1、2021-2022學年山東省淄博市高一下學期期末數學試題一、單選題1若復數，則的虛部是（）ABC2D1C【分析】根據復數的除法運算化簡求出，即可求出虛部.【詳解】因為，所以，虛部為2.故選：C.2已知一組數據，且若該組數據的眾數是中位數的倍，則該組數據的平均數為（）A6B6.5C7D7.5A【分析】由已知可得該組數據的眾數是，以及中位數是，利用眾數是中位數的倍列方程解出，進而可計算出該組數據的平均數【詳解】，這組數據為，則該組數據的眾數是，又該組數據的眾數是中位數的倍，則中位數是，即，解得，則該組數據的平均數為，故選：A3在中，點在邊上，且設，則（）ABCDC【分析】由題意可得出，利用平面向量

2、的減法可得出關于的表達式.【詳解】由已知可得，即，所以，.故選：C.4已知，則（）ABCDA【分析】根據同角三角函數關系，求得，再利用余弦的差角公式，即可求得結果.【詳解】由，得，則，故選：5已知，若，則（）ABC2D4A【分析】由 得 ，又 ，代入數值計算即可.【詳解】因為，所以 ，所以 ，又 .故選：A.6在空間四邊形中，分別是，的中點若，且與所成的角為，則的長為（）A1BC1或D或C【分析】連接，可得或，求解三角形即可求出.【詳解】如圖，連接，在中，因為為中點，所以，在中，因為為中點，所以，因為與所成的角為，所以或，當時，為等邊三角形，所以，當，由余弦定理可得，即，所以的長為1或.故選：

3、C.7已知函數是奇函數，為了得到函數的圖象，可把函數的圖象（）A向左平移個單位長度B向右平移個單位長度C向左平移個單位長度D向右平移個單位長度D【分析】根據是奇函數可求得，利用誘導公式得，即可得出結果.【詳解】因為是奇函數，所以，即，因為，所以，所以，因為，所以可把函數的圖象向右平移個單位長度.故選：D.8如圖，某城市有一條公路從正西方沿通過市中心后轉到北偏東的上，為了緩解城市交通壓力，現準備修建一條繞城高速公路，并在、上分別設置兩個出口、若要求市中心與的距離為千米，則線段最短為（）A千米B千米C千米D千米D【分析】過點作，垂足為點，設，且，計算得出，利用兩角差的正切公式以及基本不等式可求得的

4、最小值.【詳解】過點作，垂足為點，設，且，由題意可得，所以，因為，令，則，當且僅當時，等號成立，故（千米）.故選：D.二、多選題9某次辯論賽有7位評委進行評分，首先7位評委各給出某選手一個原始分數，評定該選手成績時從7個原始分數中去掉一個最高分、去掉一個最低分，得到5個有效評分則這5個有效評分與7個原始評分相比，數字特征可能不同的是（）A極差B中位數C平均數D方差ACD【分析】利用平均數、中位數、平均數、方差的定義進行判斷.【詳解】因為5個有效評分是7個原始評分中去掉一個最高分、去掉一個最低分，所以中位數不變，平均數、方差、極差可能發生變化.故B錯誤.故選：ACD.10下列說法正確是（）AB若

5、是復數，則C空間中垂直同一條直線的兩條直線平行D若，則BD【分析】利用平面向量數量積的定義可判斷A選項；利用復數的運算可判斷B選項；利用已知條件判斷線線位置關系，可判斷C選項；利用平面向量模的性質可判斷D選項.【詳解】對于A選項，A錯；對于B選項，設，則，所以，B對；對于C選項，空間中垂直同一條直線的兩條直線平行、相交或異面，C錯；對于D選項，若，則，則，D對.故選：BD.11已知函數，下列結論正確的是（）A是周期函數B的圖象關于原點對稱C的值域為D的單調遞減區間為，AC【分析】利用函數周期的定義可判斷A選項；利用函數的奇偶性可判斷B選項；考查函數在上的值域，可判斷C選項；求出函數的單調遞減區

6、間，可判斷D選項.【詳解】對于A選項，因為，故函數為周期函數，A對；對于B選項，為偶函數，B錯；對于C選項，由A選項可知，函數是周期函數，且周期為，不妨考慮函數在上的值域即可，當時，則，因為函數為偶函數，故函數在上的值域也為，因此，函數的值域為，C對；對于D選項，考慮函數在上單調遞減區間，當時，且，由可得，由可得，由可得，所以，函數在上的遞減區間為，遞增區間為、，由于函數為偶函數，故函數在上的減區間為、，因此，函數的單調遞減區間為、，D錯.故選：AC.12如圖，棱長為的正方體的外接球的球心為，、分別為棱、的中點，在棱上，則（）A對于任意點，平面B存在點，使得平面平面C直線被球截得的弦長為D過直

