1、數值分析Numerical Analysis第二章代 數 插 值鄭州大學碩士研究生課程（2015-2016學年第一學期） 2/168鄭州大學2015-2016學年碩士研究生課程 數值分析 Numerical Analysis第二章 代 數 插 值 2.1 代數插值問題 問題提出2.2 代數插值多項式的存在唯一性 可解性2.3 拉格朗日插值方法 解決方法和理論分析 2.4 牛頓(Newton)插值 算法實現 2.5 分段線性插值 2.6 Hermite插值2.7 樣條插值計算機數值算法設計思路3/168鄭州大學2015-2016學年碩士研究生課程 數值分析 Numerical Analysisy

2、= f (x)y=p (x)例2.1.1 設計某工件的外形，要求其輪廓線是光滑的，且必須過n+1個互異的點(xi,yi)(i=0,1,n). 輪廓線應如何設計呢？2.1 代數插值問題的提出4/168鄭州大學2015-2016學年碩士研究生課程 數值分析 Numerical Analysis解： 滿足要求的輪廓線不妨取為n次多項式Pn(x). 設這里 Pn(x)是光滑的，且它滿足將(2.1)帶入(2.2)可得下面線性代數方程組2.1 代數插值問題的提出5/168鄭州大學2015-2016學年碩士研究生課程 數值分析 Numerical Analysis則(2.3)的系數行列式為范德蒙德行列式因x

3、ixj（ij），故V0. 從而方程組(2.3)的解存在唯一.求出未知量a0,an代入(2.1)即得所求輪廓線. 2.1 代數插值問題6/168鄭州大學2015-2016學年碩士研究生課程 數值分析 Numerical Analysis代數插值問題： 設函數 y=f (x)定義在區間a, b上，而x0, x1, xn是在a, b上取定的n+1個互異節點, 則在這些點處的函數值為 yi=f (xi), i=0,1,n. 求一個次數不超過 n 的多項式Pn(x)，使它滿足則稱Pn(x)為f (x)的n次代數插值多項式. 求滿足以上條件多項式Pn(x)的問題叫做代數插值問題. 稱 x0,x1,xn 為

4、插值節點， a, b為插值區間，（）為插值條件.2.1 代數插值問題的提出7/168鄭州大學2015-2016學年碩士研究生課程 數值分析 Numerical Analysis代數插值問題是否可解？2.2 代數插值多項式的存在唯一性8/168鄭州大學2015-2016學年碩士研究生課程 數值分析 Numerical Analysis多項式局部近似以直代曲以簡代繁多項式整體近似以直代曲2.2 代數插值多項式的存在唯一性9/168鄭州大學2015-2016學年碩士研究生課程 數值分析 Numerical Analysis定理2.2.1 n次代數插值問題的解是存在且惟一的.證： 因為 x0, x1,

5、 xn 是在a, b上取定的n+1個互異節點,由例中分析過程可知，代數方程組的解存在唯一，從而滿足插值條件(2.5)的n次代數插值多項式Pn(x)也是存在唯一的.2.2 代數插值多項式的存在唯一性10/168鄭州大學2015-2016學年碩士研究生課程 數值分析 Numerical Analysis目標：設計計算量小、實現簡單的計算機算法，根據輸入的n+1個點生產n次代數插值多項式.約瑟夫.路易斯.拉格朗日（17351813） 評價：采用例中的待定系數法求n次代數插值多項式不符合目標.拉格朗日提出直接構造多項式的方法.2.3 代數插值多項式的存在唯一性11/168鄭州大學2015-2016學年

6、碩士研究生課程 數值分析 Numerical Analysis線性插值（n=1)給定兩個互異點(x0，y0)，(x1，y1），確定一次插值多項式P1(x)的問題，稱為線性插值問題.稱(2.6)為一次拉格朗日插值多項式或線性插值多項式.2.3 拉格朗日插值方法12/168鄭州大學2015-2016學年碩士研究生課程 數值分析 Numerical Analysis線性插值（n=1)引入記號則它們滿足則 分別稱為節點x0 ,x1的插值標準基函數. 線性插值多項式可表示為函數值 y0, y1 與插值基函數的線性組合 2.3 拉格朗日插值方法13/168鄭州大學2015-2016學年碩士研究生課程 數值

