1、8.3 列聯(lián)表與獨立性檢驗 前面兩節(jié)所討論的變量 , 如人的身高、樹的胸徑、樹的高度、短跑100m世界紀錄和創(chuàng)紀錄的時間等, 都是數(shù)值變量, 數(shù)值變量的取值為實數(shù). 其大小和運算都有實際含義. 在現(xiàn)實生活中 , 人們經(jīng)常需要回答一定范圍內(nèi)的兩種現(xiàn)象或性質(zhì)之間是否存在關(guān)聯(lián)性或相互影響的問題. 例如 ,就讀不同學校是否對學生的成績有影響 , 不同班級學生用于體育鍛煉的時間是否有差別 , 吸煙是否會增加患肺癌的風險 , 等等 , 本節(jié)將要學習的獨立性檢驗方法為我們提供了解決這類問題的方案. 在討論上述問題時 , 為了表述方便 , 我們經(jīng)常會使用一種特殊的隨機變量 , 以區(qū)別不同的現(xiàn)象或性質(zhì) , 這類

2、隨機變量稱為分類變量. 分類變量的取值可以用實數(shù)表示 , 例如, 學生所在的班級可以用1, 2, 3等表示 , 男性、女性可以用1 , 0表示 , 等等. 在很多時候 , 這些數(shù)值只作為編號使用, 并沒有通常的大小和運算意義 , 本節(jié)我們主要討論取值于0 , 1的分類變量的關(guān)聯(lián)性問題.8.3.1 分類變量與列聯(lián)表 如何利用統(tǒng)計數(shù)據(jù)判斷一對分類變量之間是否具有關(guān)聯(lián)性呢? 對于這樣的統(tǒng)計問題 , 有時可以利用普查數(shù)據(jù) , 通過比較相關(guān)的比率給出問題的準確回答 , 但在大多數(shù)情況下, 需要借助概率的觀點和方法, 我們先看下面的具體問題. 問題 為了有針對性地提高學生體育鍛煉的積極性, 某中學需要了解

3、性別因素是否對本校學生體育鍛煉的經(jīng)常性有影響 , 為此對學生是否經(jīng)常鍛煉的情況進行了普查 , 全校學生的普查數(shù)據(jù)如下: 523名女生中有 331 名經(jīng)常鍛煉 ; 601名男生中有 473 名經(jīng)常鍛煉 . 你能利用這些數(shù)據(jù) , 說明該校女生和男生在體育鍛煉的經(jīng)常性方面是否存在差異嗎? 問題 普查數(shù)據(jù)如下: 523名女生中有 331 名經(jīng)常鍛煉 ; 601名男生中有 473 名經(jīng)常鍛煉 . 該校女生和男生在體育鍛煉的經(jīng)常性方面是否存在差異嗎? 這是一個簡單的統(tǒng)計問題 , 最直接的解答方法是 , 比較經(jīng)常鍛煉的學生在女生和男生中的比率, 為了方便, 我們設(shè) 那么 , 只要求出f0和f1的值 , 通過

4、比較這兩個值的大小,就可以知道女生和男生在鍛煉的經(jīng)常性方面是否有差異, 由所給的數(shù)據(jù), 經(jīng)計算得到 上面的問題還可以通過建立一個古典概型, 使用條件概率的語言，給出另外一種解答方法. 用表示該校全體學生構(gòu)成的集合 , 這是我們所關(guān)心的對象的總體 . 考慮以為樣本空間的古典概型 , 并定義一對分類變量X和Y如下: 對于中的每一名學生, 分別令 我們希望通過比較條件概率P(Y=1|X=0)和P(Y=1|X=1)回答上面的問題. 我們希望通過比較條件概率P(Y=1|X=0)和P(Y=1|X=1)回答上面的問題. 按照條件概率的直觀解釋, 如果從該校女生和男生中各隨機選取一名學生, 那么該女生屬于經(jīng)常

5、鍛煉群體的概率是P(Y=1|X=0), 而該男生屬于經(jīng)常鍛煉群體的概率是P(Y=1|X=1). 因此，“性別對體育鍛煉的經(jīng)常性有影響”可以描述為“性別對體育鍛煉的經(jīng)常性沒有影響”可以描述為P(Y=1|X=0)=P(Y=1|X=1);P(Y=1|X=0)P(Y=1|X=1).為了清楚起見, 我們用表格整理數(shù)據(jù)性別鍛煉合計不經(jīng)常(Y=0)經(jīng)常(Y=1)女生(X=0)192331523男生(X=1)128473601合計3208041124 我們用X=0, Y=1表示事件X=0和Y=1的積事件, 用X=1, Y=1表示事件X=1和Y=1的積事件, 根據(jù)古典概型和條件概率的計算公式, 我們有 由P(Y

