1、高中數學常用公式及常用結論1. 元素與集合的關系xA xC A,U2.德摩根公式xC A xA.UC (AB)=C AC B;C (AB)=C AC B.U U U U U U3.包含關系AB = A AB = B A B C BC AU U AC B = C AB = RU U4集合a ,a ,a 的子集個數共有2n 個；真子集有2n1個；1 2 n非空子集有2n 1個；非空的真子集有2n2個.5.二次函數的解析式的三種形式(1)一般式 f(x)=ax2 +bx+c(a 0);(2)頂點式 f(x)=a(xh)2 +k(a 0);(3)零點式f(x)=a(xx )(xx )(a 0).1 2

2、6.閉區間上的二次函數的最值二次函數 f(x)=ax2 +bx+c(a 0)在閉區間p,q上的最值只能在x b= 處 2a及區間的兩端點處取得，具體如下：b b(1)當 a0 = p q f(x) = f( f(x) = f(p f(q；x , 2a 2a b若 = p q，f x = f p f q ， x , ( ) ( ( ) f(x) = f(p f(q) . 2ab(2)當 a0恒成立的充要條件是a0 b 0 c 0a0或b 4ac 02 0 f x a b0 ( ) , 上是增函數； 1 在21 2 1 2 1 2x xf(x ) f(x )(x x )f(x ) f(x )0 1

3、 2 0，則 f(x)為增函數；如果 f(x)a .a(4)冪函數 f(x)= ,f(xy)= f(x)f(y f =.16有理指數冪的運算性質(1) ar as =ar+s(a r,sQ).(2) (ar)s =a(a r,sQ).(3)(ab)r =arbr(a brQ). 注： 若 a0p是一個無理數，則 ap表示一個確定的實數上述有理指數冪的運算性質，對于無理數指數冪都適用.17.指數式與對數式的互化式loga N =b ab = N (a a N 0).18.對數的換底公式aN N= m (a 0,且a 1,m0,且m1,N 0). amn推論 b bn = (a 0,且a 1,n0

4、,且m1,n1,N 0). ma am19對數的四則運算法則若 a0，a1，M0，N0，則 (1)loga()=loga M +loga N ;M(2) = M N ;a a aN(3)loga Mn =nloga M(nR).20.等差數列的通項公式a =1 +(nd =dn+1 d(nN )；* n其前 n項和公式為n(a a ) n(n + s = =na + d1 nn 12 2 d 1= 2 + .n (a d)n12 221.等比數列的通項公式aa =1q = q (nN )；n1 1 n * nq其前 n項的和公式為 na q ) 1s 1 q= n =na ,q 11,q 12

5、2常見三角不等式（1）若x )，則sinx xtanx.2 (2) 若x )，則1bc（4）柯西不等式：(a2 +b2)(c2 +d2)(ac+bd)2,a,c,d.（5） a b a+b a + b .44.最值定理（積定和最小） 已知x,y都是正數，則有（1）若積xy是定值 p，則當x = y時和x+ y有最小值2 p ；1（2）若和x+ y是定值s，則當x = y時積xy有最大值 s2 .4推廣 已知x,yR，則有(x+ y)2 = (x y)2 +2xy（1）若積xy是定值,則當| x y|最大時,| x+ y|最大；當| x y|最小時,| x+ y|最小.（2）若和| x+ y|是

6、定值,則當| x y|最大時, | xy|最小；當| x y|最小時, | xy|最大.45.指數不等式與對數不等式 (1)當a 1時,a ( ) a ( ) f(x) g(x);f x g xf(x)0 f(x) g(x)g(x)0a a f(x) g(x) (2)當0aag(x) f(x)0 f(x) g(x)g(x)0a a 0或0或 r 相離 0; d = r 相切 =0; d 0.其中dAa+ Bb+C= .A2 + B255.橢圓x y2 22 + 2 = 0)的參數方程是a ba bx=acos =y bsin.x y2 2橢圓 2 2 0)+ = a b 焦半徑公式a ba a

7、2 2PF = e(x+ ， 2 e( x) PF = .1 cc橢圓的的內外部（1）點P(x ,y )在橢圓0 0 x y2 22 2 a b 0)+ = 的內部a bx y2 2 0 + 0 的外部a bx y2 2 + 1.a b56.雙曲線x y2 22 2 0) = a b 的焦半徑公式a ba2PF = e x+ ，1 | ( )|ca2PF = e x .2 | ( )|c雙曲線的內外部(1)點(2)點P(x ,y )在雙曲線0 0P(x ,y )在雙曲線0 0 x y x y2 2 2 22 2 0) = a b 的內部 2 2 1.0 0a b a bx y x y2 2 2