7、分析 Numerical Analysis線性插值（n=1)2.3 拉格朗日插值方法插值標準基函數14/168鄭州大學2015-2016學年碩士研究生課程 數值分析 Numerical Analysis拋物插值（n=2)給定3個互異點(xi，yi)(0=0,1,2)，確定一個不超過2次的插值多項式P2(x)的問題，稱為二次插值問題.受線性插值多項式的啟發，猜想可通過如下方式構造P2(x)構造2次插值基函數li(x)(i=0,1,2),滿足li(xj)=ij(i,j=0,1,2).構造2次插值多項式P2(x)=y0l0(x)+y1l1(x)+y2l2(x).2.3 拉格朗日插值方法15/168鄭

8、州大學2015-2016學年碩士研究生課程 數值分析 Numerical Analysis線性插值（n=1)2.3 拉格朗日插值方法插值標準基函數16/168鄭州大學2015-2016學年碩士研究生課程 數值分析 Numerical Analysis拋物插值（n=2)因為 是 的兩個零點，于是 再由另一條件 確定系數 從而導出 類似可得2.3 拉格朗日插值方法17/168鄭州大學2015-2016學年碩士研究生課程 數值分析 Numerical Analysis拋物插值（n=2)則 稱為二次插值基函數. 取 為線性組合系數,將基函數 線性組合可得 容易看出,P2(x)滿足條件 因其圖形為拋物線

9、，二次插值又稱為拋物插值.2.3 拉格朗日插值方法18/168鄭州大學2015-2016學年碩士研究生課程 數值分析 Numerical Analysisx0 x1x22.3 拉格朗日插值方法19/168鄭州大學2015-2016學年碩士研究生課程 數值分析 Numerical Analysisn次插值由拋物插值中構造性方法啟發，解決一般的n次代數插值問題.分別構造x0 , x1, , xn 上的 n 次插值基函數 l0(x), l1(x), , ln(x),滿足 節點基函數x0 x1x2xnl0(x)1000l1(x)0100l2(x)0010ln(x)0001n次插值基函數2.3 拉格朗日

10、插值方法20/168鄭州大學2015-2016學年碩士研究生課程 數值分析 Numerical AnalysisN次插值由上表， x1 , x2, , xn 為 l0(x) 的零點，設由l0(x0)=1，得2.3 拉格朗日插值方法21/168鄭州大學2015-2016學年碩士研究生課程 數值分析 Numerical AnalysisN次插值類似可得節點 xi 對應的n次插值基函數從而可得n次代數插值多項式顯然Pn(x)是次數不超過n的多項式，且Pn(xi)=yi(i=0,1,n)2.3 拉格朗日插值方法22/168鄭州大學2015-2016學年碩士研究生課程 數值分析 Numerical An

11、alysisN次插值拉格朗日(Lagrange)插值方法總結根據問題特征，構造對應每個節點的插值 基函數，是解決問題的關鍵.其數學思想是以直代曲，以簡代繁，是高 等數學思想方法的延伸.直接構造n次插值多項式的方法過程簡單， 容易在計算機上實現.2.3 拉格朗日插值方法23/168鄭州大學2015-2016學年碩士研究生課程 數值分析 Numerical Analysis插值函數Pn(x)在n+1個互異插值節點xi(i=0,1,n )處與f(xi)相等,在不等于xi的點x處就用Pn(x)的值作為f(x) 的近似值，這一過程稱為插值，點x稱為插值點. 誤差函數Rn(x)=f(x)- Pn(x)稱為

12、插值余項, 區間a, b稱為插值區間, 插值點x在插值區間內時稱為內插, 否則稱外插. (插值誤差屬于截斷誤差)y= f (x)y=pn (x)y= Rn(x)2.3 拉格朗日插值方法24/168鄭州大學2015-2016學年碩士研究生課程 數值分析 Numerical Analysis線性插值誤差定理 設f(x)在a, b上一階導數連續，且存在二階導數, x0, x1為a, b上兩個互異的節點, P1(x)為滿足 P1(xi) = f(xi) (i=0,1)的線性插值多項式，則對于任何x a, b , 至少存在一點 a, b，使得2.3 拉格朗日插值方法25/168鄭州大學2015-2016

13、學年碩士研究生課程 數值分析 Numerical Analysis證明： 顯然x0, x1 為R1(x)的兩個零點，可設R1(x)為 R1(x) = k(x)(x-x0)(x-x1).固定x，作輔助函數，令則 (xi )=0, i =0,1,且 (x)=0, 即 (t )有3個零點 x0, x1, x. 不妨設x0 x x1 , 分別在x0，x和x，x1上應用洛爾定理可知 (t)在每個區間上至少存在一個零點1和2，使 (1)=0， (2)=0，即 (t)有2個零點. 再次利用洛爾定理知， (t)在1, 2上至少有一個零點，使 ()=0. 則由 (t) = f (t) -2!k(x)以及 ()=