6、=1|X=1)P(Y=1|X=0)可以作出判斷 , 在該校的學生中, 性別對體育鍛煉的經(jīng)常性有影響 , 即該校的女生和男生在體育鍛煉的經(jīng)常性方面存在差異, 且男生更經(jīng)常鍛煉. 在實踐中 , 由于保存原始數(shù)據(jù)的成本較高 , 人們經(jīng)常按研究問題的需要, 將數(shù)據(jù)分類統(tǒng)計, 并做成表格加以保存, 我們將上表這種形式的數(shù)據(jù)統(tǒng)計表稱為22列聯(lián)表. 22列聯(lián)表給出了成對分類變量數(shù)據(jù)的交叉分類頻數(shù).以上表為例, 它包含了X和Y的如下信息: 最后一行的前兩個數(shù)分別是事件Y=0和Y=1中樣本點的個數(shù); 最后一列的前兩個數(shù)分別是事件 X=0和 X=1中樣本點的個數(shù) ; 中間的四個格中的數(shù)是表格的核心部分, 給出了事

7、件X=x, Y=y(x, y=0, 1)中樣本點的個數(shù); 右下角格中的數(shù)是樣本空間中樣本點的總數(shù). 在上面問題的兩種解答中，使用了學校全部學生的調(diào)查數(shù)據(jù)，利用這些數(shù)據(jù)能夠完全確定解答問題所需的比率和條件概率 . 然而，對于大多數(shù)實際問題，我們無法獲得所關(guān)心的全部對象的數(shù)據(jù)，因此無法準確計算出有關(guān)的比率或條件概率 . 在這種情況下，上述古典概型和條件概率的觀點為我們提供了一個解決問題的思路 . 比較簡單的做法是利用隨機抽樣獲得一定數(shù)量的樣本數(shù)據(jù)，再利用隨機事件發(fā)生的頻率穩(wěn)定于概率的原理對問題答案作出推斷. 例1 為比較甲、乙兩所學校學生的數(shù)學水平, 采用簡單隨機抽樣的方法抽取88名學生 . 通過

8、測驗得到了如下數(shù)據(jù):甲校43名學生中有10名數(shù)學成績優(yōu)秀；乙校45名學生中有7名數(shù)學成績優(yōu)秀. 試分析兩校學生中數(shù)學成績優(yōu)秀率之間是否存在差異. 解：用表示兩所學校的全體學生構(gòu)成的集合. 考慮以為樣本空間的古典概型 . 對于中每一名學生，定義分類變量X和Y如下：我們將所給數(shù)據(jù)整理成下表(單位：人).我們將所給數(shù)據(jù)整理成下表(單位：人).學校數(shù)學成績合計不優(yōu)秀(Y=0)優(yōu)秀(Y=1)甲校(X=0)331043乙校(X=1)38745合計711788 上表是關(guān)于分類變量X和Y的抽樣數(shù)據(jù)的22列聯(lián)表: 最后一行的前兩個數(shù)分別是事件Y=0和Y=1 的頻數(shù) ; 最后一列的前兩個數(shù)分別是事件X=0和X=1

9、的頻數(shù) ; 中間的四個格中的數(shù)是事件X=x, Y=y(x, y=0, 1)的頻數(shù); 右下角格中的數(shù)是樣本的容量. 甲校學生中數(shù)學成績不優(yōu)秀和數(shù)學成績優(yōu)秀的頻率分別為乙校學生中數(shù)學成績不優(yōu)秀和數(shù)學成績優(yōu)秀的頻率分別為 我們可以用等高堆積條形圖直觀地展示上述計算結(jié)果,如下圖所示. 左邊的藍色和紅色條的高度分別是甲校學生中數(shù)學成績不優(yōu)秀和數(shù)學成績優(yōu)秀的頻率; 右邊的藍色和紅色條的高度分別是乙校學生中數(shù)學成績不優(yōu)秀和數(shù)學成績優(yōu)秀的頻率. 通過比較發(fā)現(xiàn)，兩個學校學生抽樣數(shù)據(jù)中數(shù)學成績優(yōu)秀的頻率存在差異，甲校的頻率明顯高于乙校的頻率. 依據(jù)頻率穩(wěn)定于概率的原理，我們可以推斷P(Y=1|X=0)P(Y=1|X=1) . 也就是說，如果從甲校和乙校各隨機選取一名學生，那么甲校學生數(shù)學成績優(yōu)秀的概率大于乙校學生數(shù)學成績優(yōu)秀的概率，因此，可以認為兩校學生的數(shù)學成績優(yōu)秀率存在差異，甲校學生的數(shù)學成績優(yōu)秀率比乙校學生的高. 思考? 你認為“兩校學生的數(shù)學成績優(yōu)秀率存在差異”這一結(jié)論是否有可能是錯誤的？ 事實上，“兩校學生的數(shù)學成績優(yōu)秀率存在差異”