(shù)學(xué)運算) 函數(shù)的最大值和最小值前提設(shè)函數(shù)yf(x)的定義域為I，如果存在實數(shù)M(m)條件(1)xI，都有f(x)M(2)x0I，使得f(x0)M(1)xI，都有f(x)m(2)x0I，使得f(x0)m結(jié)論稱M是函數(shù)yf(x)的最大值稱m是函數(shù)yf(x)的最小值【批注】最大值定義中兩個條件的含義：(1)任意函數(shù)值都比M小，也叫函數(shù)的有界性；(2)能取到M，否則不是函數(shù)的最大值

2、診斷1(教材P76圖3.21改編)函數(shù)yf(x)的圖象如圖所示，在區(qū)間4，1上的最小值是()A4 B3 C0 D1【解析】選C.由題圖知，函數(shù)在4，3上單調(diào)遞減，在3，1上單調(diào)遞增，當(dāng)x3時取最小值0.2(教材P81例5改編)函數(shù)y eq f(1,x1) 在2，3上的最小值為()A2 B eq f(1,2) C eq f(1,3) D eq f(1,2) 【解析】選B.原函數(shù)在2，3上單調(diào)遞減，所以最小值為 eq f(1,31) eq f(1,2) .學(xué)習(xí)任務(wù)一實際問題中的最值(數(shù)學(xué)建模)1某公司在甲、乙兩地銷售同一種農(nóng)產(chǎn)品，利潤(單位：萬元)分別為y15x eq f(1,4) x2，y23x

3、，其中x為銷售量(單位：噸)，若該公司在這兩地共銷售10噸農(nóng)產(chǎn)品，則能獲得的最大利潤為_萬元【解析】設(shè)在甲地銷售農(nóng)產(chǎn)品x噸，則在乙地銷售農(nóng)產(chǎn)品10 x噸，由題意可得利潤y5x eq f(1,4) x23(10 x) eq f(1,4) x22x30 eq f(1,4) (x4)234，所以當(dāng)x4時，獲得最大利潤y34萬元答案：342用長度為24 m的材料圍一矩形場地，中間加兩道隔墻，要使矩形的面積最大，則隔墻的長度為_m.【解析】設(shè)隔墻長度為x m，場地面積為S m2，則Sx eq f(244x,2) 12x2x22(x3)218.所以當(dāng)x3時，S有最大值18 m2.答案：3關(guān)于實際問題的最值

4、問題(1)實際問題中的最值問題往往與一元二次函數(shù)的最值相關(guān)，用配方法或公式求最值；(2)要注意實際問題中變量的實際意義，如本例中的自變量x為正實數(shù)學(xué)習(xí)任務(wù)二利用單調(diào)性求最值(邏輯推理)【典例】已知函數(shù)f(x) eq f(2x,x1) ，x2，9.求函數(shù)f(x)的最大值和最小值【解析】f(x) eq f(2x,x1) 2 eq f(2,x1) ，變形設(shè)x1，x22，9，且x1x2，取值則f(x1)f(x2)(2 eq f(2,x11) )(2 eq f(2,x21) )2 eq f(x2x1,（x11）（x21）) ，作差又由2x1x29，則x110，x210，x2x10，定號則f(x1)f(x

5、2)0，則函數(shù)f(x)在2，9上為減函數(shù)，結(jié)論則f(x)在2，9上最大值為f(2)4，最小值為f(9) eq f(9,4) .求值利用單調(diào)性求函數(shù)的最大(小)值的一般步驟(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性；(2)利用單調(diào)性求出最大(小)值(2022福州高一檢測)已知函數(shù)f(x) eq f(2x1,x1) ，x3，5.求f(x)的最大值和最小值【解析】設(shè)x1，x23，5，且x1x2，則f(x1)f(x2) eq f(2x11,x11) eq f(2x21,x21) eq f(3（x1x2）,（x11）（x21）) .因為3x1x25，所以x1x20，x110，x210，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1

6、)f(x2)，所以函數(shù)f(x)在3，5上為增函數(shù)函數(shù)f(x)的最小值為f(x)minf(3) eq f(231,31) eq f(5,4) ，函數(shù)f(x)的最大值為f(x)maxf(5) eq f(251,51) eq f(3,2) .【補(bǔ)償訓(xùn)練】設(shè)函數(shù)f(x)2 eq f(3,x) .求函數(shù)f(x)在區(qū)間2，5上的最大值與最小值【解析】設(shè)x1，x22，5，且x1x2，則f(x1)f(x2)(2 eq f(3,x1) )(2 eq f(3,x2) ) eq f(3,x2) eq f(3,x1) eq f(3（x1x2）,x1x2) .因為2x1x25，所以x1x20，x1x20，所以f(x1)