14、0可得 k(x) = f () /2!，從而定理得證. 2.3 拉格朗日插值方法26/168鄭州大學2015-2016學年碩士研究生課程 數值分析 Numerical Analysis插值誤差定理定理 設f(x)在a, b上n階導數連續，且存在n+1階導數, x0, x1 , xn為a, b上n+1個互異的節點, Pn(x)為滿足 Pn(xi) = f(xi) (i=0,1,n)的n次插值多項式，則對于任何x a, b , 至少存在一點 a, b，使得2.3 拉格朗日插值方法27/168鄭州大學2015-2016學年碩士研究生課程 數值分析 Numerical Analysis例 給定sin1

15、1=0.190809,sin12=0.207912, 求y=sinx的線性插值多項式，計算sin1130并估計誤差.解: x0= 11, x1= 12, y0= 0.190809, y1， sin1130P1(11.5)=0.199361,由定理知，誤差為2.3 拉格朗日插值方法28/168鄭州大學2015-2016學年碩士研究生課程 數值分析 Numerical Analysis例 已知f (x)的觀測數據 x 0 1 2 4 f (x) 1 9 23 3 利用這些節點構造f(x)的Lagrange插值多項式.解: 構造三次Lagrange插值多項式的插值基函數 2.3 拉格朗日插值方法29

16、/168鄭州大學2015-2016學年碩士研究生課程 數值分析 Numerical Analysis從而，三次Lagrange插值多項式為 2.3 拉格朗日插值方法30/168鄭州大學2015-2016學年碩士研究生課程 數值分析 Numerical Analysis拉格朗日插值算法 31/168鄭州大學2015-2016學年碩士研究生課程 數值分析 Numerical Analysisn 次拉格朗日插值的算法描述.輸入節點數 n、插值點(xi, yi) (i=0,1,2, ,n)和要計算的函數點 x。.設初值 y = 0,k = 0;.實現基函數 lk(x)和插值多項式 Pn(x) for

17、k=0,1, , n t=1; for i=0, 1, , k1, k+1, , n t=t*(xxi)/(xkxi); y=y+t*yk; .輸出 點x處的函數值y.2.3 拉格朗日插值方法32/168鄭州大學2015-2016學年碩士研究生課程 數值分析 Numerical Analysisfunction v=polyinterpV2(x,y,u)m=length(u); n=length(x);v=zeros(size(u);for i=1:m v(i)=0; for k=1:n t=1; for j=1:k-1 k+1:n t=t*(u(i)-x(j)/(x(k)-x(j); end

18、 v(i)=v(i)+w*y(k); endend2.3 拉格朗日插值方法x=0:3;y=-5 -6 -1 16;u=-0.25:0.01:3.25;v=polyinterpV2(x,y,u);33/168鄭州大學2015-2016學年碩士研究生課程 數值分析 Numerical Analysis2.3 拉格朗日插值方法x=0:0.12:1;y=(x.2-3*x+5).*exp(-5*x).*sin(x);plot(x,y,o,x,y)x1=0:0.02:1;y0=(x1.2-3*x1+5).*exp(-5*x1).*sin(x1);y1=interp1(x,y,x1); %線性插值y2=in

19、terp1(x,y,x1,cubic); %三次艾米特插值y3=interp1(x,y,x1,spline); %三次樣條插值y4=interp1(x,y,x1,nearest); %最鄰近插值plot(x1,y1 y2 y3 y4,:,x,y,o,x1,y0)legend(linear,cubic,spline,nearest, 樣本點,原函數)34/168鄭州大學2015-2016學年碩士研究生課程 數值分析 Numerical Analysis例 取節點x0=0,x1=1,對函數y=e-x 建立線性插值多項式.解: 構造插值基函數為 可得線性插值多項式函數y=e-x滿足定理2的條件，則對

20、任意x總存在一點 0，1，使得2.3 拉格朗日插值方法35/168鄭州大學2015-2016學年碩士研究生課程 數值分析 Numerical Analysis例 取節點x0=0,x1, x2=1，對函數 y=e-x 建立拋物插值多項式.解: 構造插值基函數為 可得二次插值多項式2.3 拉格朗日插值方法36/168鄭州大學2015-2016學年碩士研究生課程 數值分析 Numerical Analysis函數y=e-x滿足定理3的條件，則對任意x總存在一點 0，1，使得拋物插值誤差相對線性插值誤差減小了一個數量級！2.3 拉格朗日插值方法37/168鄭州大學2015-2016學年碩士研究生課程

