1、 共點力平衡中的三力平衡問題的教學設計【學習目標】1進一步理解共點力作用下物體的平衡條件。2掌握求解三力平衡問題的常用方法：三力平衡原理和正交分解法。【學習重點】三力平衡原理和正交分解法的理解和掌握。【學習難點】三力平衡原理幾種數學方法的掌握。【學習導航】1平衡狀態是指物體處于_靜止_狀態或_勻速直線運動_狀態。2動力學特征是：合力F合=_0_，加速度a = _0_，速度v _=_0或 v_ _0。【導學過程】一三力平衡問題的特點1物體受三個力作用平衡時，其中任意兩個力的合力必跟第三個力是一對_平衡_力，且大小_相等_，方向_相反_。2三力匯交原理：如果一個物體受三個不平行外力的作用而平衡，這

2、三個力的作用線必在同一_平面_上，而且必定_交于一點_。例如用雙線法確定細木棒的重心等。二三力平衡問題的求解方法1 三個力中，有兩個力互相垂直，第三個力角度（方向）已知。 例1(2011廣東高考)如圖所示的水平面上，橡皮繩一端固定，另一端連接兩根彈簧，連接點P 在 F1、F2和 F3三力作用下保持靜止。下列判斷正確的是()AF1F2F3 BF3F1F2 CF2F3F1 DF3F2F1解析：由于三力平衡，三力首尾相連構建封閉三角形，如圖所示，由三角形的邊角關系“大角對應大邊”可知， B項正確。2 三個力互相不垂直，但夾角（方向）已知考試說明中規定力的合成與分解的計算只限于兩力之間能構成直角的情形

3、。三個力互相不垂直時，無論是用合成法還是分解法，三力組成的三角形都不是直角三角形，造成求解困難。因而這種類型問題的解題障礙就在于怎樣確定研究方法上。解決的辦法是采用正交分解法，將三個不同方向的力分解到兩個互相垂直的方向上，再利用平衡條件求解。例2.如圖所示，用輕繩吊一個重為G的小球，施加力F使小球平衡時與豎直方向成角，求力F最小值。解析：根據受力分析情況可知，重力大小方向都確定，繩子的拉力大小不知，但方向一定沿繩方向，所以我們可以利用定點到定線垂線段最短知識，從G的末端向繩子延長線做垂線，垂線段即為力F的最小值，其值為Gsin。3 三個力互相不垂直，且夾角（方向）未知 三力方向未知時，無論是用

4、合成法還是分解法，都找不到合力與分力之間的定量聯系，因而單從受力分析圖去求解這類問題是很難找到答案的。要求解這類問題，必須變換數學分析的角度，從我們熟悉的三角函數法變換到空間幾何關系上去考慮，因而這種問題的障礙點是如何正確選取數學分析的方法。 解決這種類型的問題的對策是：首先利用合成法或分解法作出三力之間的平行四邊形關系和三角形關系，再根據力的三角形尋找與之相似的空間三角形，利用三角形的相似比求解。例3輕繩OA與輕桿OB的A、B端固定在墻上，O點下懸掛一個質量為10kg的物體。ABO=90，AOB =30，當物體靜止時，求：（1）OA繩對O點的拉力？（2）OB桿對O點的作用力？（g=10m/s

5、2）.解法一：正交分解法。見圖，由共點力平衡條件，在x軸上：T cos30=FN y軸上：Tsin30=mg .解兩式得：T =2mg = 200N，FN = mgctg 30 = 100/3(N)解法二：利用“任意兩個力的合力跟第三力等值反向”作圖求解，如圖所示。作圖：反思延長重力作用線，取R = mg，以R為對角線，T和FN為鄰邊完成平行四邊形。平行四邊形由兩個直角三角形組成，從圖可知： T = R/sin30= 2R =2mg, FN =R ctg30=Rmgctg30。解法三：由正弦定理的變形得：，sin150=sin(18030) = sin30, sin120 = sin(1806

6、0) = sin60 = cos30, T = 2 mg, FN = mgctg30.物體在三個共點力作用下平衡，已知條件中涉及的是邊長問題，則由力組成的矢量三角形和由邊長組成的幾何三角形相似，利用相似比可以迅速的解力的問題。4 三力的動態平衡問題 在有關物體平衡的問題中，有一類涉及動態平衡。這類問題中的一部分力是變力，是動態力，力的大小和方向均要發生變化，故這是力平衡問題中的一類難題。解決這類問題的一般思路是：把“動”化為“靜”，“靜”中求“動”。根據現行高考要求，物體受到往往是三個共點力問題，利用三力平衡特點討論動態平衡問題是力學中一個重點和難點，許多同學因不能掌握其規律往往無從下手，許多

