1、32函數模型及其應用32.1幾類不同增長的函數模型1函數yax的增減性_2函數ylogax的增減性_3yxn在x0時的增減性為_0a1時，f(x)是增函數0a1時，f(x)是增函數n0時，函數是增函數，n1)，ylogax(a1)和yxn(n0)都是 但 不同，且不在同一個“檔次上(2)隨著x的增大，yax(a1)增長速度 ，會超過并遠遠大于yxn(n0)的增長速度，而ylogax(a1)的增長速度 (3)存在一個x0，當xx0時，有 _增函數增長速度越來越快越來越慢logaxxnx0時，數量會增加得特別快，足以表達“爆炸的效果第五頁，編輯于星期五：十點 三十六分。一報攤主從報社買進報紙的價格

2、是每份0.2元，賣出的價格是每份0.3元，賣不掉的報紙還可以每份0.08元的價格退回報社在一個月里(以30天計算)，有20天每天可賣出400份，其余10天每天只能賣出250份但每天從報社買進的份數必須相同他應該每天從報社買進多少份報紙，才能使每天所獲利潤最大？并計算他一個月最多可賺得多少錢？【思路點撥】由題目可獲取以下主要信息：建立月純利潤函數f(x)，總利潤銷售利潤退報方損額求f(x)的最大值解答此題首先要建立函數模型，再歸結為函數的最值問題第六頁，編輯于星期五：十點 三十六分。【解析】設每天從報社買進報紙x份(250 x400，xN*)，那么f(x)(0.30.2)(20 x10250)(

3、0.20.08)10(x250)0.8x550.f(x)在250,400內是增函數，當x400時，f(x)maxf(400)870.答：攤主每天從報社買進400份報紙時，每月獲利最大，最大值為870元第七頁，編輯于星期五：十點 三十六分。此題實際上是一次函數模型，注意分析問題要抓住本質，將實際問題合理地轉化為函數問題某游樂場每天的盈利額y(單位：元)與售出的門票數x(單位：張)之間的函數關系如以下圖，其中200元為普通顧客的心理價位的上線，超過此上線普通顧客人數將下降，試分析圖象，解決以下問題：第八頁，編輯于星期五：十點 三十六分。(1)求y=f(x)的函數關系式；(2)要使該游樂場每天的盈利

4、額超過1 000元，那么每天至少應售出多少張門票？第九頁，編輯于星期五：十點 三十六分。按復利計算利潤的一種儲蓄，本金為a元，每期利率為r，設本利和為y，存期為x，寫出本利和y隨存期x變化的函數式如果存入本金1 000元，每期利率2.25%，試計算5期后的本利和是多少？【思路點撥】寫出函數關系式代入x5求解第十頁，編輯于星期五：十點 三十六分。【解析】本金為a元1期后的本利和為y1aara(1r)；2期后的本利和為y2a(1r)a(1r)ra(1r)2；3期后的本利和為y3a(1r)3；x期后的本利和為ya(1r)x，將a1 000(元)，r2.25%，x5代入上式得y1 000(12.25%

5、)51 0001.022 55.由計算器算得y1 117.68(元)答：復利函數式為ya(1r)x,5期后的本利和為1 117.68元第十一頁，編輯于星期五：十點 三十六分。指數函數的應用是高考的一個重點內容，常與增長率相結合進行考查在實際問題中，有關人口增長、銀行利率、細胞分裂等增長問題可以用指數函數模型表示，通常可以表示為yN(1p)x(其中N為原來的根底數，p為增長率，x為時間)的形式另外，指數方程常利用對數進行計算，指數、對數在很多問題中可轉化應用第十二頁，編輯于星期五：十點 三十六分。2.本例中，條件“復利改為“單利計算，(注：單利是指當年的本金轉為下一年初的本金)，寫出本利和y隨存

6、期x變化的函數式，如果存入本金1 000元，每期利率2.25%，試計算5期后的本利和是多少元？【解析】yaarxa(1rx)將a1 000元，r2.25%，x5代入上式得y1 000(12.25%5)1 112.5(元)答：單利函數式為ya(1rx)5期后的本利和為1 112.5元第十三頁，編輯于星期五：十點 三十六分。燕子每年秋天都要從北方飛向南方過冬，研究燕子的科學家發現，兩歲燕子的飛行速度可以表示為函數v5 log2Q/10，單位是m/s，其中Q表示燕子的耗氧量(1)計算：燕子靜止時的耗氧量是多少個單位？(2)當一只燕子的耗氧量是80個單位時，它的飛行速度是多少？第十四頁，編輯于星期五：

7、十點 三十六分。【解析】(1)由題意知，當燕子靜止時，它的速度為0，代入題目所給公式可得05log2Q/10，解得Q10，即燕子靜止時的耗氧量為10個單位(2)將耗氧量Q80代入公式得v5log280/105log2815(m/s)，即當一只燕子耗氧量為80個單位時，速度為15 m/s.第十五頁，編輯于星期五：十點 三十六分。(1)此題以我們身邊的問題給出一對數函數的模型，它告訴我們數學的應用無處不在，學數學并非是純理論的研究(2)解答這類給出對數函數模型的應用題的關鍵在于：透徹地理解題意，靈活地運用對數以及對數函數的有關知識解決問題即可解題時還應注意對數與指數相互轉化，取長補短，使問題順利地

8、解決第十六頁，編輯于星期五：十點 三十六分。3.1995年我國人口總數為12億，如果人口的自然年增長率控制在1.25%，問經過多少年我國人口總數將到達或接近14億？16億？18億？(精確到0.1)第十七頁，編輯于星期五：十點 三十六分。將x14,16,18分別代入解析式，得y12.4,23.2,32.6.可見，分別經過12.4,23.2,32.6年后，人口總數到達或接近14,16,18億第十八頁，編輯于星期五：十點 三十六分。1函數模型的選擇和建立(1)根據實際問題提供的兩個變量的數量關系可構建和選擇正確的函數模型同時，要注意利用函數圖象的直觀性，作出散點圖，來確定適合題意的函數模型(2)建立

9、數學模型的三關事理關：通過閱讀、理解，明白問題講什么，熟悉實際背景，為解題翻開突破口；文理關：將實際問題的文字語言轉化為數學的符號語言，用數學式子表達數學關系；數理關：在構建數學模型的過程中，對已有的數學知識進行檢索，從而認定或構建相應的數學問題第十九頁，編輯于星期五：十點 三十六分。某工廠轉換機制，兩年內生產的月增長率都是a，那么這兩年內第二年某月的產值比第一年相應月的增長率是多少？第二十頁，編輯于星期五：十點 三十六分。【錯因】對增長率問題的公式yN(1P)x未能理解透徹而造成指數寫錯，或者是由于審題不縝密而造成題意的理解錯誤假設某月的產值是b，那么此月第x月后的產值是b(1a)x，指數x是基數所在時間后所跨過的時間間隔數【正解】不妨設去年2月份的產值是b，那么3月份的產值是b(a1)，4月份的產值是b(1a)2，以此類推，到今年2月份是去年2月份后的第12個月，即一個時