21、數值分析 Numerical Analysis2.3 拉格朗日插值方法滿足余項估計式(2.14)的使用條件知道被插值函數后驗誤差估計38/168鄭州大學2015-2016學年碩士研究生課程 數值分析 Numerical Analysis2.3 拉格朗日插值方法當 與 比較接近，且 連續且變化不大時，可以認為： 后驗誤差估計39/168鄭州大學2015-2016學年碩士研究生課程 數值分析 Numerical Analysis2.3 拉格朗日插值方法則有整理得稱為插值余項的事后估計式.后驗誤差估計40/168鄭州大學2015-2016學年碩士研究生課程 數值分析 Numerical Analys

22、is2.3 拉格朗日插值方法例試用線性插值法計算 的值，并用事后估計式估計誤差。解:用結點 作線性插值，經計算得 再用結點 作線性插值，經計算得 后驗誤差估計41/168鄭州大學2015-2016學年碩士研究生課程 數值分析 Numerical Analysis由事后估計式得將誤差估計值加到 中去，可得修正后的近似值2.3 拉格朗日插值方法后驗誤差估計42/168鄭州大學2015-2016學年碩士研究生課程 數值分析 Numerical Analysis它作為精確值 的近似值具有四位有效數字，而 只有三位有效數字。注：利用后驗誤差改進計算結果的技術稱為超收斂技術，在數值計算計算中效果良好。2.

23、3 拉格朗日插值方法后驗誤差估計43/168鄭州大學2015-2016學年碩士研究生課程 數值分析 Numerical Analysis2.4 牛頓插值Lagrange插值多項式的插值基函數形式復雜,計算量大,且重復計算很多！并且，當增加一個節點時，所有基函數需要重新計算。由線性空間的知識,任何一個n次多項式都可表示成共n+1個多項式的線性組合.可否將這n+1個多項式作為插值基函數呢？答案是肯定的。44/168鄭州大學2015-2016學年碩士研究生課程 數值分析 Numerical Analysis2.4 牛頓插值設插值多項式P(x)具有如下形式Newton插值公式45/168鄭州大學201

24、5-2016學年碩士研究生課程 數值分析 Numerical Analysis2.4 牛頓插值則由插值條件可知P(x)滿足再繼續下去，待定系數的形式將更復雜。46/168鄭州大學2015-2016學年碩士研究生課程 數值分析 Numerical Analysis2.4 牛頓插值差商的定義和性質定義2.4.1.稱是f(x)關于點x0,x1的一階差商。是f(x)關于點x0,x1,x2的二階差商。設函數 f(x)在互異的節點xi處有定義，47/168鄭州大學2015-2016學年碩士研究生課程 數值分析 Numerical Analysis2.4 牛頓插值差商的定義和性質一般地，k階差商 定義為：f

25、(x)關于點xi的0階差商。48/168鄭州大學2015-2016學年碩士研究生課程 數值分析 Numerical Analysis2.4 牛頓插值差商的定義和性質性質1 k階差商 可表成節點上函數值 的線性組合，即 上式可用歸納法證明。例如,k =2時有 49/168鄭州大學2015-2016學年碩士研究生課程 數值分析 Numerical Analysis2.4 牛頓插值差商的定義和性質性質2 各階差商具有對稱性, 即改變差商中節點的次序不會改變差商的值。設 為 的任一排列, 則此性質的證明由性質(1)可得。例如50/168鄭州大學2015-2016學年碩士研究生課程 數值分析 Numer

26、ical Analysis2.4 牛頓插值差商的定義和性質性質3 若f(x)為n次多項式，則一階差商 為n-1次多項式。 由定義令 ,則分子為0, 說明分子中含有因子 ,與分母約去公因子可得n-1次多項式。51/168鄭州大學2015-2016學年碩士研究生課程 數值分析 Numerical Analysis2.4 牛頓插值差商的定義和性質性質4 若f(x)在區間a,b上存在n+1階導數， ,固定 , 則n+1階差商與導數之間存在如下關系：52/168鄭州大學2015-2016學年碩士研究生課程 數值分析 Numerical Analysis2.4 牛頓插值差商的計算53/168鄭州大學201