7、線的平面截球所得的截面圓面積的最小值為BC【分析】A選項，舉出反例；B選項，取為的中點時，證明平面，再結合面面垂直的判定定理可得出結論；C選項，求出球心到EF的距離，利用垂徑定理求解；D選項，結合C選項中的求解得到球心O到截面的距離，從而求出截面面積最小值.【詳解】對于A選項，當與重合時，平面，平面，此時直線與平交，A錯誤；對于B選項，因為四邊形為正方形，則，當為的中點時，則，平面，平面，則，因為，則平面，因為平面，所以，同理，因為，所以平面，即平面，平面，故平面平面，B正確；對于C選項，取的中點，為的中點，則，同理可得，則.因為平面，平面，則，所以，則，球的半徑為，所以直線的被球截得的弦長為

8、，C正確；設截面圓半徑為，球心到截面的距離為，則.因為，則，所以截面圓面積，D錯誤，故選：BC.三、填空題13已知為虛數單位若復數為純虛數，則實數_或或【分析】根據復數的類型可得出關于的等式，即可求得實數的值.【詳解】因為復數為純虛數，則，解得或.故或.14已知向量，不共線，若向量與向量共線，則的值為_.【分析】根據平面向量共線定理可設，再根據平面向量基本定理得到方程組，解得即可；【詳解】解：因為與共線，可設，即，因為，不共線，所以，所以.故15如圖，矩形是水平放置的一個平面圖形由斜二測畫法得到的直觀圖，其中，則原圖形的周長為_【分析】作出原圖形，可知原圖形為平行四邊形，計算出的長，即可得解.

9、【詳解】在直觀圖中，設線段交軸于點，如下圖所示：易知，且，則為等腰直角三角形，所以，作出原圖形如下圖所示：可知原圖形為平行四邊形，且，由勾股定理可得，因此，原圖形的周長為.故答案為.16在直角坐標系中，角的頂點在原點，始邊與軸非負半軸重合，終邊與單位圓交于點，角的終邊交單位圓于點，且、記、若，且，那么_【分析】由三角函數定義可得，由兩角差的余弦公式以及平面向量數量積的坐標運算可得出，再利用輔助角公式以及同角三角函數的基本關系可求得結果.【詳解】由三角函數的定義可得，因為、，則，由三角函數定義可得，且，.故答案為.四、解答題17設函數，(1)求函數的單調遞增區間；(2)內角A，的對邊分別為，若，

10、且，求的值(1)(2)【分析】（1）先利用二倍角公式和輔助角公式化簡，再利用正弦函數的單調性即可求出；（2）先由解得，再由正弦定理化角為邊，由余弦定理求得，即可由正弦定理求得.【詳解】(1)，令，解得，所以函數的單調遞增區間為；(2)，則，因為，所以，則，解得，由可得，由正弦定理可得，由余弦定理得，因為，所以，由正弦定理可得，即.18已知在圓錐中，底面的直徑，的面積為12(1)求圓錐的表面積；(2)若球內切于圓錐，用一個與圓錐的底面平行且與球相切（切點）的平面截圓錐得圓臺，求球的體積和圓臺的體積之比(1)(2)【分析】（1）利用圓錐的表面積公式求解即可.（2）利用幾何體的軸截面進行處理，分別求

11、出球和圓臺的體積.【詳解】(1)設圓錐的母線長為，底面的直徑為，所以，因為的面積為12， 所以，解得，由勾股定理有：，由圓錐的表面積公式有：.所以圓錐的表面積為.(2)作該圓錐的軸截面，如圖，則因為球內切于圓錐，所以，所以，設球的半徑為，則，即，解得，所以球的體積為.由題知，所以，即，解得.所以圓的面積，又圓的面積，圓臺的高記為，所以，由圓臺的體積公式有 ，所以球的體積和圓臺的體積之比為.19某校有高一學生1000人，其中男女生比例為，為獲得該校高一學生的身高（單位：）信息，采用分層隨機抽樣方法抽取了樣本量為50的樣本，其中男女生樣本量均為25，計算得到男生樣本的均值為172，標準差為3，女生