8、 22 2 a b 0) 2 2 1 = 的外部 0 0 0，焦a b a b2 2 2 2點在 x軸上， 0)焦半徑 CF = x + . 0 2 p p過焦點弦長 CD = x + + x + = x + x + p 2 1 21 2 2.58.直線與圓錐曲線相交的弦長公式AB = +k )(x x ) |x x | 1+tan | y y | 1+t 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2y = +kx b（弦端點 A( 1,y ),B(x ,y )x ，由方程消去 y得到ax2 +bx+c = 0，1 =2 2F(x,y) 0 0,為直線AB的傾斜角，k為直線的斜率）.59證明直線與直

9、線的平行的思考途徑（1）轉化為判定共面二直線無交點；（2）轉化為二直線同與第三條直線平行；（3）轉化為線面平行； （4）轉化為線面垂直； （5）轉化為面面平行.證明直線與平面的平行的思考途徑（1）轉化為直線與平面無公共點；（2）轉化為線線平行； （3）轉化為面面平行.證明平面與平面平行的思考途徑 （1）轉化為判定二平面無公共點； （2）轉化為線面平行；（3）轉化為線面垂直.證明直線與直線的垂直的思考途徑（1）轉化為相交垂直； （2）轉化為線面垂直；（3）轉化為線與另一線的射影垂直；（4）轉化為線與形成射影的斜線垂直.證明直線與平面垂直的思考途徑（1）轉化為該直線與平面內任一直線垂直；（2）轉化

10、為該直線與平面內相交二直線垂直；（3）轉化為該直線與平面的一條垂線平行；（4）轉化為該直線垂直于另一個平行平面；（5）轉化為該直線與兩個垂直平面的交線垂直.證明平面與平面的垂直的思考途徑 （1）轉化為判斷二面角是直二面角； （2）轉化為線面垂直.60.平面向量加法的平行四邊形法則向空間的推廣行六面體的以公共始點為始點的對角線所表示的向量.61.共線向量定理對空間任意兩個向量 a、b(b0 )，ab存在實數使 a=b、B三點共線 AP| AB AP =tAB =tOA+tOB.AB|CD 、CD共線且、CD不共線 AB =tCD且、CD不共線.62.共面向量定理向量 p與兩個不共線的向量 a、b

11、共面的存在實數對x,y,使 p =ax+by 推論:空間一點 P 位于平面 MAB 內的 存在有序實數對 x,y ,使 = xMA+ yMB ， 或 對 空 間 任 一 定 點 O， 有 序 實 數 對 x,y ， 使 = +xMA+ yMB.63.對空間任一點O和不共線的三點 A、B、C，滿足 = xOA+ yOB+zOC（x+ y+z =k，當k =1時，對于空間任一點O PABC四點共面；當k 1O平面 ABC PABCO平面 ABC PA、B、C四點不共面、C、D四點共面 AD與AB、AC共面 AD= xAB+ yAC =x yOA+xOB+ yOC （O平面 ABC）.64.空間向量

12、基本定理如果三個向量 abc p序實數組 x，y，z，使 pxaybzc推論 設 O、A、B、C是不共面的四點，則對空間任一點 P，都存在唯一的三個有序實數 x，y，z，使 = xOA+ yOB+zOC.65.向量的直角坐標運算設 a(a ,a ,a )，bb,b ,b )則1 2 3 1 2 3(1)ab(a +b,a +b ,a +b )；1 1 2 2 3 3(2)ab(a b,a b ,a b )；1 1 2 2 3 3(3)a(a ,a ,a ) (R)；1 2 3(4)abab +a b +a b ；1 1 2 2 3 3設 A(x ,y ,z )，B1 1 1(x ,y ,z )

13、，則2 2 2 =OA=(x x ,y y ,z z ).2 1 2 1 2 166空間的線線平行或垂直設a =(x ,y ,z )，b=(x ,y ,z )，則1 1 1 2 2 2a|b a =bb0) x =x1 2 =y y1 2 =z z1 2；a b ab=0 x x + y y +z z = .1 2 1 2 1 2 067.夾角公式設 a(a ,a ,a )，bb,b ,b )，則1 2 3 1 2 3ab +a b +a bcosa，b= 1 1 2 2 3 3a +a +a b +b +b2 2 2 2 2 21 2 3 1 2 3.推論 (ab +a b +a b )2

14、(a2 +a2 +a2b2 +b2 +b2)，此即三維柯西不等式.1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 368異面直線所成角cos | a,b |ab| = |x x + y y +z z | = r r 1 2 1 2 1 2|a| |b| x y z x y z 2 + 2 + 2 2 + 2 + 21 1 1 2 2 2（其中（0o 0，右側 f(x)0，則 ( )0 0（2）如果在 f x 是極小值.x 附近的左側 f(x)0，則 ( )0 090.復數的相等a+bi =c+di a =c,b=d.（a,b,c,dR）復數z =a+bi的模（或絕對值）|z|=|a+bi|= a2 +b2 .91.復數的四則運算法則(1)(a+bi)+(c+di)=(a+c)+b+di;(2)(a+bi)(c+di)=(ac)+bd)i;(3)(a+bi)(c+di)=(acbd)