27、5-2016學年碩士研究生課程 數值分析 Numerical Analysis2.4 牛頓插值k xk f (xk) 一階差商 二階差商 三階差商 n 階差商0 x0 f (x0)1 x1 f (x1) f x0, x12 x2 f (x2) f x1, x2 f x0, x1, x23 x3 f (x3) f x2, x3 f x1, x2, x3 f x0, x1, x2, x3 n xn f (xn) f xn 1, xn f xn 2, xn 1, xn f xn 3, xn f x0, x1, , xnN階差商表54/168鄭州大學2015-2016學年碩士研究生課程 數值分析 Nu

28、merical Analysis2.4 牛頓插值差商的計算例2.4.1 設 f (x)經過點(2, 17), (0, 1), (1, 2), (2, 19)求 f (x)關于節點-2,0,1,2的三階差商。k xk f (xk) 一階差商 二階差商 三階差商0 2 171 0 1 82 1 2 1 33 2 19 17 8 5/4解：列出差商表則， f -2,0=-8, f -2,0,1=3, f -2,0,1,2=5/4.55/168鄭州大學2015-2016學年碩士研究生課程 數值分析 Numerical Analysis2.4 牛頓插值線性插值給定兩個插值點(x0, f (x0), (x

29、1, f (x1), x0 x1, 設 P1(x) = a0 + a1(x x0) 直線的點斜式代入插值點得， 線性Newton插值公式由插值的唯一性知，P1(x)與 Lagrange插值多項式為同一多項式，只是表達形式不同而已。56/168鄭州大學2015-2016學年碩士研究生課程 數值分析 Numerical Analysis2.4 牛頓插值二次插值 給定三個互異插值點(xi, f (xi), i =0,1,2, 設 代入插值條件： P2(xi) = f (xi), i =0,1,2, 得57/168鄭州大學2015-2016學年碩士研究生課程 數值分析 Numerical Analys

30、is2.4 牛頓插值二次插值二次Newton插值公式為58/168鄭州大學2015-2016學年碩士研究生課程 數值分析 Numerical Analysis2.4 牛頓插值n次插值給定n+1個插值點(xi, f(xi), i = 0, 1, 2, n, xi互異，類似地，由二階至 n 階差商的定義得上述所有n +1個等式相加，得59/168鄭州大學2015-2016學年碩士研究生課程 數值分析 Numerical Analysis2.4 牛頓插值n次插值n次Newton插值公式其中Pn(x)為n次Newton插值公式60/168鄭州大學2015-2016學年碩士研究生課程 數值分析 Nume

31、rical Analysis2.4 牛頓插值n次插值n次Newton插值公式的插值誤差為容易驗證，Newton插值滿足插值條件： Pn(xi) = f (xi), i = 0, 1, 2, n.61/168鄭州大學2015-2016學年碩士研究生課程 數值分析 Numerical Analysis2.4 牛頓插值n次插值關于Lagrange插值和Newton插值的幾點說明 1.由插值的唯一性,兩種方法的Pn(x)相同.因此，它們的誤差也相同,即當f (x)Cn+1a, b時，有故得差商的性質462/168鄭州大學2015-2016學年碩士研究生課程 數值分析 Numerical Analysi

32、s2.4 牛頓插值n次插值 2.牛頓插值的誤差不要求函數的高階導數存在，所以更具有一般性。它對 f(x)是由離散點給出的函數情形或 f(x)的導數不存在的情形均適用。 3.Newton插值具有承襲性質，即 4.Newton插值公式的計算量 乘：1+2+ (n1)+ n = n(n+1)/2 除：n + (n1)+ 2+1 = n(n+1)/263/168鄭州大學2015-2016學年碩士研究生課程 數值分析 Numerical Analysis2.4 牛頓插值n次插值 5.引入記號: w0(x) = 1, w1(x) = x x0, w2(x) = (x x0)(x x1), , wn(x)

33、= (x x0)(x x1) (x xn1)，于是n次Newton插值公式可表為稱 w0(x), w1(x), w2(x), , wn(x) 為Newton插值的基函數64/168鄭州大學2015-2016學年碩士研究生課程 數值分析 Numerical Analysis2.4 牛頓插值n次插值 且滿足如下關系 wi(x) = wi1(x)(x xi1), i =1,2, n； wi(xj) = 0， j k g(j)=(g(j)-g(j-1)/(x(j)-x(j-k) j=j-1; endend for i=1:m v(i)=y(1); w=1; for k=2:n w=w*(u(i)-x(