12、樣本的均值為162，標準差為4(1)計算總樣本均值，并估計該校高一全體學生的平均身高；(2)計算總樣本方差(1)167；168(2)37.5【分析】（1）根據男女生的樣本均值計算樣本均值；根據男女生的平均身高得到全校所有學生的身高總和，再求學生身高的平均值；（2）根據男女生的樣本均值和方差，直接計算樣本總體的方差即可.【詳解】(1)把男生樣本記為，平均數記為，方差記為；把女生樣本記為，平均數記為，方差記為；把樣本數據的平均數記為，方差記為；高一全體學生的身高均值記為.根據平均數的定義，總樣本均值為：；高一全體學生的身高均值為：；(2)根據方差的定義，總樣本方差為：，由，可得：，同理，.因此，所

13、以，總的樣本方差為.20如圖，已知正方體的棱長為，、分別為棱、的中點(1)證明：直線平面；(2)設平面與平面的交線為，求點到直線的距離及二面角的余弦值(1)證明見解析(2)點到直線的距離為，二面角的余弦值為【分析】（1）取的中點，連接、，證明出平面平面，利用面面平行的性質定理可證得結論成立；（2）延長、交與點，連接，則直線即為直線，然后過點在平面內作直線，垂足為點，連接，推導出點為的中點，二面角的平面角為，計算出、，即可得解.【詳解】(1)證明：取的中點，連接、，在正方體中，且，、分別為、的中點，則且，故四邊形為平行四邊形，則且，又因為且，則且，故四邊形為平行四邊形，則，平面，平面，平面，因為

14、且，故四邊形為平行四邊形，則，、分別為、的中點，則，則，平面，平面，平面，、平面，所以，平面平面，平面，平面.(2)解：延長、交與點，連接，則直線即為直線，因為且，為的中點，則，故點為的中點，為的中點，在中，由余弦定理可得，則，則，過點在平面內作直線，垂足為點，連接，所以，平面，平面，、平面，平面，平面，故二面角的平面角為，且，故點到直線的距離為，因此，二面角的平面角的余弦值為.21將某市20到80歲的居民按年齡分組為，并制作頻率分布直方圖如下：(1)根據頻率分布直方圖，估計該市20到80歲居民年齡的第80百分位數；(2)為了解該市居民參與“健步走”活動的實際情況，從該市20到80歲的居民中隨

15、機抽取若干人作問卷調查我們把年齡段的居民參與“健步走”活動的人數與該年齡段居民數之比稱為年齡段居民“健步走”活動參與指數（簡稱健參指數），用表示被調查居民各年齡段的健參指數如下：年齡段0.40.50.60.70.750.4假若該市20到80歲的常住居民有100萬人，利用樣本估計總體的思想，解決下面的問題：（i）估算該市20到80歲的居民中“健步走”活動的參與人數；（ii）據權威部門對全國“健步走”活動參與人群調查發現，如果排除20歲以下和80歲以上的居民，60歲以下的人比60歲及以上的人更喜愛“健步走”活動通過計算與的值，判斷本次調查所得結果是否與權威部門給出的結論相符？若不相符，請你從統計學

16、的角度分析產生差異的原因（結論開放，寫出其中一條原因即可）(1)59歲(2)（i）60萬人，（ii）見解析【分析】（1）根據百分位數的定義求解即可，（2）（i）先根據頻率分布直方圖求出各年齡段的人數，再根據各個健參指數求出各年齡段參與“健步走”活動的人數，從而可求得結果，（ii）通過（i）計算的數據計算與的值，進行比較【詳解】(1)因為前3組的頻率和為，前4組的頻率和為，所以第80百分位數在第4組，設為，則，解得，所以該市20到80歲居民年齡的第80百分位數為59歲，(2)（i）由頻率分直方圖可得年齡在的人數為萬人，在的人數為萬人，在的人數為萬人，在的人數為萬人，在的人數為萬人，在的人數為萬人，所以參數“健步走”活動的人數為萬人，參數“健步走”活動的人數為萬人，參數“健步走”活動的人數為萬人，參數“健步走”活動的人數為萬人，參數“健步走”活動的人數為萬，參數“健步走”活動的人數為萬人，所以該市20到80歲的居民中“健步走”活動的參與人數為萬人，（ii），因為，所以由調查結果可知60歲以上的人比60歲及以下的人更喜愛“健步走”活動所以本次調查所得結果與權威部門給出的結論不相符，產生差