7、f(x2)0，即f(x1)f(x2)，所以函數(shù)f(x)在2，5上為增函數(shù)所以f(x)maxf(5) eq f(7,5) ，f(x)minf(2) eq f(1,2) .學(xué)習(xí)任務(wù)三一元二次函數(shù)的最值(數(shù)學(xué)運算)角度1不含參數(shù)的最值問題【金榜原創(chuàng)易錯變變通】(1)函數(shù)f(x)x24x6，x0，5的值域為_【解析】f(x)x24x6(x2)210，因為對稱軸x20，所以函數(shù)f(x)在0，5上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x0時，f(x)取得最小值為6；所以當(dāng)x5時，f(x)取得最大值為39.所以值域為6，39.答案：6，39(2)函數(shù)f(x)x24x6，x0，5的值域為_【解析】函數(shù)f(x)x24x6(x2)22

8、，因為對稱軸x20，5，所以當(dāng)x2時，f(x)取得最大值為(22)222；當(dāng)x5時，f(x)取得最小值為(52)2211，所以函數(shù)f(x)的值域是11，2.答案：11，2題(1)中拋物線開口向上，對稱軸在區(qū)間左側(cè)，因此函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)；(2)中拋物線開口向下，對稱軸在區(qū)間內(nèi)，因此函數(shù)在對稱軸處取最大值，在5處取最小值角度2含參數(shù)的最值問題已知a2，bR，f(x)x22bx1，xa，2.(1)當(dāng)b0時，求函數(shù)yf(x)的最小值；(2)當(dāng)a0時，求函數(shù)yf(x)的最大值【解析】(1)當(dāng)b0時，f(x)x21，xa，2，若a0，f(x)min1，若0a2，f(x)mina21；(2)當(dāng)a0時，f

9、(x)x22bx1，x0，2，其對稱軸方程為xb，若b1，f(x)maxf(2)54b；若b1時，f(x)maxf(0)1.含參數(shù)的一元二次函數(shù)的最值(1)當(dāng)開口向上、對稱軸為xm，區(qū)間為a，b最小值：f(x)min eq blc(avs4alco1(f（a），ma,f（m），amb,f（b），mb) 最大值：f(x)max eq blc(avs4alco1(f（a），mf(ab,2),f（b），mf(ab,2) (2)當(dāng)開口向下時，類似方法進(jìn)行討論，其實質(zhì)是討論對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系(3)一般地，當(dāng)拋物線開口向上時，自變量離對稱軸越遠(yuǎn)，函數(shù)值越大；當(dāng)拋物線開口向下時，自變量離對稱軸越遠(yuǎn)，函數(shù)

10、值越小1已知函數(shù)f(x)x24xa，x0，1，若f(x)有最小值2，則f(x)的最大值為_【解析】函數(shù)f(x)x24xa(x2)24a，x0，1，且函數(shù)有最小值2.故當(dāng)x0時，函數(shù)有最小值，當(dāng)x1時，函數(shù)有最大值因為當(dāng)x0時，f(0)a2，所以f(x)x24x2，所以當(dāng)x1時，f(x)maxf(1)124121.答案：12已知函數(shù)f(x)ax22bx1，x1，3(a，bR且a，b為常數(shù)).(1)若a1，求f(x)的最大值；(2)若a0，b1，且f(x)的最小值為4，求a的值【解析】(1)當(dāng)a1時，f(x)x22bx1，x1，3，函數(shù)的對稱軸為：xb，當(dāng)b2即b2時，f(x)maxf(1)2b2，當(dāng)b2即b2時，f(x)maxf(3)6b10，綜上，f(x)max eq blc(avs4alco1(2b2，b2,6b10，b2) ；(2)當(dāng)a0，b1時，f(x)ax22x1，x1，3，函數(shù)的對稱軸為x eq f(1,a) 0，當(dāng) eq f(1,a) 1，即a1時，f(x)minf(1)a14，解得a3，不合題意舍去，當(dāng) eq f(1,a) 3，