34、k-1); v(i)=v(i)+w*g(k); endend74/168鄭州大學2015-2016學年碩士研究生課程 數值分析 Numerical Analysis2.4 牛頓插值n次插值75/168鄭州大學2015-2016學年碩士研究生課程 數值分析 Numerical Analysis2.5 分段線性插值從插值余項的表達式看到，插值多項式和被插值函數逼近的程度與插值節點的數目、位置和a,b長度均有關例2.5.0 設函數f(x)在閉區間a,b上連續，在(a,b)內具有二階導數，如果當x在(a,b)時，有f”(x)|=x(j) & (u(i)x(j+1) k=j; end end s=u(i

35、)-x(k); v(i)=y(k)+s*delta(k);end93/168鄭州大學2015-2016學年碩士研究生課程 數值分析 Numerical Analysis2.6 Hermite插值拉格朗日插值和牛頓插值 插值函數與被插值函數在節點上的函數值相等Hermite插值 插值函數與被插值函數在節點上的函數值相等。 插值函數與被插值函數在節點上的某階導數值相等。 插值多項式具有更好的光滑性，夠使插值函數近似程度更好。 94/168鄭州大學2015-2016學年碩士研究生課程 數值分析 Numerical Analysis2.6 Hermite插值 設 f (x)具有一階連續導數，已知節點x

36、i上的函數值和導數值，即 (xi, f (xi), (xi, f (xi), i = 0, 1, 2, , n, 若存在 2n+1次多項式 H2n+1(x) 滿足 則稱 H2n+1(x) 為 f (x) 關于節點xi (i = 0,1,2,n)的Hermite插值多項式。 記 f (xi) = yi, f (xi) = mi, i = 0,1,2,n .問題描述95/168鄭州大學2015-2016學年碩士研究生課程 數值分析 Numerical Analysis2.6 Hermite插值 給定 f (xi) = yi , f (xi) = mi , i = 0, 1. 設 代入插值條件: H

37、3(xi) = f (xi), H3(xi) = f (xi), i =0,1. 得其解存在唯一, 解 出 a0, a1, a2, a3, 代入即得 H3(x).三次Hermite插值96/168鄭州大學2015-2016學年碩士研究生課程 數值分析 Numerical Analysis2.6 Hermite插值問題: 如何構造節點插值基函數？分析基函數取值：三次Hermite插值 因為每個節點對應兩個插值條件，因此每個節點對應兩個插值基函數。 節點x0上對應的兩個基函數分別為h0(x),g0(x)， 節點x1上對應的兩個基函數分別為h1(x),g1(x)，97/168鄭州大學2015-201

38、6學年碩士研究生課程 數值分析 Numerical Analysis2.6 Hermite插值三次Hermite插值函數的的形式三次Hermite插值98/168鄭州大學2015-2016學年碩士研究生課程 數值分析 Numerical Analysis2.6 Hermite插值三次Hermite插值表99/168鄭州大學2015-2016學年碩士研究生課程 數值分析 Numerical Analysis2.6 Hermite插值三次Hermite插值四個插值基函數的性質100/168鄭州大學2015-2016學年碩士研究生課程 數值分析 Numerical Analysis2.6 Hermi

39、te插值三次Hermite插值101/168鄭州大學2015-2016學年碩士研究生課程 數值分析 Numerical Analysis2.6 Hermite插值三次Hermite插值102/168鄭州大學2015-2016學年碩士研究生課程 數值分析 Numerical Analysis2.6 Hermite插值三次Hermite插值103/168鄭州大學2015-2016學年碩士研究生課程 數值分析 Numerical Analysis2.6 Hermite插值三次Hermite插值104/168鄭州大學2015-2016學年碩士研究生課程 數值分析 Numerical Analysis2

40、.6 Hermite插值例三次Hermite插值105/168鄭州大學2015-2016學年碩士研究生課程 數值分析 Numerical Analysis2.6 Hermite插值三次Hermite插值直接計算基函數可得106/168鄭州大學2015-2016學年碩士研究生課程 數值分析 Numerical Analysis2.6 Hermite插值三次Hermite插值于是有由此得到而 ，107/168鄭州大學2015-2016學年碩士研究生課程 數值分析 Numerical Analysis2.6 Hermite插值三次Hermite插值function v=hermite3(x,y,m,