7、參考書的討論常忽略幾中情況。方法一：三角形圖解法。特點：三角形圖象法則適用于物體所受的三個力中，有一力的大小、方向均不變（通常為重力，也可能是其它力），另一個力的方向不變，大小變化，第三個力則大小、方向均發生變化的問題。方法：先正確分析物體所受的三個力，將三個力的矢量首尾相連構成閉合三角形。然后將方向不變的力的矢量延長，根據物體所受三個力中二個力變化而又維持平衡關系時，這個閉合三角形總是存在，只不過形狀發生改變而已，比較這些不同形狀的矢量三角形，各力的大小及變化就一目了然了。例4 如圖所示，一個重力G的勻質球放在光滑斜面上，斜面傾角為，在斜面上有一光滑的不計厚度的木板擋住球，使之處于靜止狀態。

8、今使板與斜面的夾角緩慢增大，問：在此過程中，擋板和斜面對球的壓力大小如何變化？F1GF2解析：取球為研究對象，如圖所示，球受重力G、斜面支持力F1、擋板支持力F2。因為球始終處于平衡狀態，故三個力的合力始終為零，將三個力矢量構成封閉的三角形。F1的方向不變，但方向不變，始終與斜面垂直。F2的大小、方向均改變，隨著擋板逆時針轉動時，F2的方向也逆時針轉動，動態矢量三角形圖1-3中一畫出的一系列虛線表示變化的F2。由此可知，F2先減小后增大，F1隨增大而始終減小。F同種類型：如圖所示，小球被輕質細繩系著，斜吊著放在光滑斜面上，小球質量為m，斜面傾角為，向右緩慢推動斜面，直到細線與斜面平行，在這個過

9、程中，繩上張力、斜面對小球的支持力的變化情況？（答案：繩上張力減小，斜面對小球的支持力增大）方法二：相似三角形法。特點：相似三角形法適用于物體所受的三個力中，一個力大小、方向不變，其它二個力的方向均發生變化，且三個力中沒有二力保持垂直關系，但可以找到力構成的矢量三角形相似的幾何三角形的問題AFBO原理：先正確分析物體的受力，畫出受力分析圖，將三個力的矢量首尾相連構成閉合三角形，再尋找與力的三角形相似的幾何三角形，利用相似三角形的性質，建立比例關系，把力的大小變化問題轉化為幾何三角形邊長的大小變化問題進行討論。AFBOGFNFLlH例5一輕桿BO，其O端用光滑鉸鏈固定在豎直輕桿AO上，B端掛一重

10、物，且系一細繩，細繩跨過桿頂A處的光滑小滑輪，用力F拉住，如左圖所示。現將細繩緩慢往左拉，使桿BO與桿AO間的夾角逐漸減少，則在此過程中，拉力F及桿BO所受壓力FN的大小變化情況是( )AFN先減小，后增大 B.FN始終不變CF先減小，后增大 D.F始終不變解析：取BO桿的B端為研究對象，受到繩子拉力(大小為F)、BO桿的支持力FN和懸掛重物的繩子的拉力(大小為G)的作用，將FN與G合成，其合力與F等值反向，如右圖所示，將三個力矢量構成封閉的三角形(如圖中畫斜線部分)，力的三角形與幾何三角形OBA相似，利用相似三角形對應邊成比例可得：(如右圖所示，設AO高為H，BO長為L，繩長l,)，式中G、

11、H、L均不變，l逐漸變小，所以可知FN不變，F逐漸變小。正確答案為選項B同種類型：如圖所示，光滑的半球形物體固定在水平地面上，球心正上方有一光滑的小滑輪，輕繩的一端系一小球，靠放在半球上的A點，另一端繞過定滑輪，后用力拉住，使小球靜止現緩慢地拉繩，在使小球沿球面由A到半球的頂點B的過程中，半球對小球的支持力N和繩對小球的拉力T的大小變化情況是( D )。ACBO(A)N變大，T變小，(B)N變小，T變大(C)N變小，T先變小后變大(D)N不變，T變小方法三：作輔助圓法特點：作輔助圓法適用的問題類型可分為兩種情況：物體所受的三個力中，開始時兩個力的夾角為90，且其中一個力大小、方向不變，另兩個力

