1、流體力學(xué)的不可壓縮流體的連續(xù)性微分方程2022/8/15Donghua University2 當(dāng)把流體的流動看作是連續(xù)介質(zhì)的流動，它必然遵守質(zhì)量守恒定律。對于一定的控制體，必須滿足式（322）。它表示在控制體內(nèi)由于流體密度變化所引起的流體質(zhì)量隨時間的變化率等于單位時間內(nèi)通過控制體的流體質(zhì)量的凈通量。 首先推導(dǎo)在笛卡兒坐標(biāo)系中微分形式的連續(xù)性方程。 圖7-1 微元六面體 2022/8/15Donghua University3即當(dāng)流場速度同時滿足： 時流動無旋。 需要指出的是，有旋流動和無旋流動僅由流體微團(tuán)本身是否發(fā)生旋轉(zhuǎn)來決定，而與流體微團(tuán)本身的運(yùn)動軌跡無關(guān)。 如圖7-5（a），流體微團(tuán)的運(yùn)

2、動為旋轉(zhuǎn)的圓周運(yùn)動，其微團(tuán)自身不旋轉(zhuǎn)，流場為無旋流動；圖7-5（b）流體微團(tuán)的運(yùn)動盡管為直線運(yùn)動，但流體微團(tuán)在運(yùn)動過程中自身在旋轉(zhuǎn)，所以，該流動為有旋流動。（a） （b） 圖7-5 流體微團(tuán)運(yùn)動軌跡 2022/8/15Donghua University4【例】 某一流動速度場為 ， ，其中 是不為零的常數(shù)，流線是平行于 軸的直線。試判別該流動是有旋流動還是無旋流動。 【解】 由于 所以該流動是有旋運(yùn)動。 2022/8/15Donghua University5 設(shè)該微元六面體中心點(diǎn)O（x, y, z）上流體質(zhì)點(diǎn)的速度為 、 、 ， 密度為 ，于是和 軸垂直的兩個平面上的質(zhì)量流量如圖所示。 在

3、 方向上，單位時間通過EFGH面流入的流體質(zhì)量為： （a） 單位時間通過ABCD面流出的流體質(zhì)量 ：（b） 則在 方向單位時間內(nèi)通過微元體表面的凈通量為（b）-（a），即 （c1） 2022/8/15Donghua University6同理可得 和 方向單位時間通過微元體表面的凈通量分別為: （c2） （c3） 因此，單位時間流過微元體控制面的總凈通量為: （c） 微元六面體內(nèi)由于密度隨時間的變化而引起的質(zhì)量的變化率為： （d） 2022/8/15Donghua University7 將式（c），（d）代入式（7-1），取 0，則可得到流場中任一點(diǎn)的連續(xù)性方程的一般表達(dá)式為: 或（7-1）

4、 （7-1a） 連續(xù)性方程表示了單位時間內(nèi)控制體內(nèi)流體質(zhì)量的增量等于流體在控制體表面上的凈通量。它適用于理想流體和粘性流體、定常流動和非定常流動。 在定常流動中，由于 （7-2） 對于不可壓縮流體（ =常數(shù)） （7-3） 或（7-3a） 2022/8/15Donghua University8在其它正交坐標(biāo)系中流場中任一點(diǎn)的連續(xù)性方程和柱坐標(biāo)系中的表示式為 ： (7-4) 對于不可壓縮流體 (7-4a) 式中 為極徑； 為極角。 球坐標(biāo)系中的表示式為: (7-5) （7-5a） 式中 為徑矩； 為緯度； 為徑度。 2022/8/15Donghua University9【例7-1】已知不可壓縮

5、流體運(yùn)動速度 在 ， 兩個軸方向的分量為 ， 。且在 處，有 。試求 軸方向的速度分量 。 【解】對不可壓縮流體連續(xù)性方程為：將已知條件代入上式，有 又由已知條件對任何 ， ，當(dāng) 時， 。故有 2022/8/15Donghua University10粘性流體的內(nèi)應(yīng)力 粘性流體在運(yùn)動時，表面力不僅有法向應(yīng)力，還有切向應(yīng)力。流場內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)力狀況，都可以通過該點(diǎn)的三個相互垂直的作用面上的九個應(yīng)力分量表示。以應(yīng)力表示的運(yùn)動微分方程理想流體運(yùn)動微分方程式是研究流體運(yùn)動學(xué)的重要理論基礎(chǔ)。可以用牛頓第二定律加以推導(dǎo)。在流場中取一平行六面體，如圖76所示。其邊長分別為dx，dy，dz，中心點(diǎn)為A(x,y,

6、z) 。中心點(diǎn)的壓強(qiáng)為p=p(x,y,z)，密度為=(x,y,z) 。因?yàn)檠芯康膶ο鬄槔硐肓黧w，作用于六個面上的表面力只有壓力，作用于微元體上的單位質(zhì)量力 沿三個坐標(biāo)軸的分量分別為 。 2022/8/15Donghua University11圖76 理想流體運(yùn)動微分方程用圖 2022/8/15Donghua University12 微元體在質(zhì)量力和表面力的作用下產(chǎn)生的加速度 ，根據(jù)牛頓第二定律 ：兩端同除以微元體的質(zhì)量 ,并整理有： (7-12) 寫成矢量式： (7-13) 2022/8/15Donghua University13將加速度的表達(dá)式代入（712）有： （714） 其矢量式為 ：（715） 公式（714）為理想流體運(yùn)動微分方程式，物理上表示了作用在單位質(zhì)量流體上的質(zhì)量力、表面力和慣性力相平衡。該式推導(dǎo)過程中對流體的壓縮性沒加限制，故可適用于理想的可壓流體和不可壓縮流體，適用于有旋流動和無旋流動。 2022/8/15Donghua University14 將（714）作