41、u)k=length(u);v=zeros(size(u);h=0 0;g=0 0;for i=1:k v(i)=0; h(1)=(1-2*(u(i)-x(1)/(x(1)-x(2)*(u(i)-x(2)/(x(1)-x(2)2; h(2)=(1-2*(u(i)-x(2)/(x(2)-x(1)*(u(i)-x(1)/(x(2)-x(1)2; g(1)=(u(i)-x(1)*(u(i)-x(2)/(x(1)-x(2)2; g(2)=(u(i)-x(2)*(u(i)-x(1)/(x(2)-x(1)2; v(i)=v(i)+y(1)*h(1)+y(2)*h(2)+m(1)*g(1)+m(2)*g(2

42、);end108/168鄭州大學2015-2016學年碩士研究生課程 數值分析 Numerical Analysis2.6 Hermite插值三次Hermite插值三次Hermite插值誤差定理定理109/168鄭州大學2015-2016學年碩士研究生課程 數值分析 Numerical Analysis2.6 Hermite插值三次Hermite插值例110/168鄭州大學2015-2016學年碩士研究生課程 數值分析 Numerical Analysis2.6 Hermite插值三次Hermite插值111/168鄭州大學2015-2016學年碩士研究生課程 數值分析 Numerical A

43、nalysis2.6 Hermite插值三次Hermite插值112/168鄭州大學2015-2016學年碩士研究生課程 數值分析 Numerical Analysis2.6 Hermite插值分段三次Hermite插值分段插值的優點能有效的克服榮格現象。容易構造每個插值節點上的插值基函數。 構造的算法容易在計算機上實現。113/168鄭州大學2015-2016學年碩士研究生課程 數值分析 Numerical Analysis2.6 Hermite插值分段三次Hermite插值114/168鄭州大學2015-2016學年碩士研究生課程 數值分析 Numerical Analysis2.6 He

44、rmite插值將n重節點看成n個獨立的點，按Newton插值公式直接寫出Newton法構造Hermite插值將n重節點的差商：由差商與導數之間的關系因此，可以通過構造差商表直接寫出。例：115/168鄭州大學2015-2016學年碩士研究生課程 數值分析 Numerical Analysis2.6 Hermite插值分段三次Hermite插值116/168鄭州大學2015-2016學年碩士研究生課程 數值分析 Numerical Analysis2.6 Hermite插值分段三次Hermite插值構造插值基函數的思路 117/168鄭州大學2015-2016學年碩士研究生課程 數值分析 Num

45、erical Analysis2.6 Hermite插值分段三次Hermite插值構造插值基函數的思路 118/168鄭州大學2015-2016學年碩士研究生課程 數值分析 Numerical Analysis2.6 Hermite插值分段三次Hermite插值119/168鄭州大學2015-2016學年碩士研究生課程 數值分析 Numerical Analysis2.6 Hermite插值分段三次Hermite插值120/168鄭州大學2015-2016學年碩士研究生課程 數值分析 Numerical Analysis2.6 Hermite插值分段三次Hermite插值121/168鄭州大學

46、2015-2016學年碩士研究生課程 數值分析 Numerical Analysis2.6 Hermite插值分段三次Hermite插值分段三次Hermit插值函數的形式是122/168鄭州大學2015-2016學年碩士研究生課程 數值分析 Numerical Analysis2.6 Hermite插值分段三次Hermite插值誤差定理定理123/168鄭州大學2015-2016學年碩士研究生課程 數值分析 Numerical Analysis2.6 Hermite插值分段三次Hermite插值124/168鄭州大學2015-2016學年碩士研究生課程 數值分析 Numerical Analy

47、sis2.6 Hermite插值分段三次Hermite插值125/168鄭州大學2015-2016學年碩士研究生課程 數值分析 Numerical Analysis分段低次插值的收斂性2.6 Hermite插值分段三次Hermite插值126/168鄭州大學2015-2016學年碩士研究生課程 數值分析 Numerical Analysis2.6 Hermite插值分段三次Hermite插值127/168鄭州大學2015-2016學年碩士研究生課程 數值分析 Numerical Analysis2.6 Hermite插值分段三次Hermite插值function v=piecehermite3

48、(x,y,m,u)k=length(u);v=zeros(size(u);t=length(x);piece=(k-1)/(t-1);partv=zeros(piece+1);for i=1:t-1 partx=x(i) x(i+1); party=y(i) y(i+1); partm=m(i) m(i+1); partu=x(i):(x(i+1)-x(i)/piece:x(i+1); partv=hermite3(partx,party,partm,partu); v(i-1)*piece+1:i*piece+1)=partv;end128/168鄭州大學2015-2016學年碩士研究生課程