12、大小、方向都在改變，但動態平衡時兩個力的夾角不變。物體所受的三個力中，開始時兩個力的夾角為90，且其中一個力大小、方向不變，動態平衡時一個力大小不變、方向改變，另一個力大小、方向都改變，原理：先正確分析物體的受力，畫出受力分析圖，將三個力的矢量首尾相連構成閉合三角形，第一種情況以不變的力為弦作個圓，在輔助的圓中可容易畫出兩力夾角不變的力的矢量三角形，從而輕易判斷各力的變化情況。第二種情況以大小不變，方向變化的力為直徑作一個輔助圓，在輔助的圓中可容易畫出一個力大小不變、方向改變的的力的矢量三角形，從而輕易判斷各力的變化情況。例6.如左圖所示，物體G用兩根繩子懸掛，開始時繩OA水平，現將兩繩同時順

13、時針轉過90，且保持兩繩之間的夾角不變，物體保持靜止狀態，在旋轉過程中，設繩OA的拉力為F1，繩OB的拉力為F2，則（ ）。(A)F1先減小后增大(B)F1先增大后減小 (C)F2逐漸減小(D)F2最終變為零解析：取繩子結點O為研究對角，受到三根繩的拉力，如中圖所示分別為F1、F2、F3，將三力構成矢量三角形(如右圖所示的實線三角形CDE)，需滿足力F3大小、方向不變，角 CDE不變(因為角不變)，由于角DCE為直角，則三力的幾何關系可以從以DE邊為直徑的圓中找，則動態矢量三角形如右圖中一畫出的一系列虛線表示的三角形。由此可知，F1先增大后減小，F2隨始終減小，且轉過90時，當好為零。正確答案

14、選項為B、C、D另一種類型：如圖所示，在做“驗證力的平行四邊形定則”的實驗時，用M、N兩個測力計通過細線拉橡皮條的結點，使其到達O點，此時+= 90然后保持M的讀數不變，而使角減小，為保持結點位置不變，可采用的辦法是（ A ）。(A)減小N的讀數同時減小角 (B)減小N的讀數同時增大角(C)增大N的讀數同時增大角 (D)增大N的讀數同時減小角方法四：解析法特點：解析法適用的類型為一根繩掛著光滑滑輪，三個力中其中兩個力是繩的拉力，由于是同一根繩的拉力，兩個拉力相等，另一個力大小、方向不變的問題。原理：先正確分析物體的受力，畫出受力分析圖，設一個角度，利用三力平衡得到拉力的解析方程式，然后作輔助線

15、延長繩子一端交于題中的界面，找到所設角度的三角函數關系。當受力動態變化是，抓住繩長不變，研究三角函數的變化，可清晰得到力的變化關系。例7如左一圖所示，在水平天花板與豎直墻壁間，通過不計質量的柔軟繩子和光滑的輕小滑輪懸掛重物G=40N，繩長L=2.5m，OA=1.5m，求繩中張力的大小，并討論：（1）當B點位置固定，A端緩慢左移時，繩中張力如何變化？（2）當A點位置固定，B端緩慢下移時，繩中張力又如何變化？ABCGDF1F2F3OABCGOABCGDF1F2F3OCBABCGDF1F2F3OAD解析：取繩子c點為研究對角，受到三根繩的拉力，如左二圖所示分別為F1、F2、F3，延長繩AO交豎直墻于

16、D點，由于是同一根輕繩，可得：，BC長度等于CD，AD長度等于繩長。設角OAD為；根據三個力平衡可得： ；在三角形AOD中可知，。如果A端左移，AD變為如右二圖中虛線AD所示，可知AD不變，OD減小，減小，F1變大。如果B端下移，BC變為如右一圖虛線BC所示，可知AD、OD不變，不變，F1不變。同種類型：如圖所示，長度為5cm的細繩的兩端分別系于豎立地面上相距為4m的兩桿的頂端A、B，繩子上掛有一個光滑的輕質鉤，其下端連著一個重12N的物體，平衡時繩中的張力多大？反思：在三力平衡問題中，如果題中的已知條件有幾個邊長的數據或字母，可能要利用相似三角形的性質列式求解。如果已知的是角度，一般不會利用相似三角形的性質求解，多數可化為直角三角形或棱形的對角線公式求解。如果減小繩長L，拉力T也隨之減小，在小球緩慢移動到大球頂點C之前，大