49、 數值分析 Numerical Analysis 上面介紹的分段低次插值，雖然具有計算簡便，收斂性有保證，數值穩定性又好且易在計算機上實現等優點，但它卻不能保證整條曲線的光滑性，從而不能滿足某些工程技術上的要求。從六十年代開始，首先由于航空、造船等工程設計的需要而發展起來的樣條插值(spline)方法，既保留了分段低次插值的各種優點，又提高了插值函數的光滑性，在許多領域有越來越廣泛的應用。2.7 樣條插值函數 129/168鄭州大學2015-2016學年碩士研究生課程 數值分析 Numerical Analysis2.7 樣條插值函數 分段線性插值構造了一個整體連續的函數；分段三次Hermit

50、e插值構造了一個整體上具有一階連續導數的函數。 實際問題中，給出插值節點上的函數值比較方便，而給出插值節點上的導數值會比較困難。? 能否在只給出節點函數值的情況下，構造一個整體上光滑性比較好的插值函數呢？ 樣條插值130/168鄭州大學2015-2016學年碩士研究生課程 數值分析 Numerical Analysis2.7 樣條插值函數 樣條這一名稱來自于工程實踐活動 樣條插值131/168鄭州大學2015-2016學年碩士研究生課程 數值分析 Numerical Analysis2.7 樣條插值函數 樣條插值132/168鄭州大學2015-2016學年碩士研究生課程 數值分析 Numeri

51、cal Analysis2.7 樣條插值函數 樣條插值定義133/168鄭州大學2015-2016學年碩士研究生課程 數值分析 Numerical Analysis2.7 樣條插值函數 樣條插值定義134/168鄭州大學2015-2016學年碩士研究生課程 數值分析 Numerical Analysis2.樣條插值條件分析2.7 樣條插值函數 135/168鄭州大學2015-2016學年碩士研究生課程 數值分析 Numerical Analysis2.7 樣條插值函數 樣條插值136/168鄭州大學2015-2016學年碩士研究生課程 數值分析 Numerical Analysis2.7 樣條

52、插值函數 樣條插值條件137/168鄭州大學2015-2016學年碩士研究生課程 數值分析 Numerical Analysis2.7 樣條插值函數 樣條插值條件138/168鄭州大學2015-2016學年碩士研究生課程 數值分析 Numerical Analysis2.7 樣條插值函數 樣條插值條件139/168鄭州大學2015-2016學年碩士研究生課程 數值分析 Numerical Analysis2.7 樣條插值函數 樣條插值140/168鄭州大學2015-2016學年碩士研究生課程 數值分析 Numerical Analysis2.7 樣條插值函數 三彎矩插值法141/168鄭州大學

53、2015-2016學年碩士研究生課程 數值分析 Numerical Analysis2.7 樣條插值函數 三彎矩插值法142/168鄭州大學2015-2016學年碩士研究生課程 數值分析 Numerical Analysis2.7 樣條插值函數 三彎矩插值法143/168鄭州大學2015-2016學年碩士研究生課程 數值分析 Numerical Analysis三彎矩插值法2.7 樣條插值函數 144/168鄭州大學2015-2016學年碩士研究生課程 數值分析 Numerical Analysis三彎矩插值法2.7 樣條插值函數 145/168鄭州大學2015-2016學年碩士研究生課程 數

54、值分析 Numerical Analysis三彎矩插值法2.7 樣條插值函數 146/168鄭州大學2015-2016學年碩士研究生課程 數值分析 Numerical Analysis三彎矩插值法2.7 樣條插值函數 147/168鄭州大學2015-2016學年碩士研究生課程 數值分析 Numerical Analysis（2）構造三彎矩方程三彎矩插值法2.7 樣條插值函數 148/168鄭州大學2015-2016學年碩士研究生課程 數值分析 Numerical Analysis三彎矩插值法2.7 樣條插值函數 149/168鄭州大學2015-2016學年碩士研究生課程 數值分析 Numerical Analysis三彎矩插值法2.7 樣條插值函數 150/168鄭州大學2015-2016學年碩士研究生課程 數值分析 Numerical Analysis三彎矩插值法2.7 樣條插值函數 151/168鄭州大學2015-2016學年碩士研究生課程 數值分析 Numerical Analysis三彎矩插值法2.7 樣條插值函數 152/168鄭州大學2015-2016學年碩士研究生課程 數值分析 Num