1、中學數學教學論黔南民族師范學院數學系 陳亞萍第八章 數學知識的教學第八章 數學知識的教學6.1 數學概念及其教學6.2 數學命題及教學6.3 數學中的推理和證明第六章 數學知識的教學一、教學目標： 通過學習本節，使學生不僅掌握數學的概念，數學命題及數學中的證明等知識，更重要的是使學生提高這部分內容的教學水平。 通過對本章的學習，讓學生了解數學概念、判斷與命題、數學命題的概念，掌握數學概念的意義和結構、概念間的關系、概念的定義、概念的劃分（分類）；對數學概念的教學、數學命題的教學、數學中的證明的教學的實施有一定的認識。 二、教學重點、難點及關鍵 重點：對數學概念的意義和結構、概念間的關 系，概念

2、的定義的理解，對數學概念的教學、數學命題的教學、數學中的證明的教學的具體操作。 難點：對數學概念的教學、數學命題的教學、數學中的證明的教學的具體操作。 關鍵：要求學生有較扎實的數學基礎知識。三、教學方法： 講授、閱讀講義、分類查閱相關文獻，選擇典型課見習、通過優質課錄象的觀看進行學習交流。 四、教材分析： 數學知識的教學是指在學生有了扎實的數學知識的基礎上來對數學概念的意義和結構、概念間的關系、概念的定義的進一步分析理解，在此基礎上對在課堂上怎樣進行數學概念的教學、數學命題的教學、證明的教學進行學習，具有可操作性，它是理論與實踐相結合的產物。我們結合了大量的實例對這部分內容進行講解，同時對學生

3、進行試講、微格教學，加強對學生的直觀教學。 這章內容的學習對學生以后的教學實習有極大的影響，教師在這部分的教學要采用多種方法進行教學，特別是多進行案例分析。 五、教學程序6.1 數學概念及其教學一、數學概念的意義和結構1、數學概念的意義 概念是反映事物本質屬性和特征的思維形式。 人們在實踐活動中，首先通過感知接受客觀事物的各種信息，形成感性認識，然后進行比較、分析、綜合、概括等思維活動，抽出一類事物的本質屬性，形成關于這類事物的概念。 數學概念 數學概念是反映現實世界空間形式和數量關系本質屬性的思維形式。 數學概念的產生和發展有各種不同的途徑。 有的數學概念是直接從它的現實模型中抽象概括得來的

4、，例如幾何中的點、線、面、體等概念； 有的是在已有數學概念的基礎上，經過進一步多層次的抽象概括而形成的，如近代數學中的群、環、域等概念； 有的概念是人們將客觀事物的屬性理想化、純粹化而得到的，如利用“直”可以“無限延伸”等特征來描述直線這個概念； 還有的概念是在一定的數學對象結構中產生的，如“三線八角”等數學概念，有的概念則是根據數學本身的發展需要而產生的，如負數、虛數、維空間等。 數學概念是用數學語言來表達的，其主要形式是語詞和符號。例如，角、三角形、平行、等于、階乘！等。概念是人類思維的基本結構單位。概念又是命題、推理和論證的基礎，可以說每一門科學，都是一個概念的系統。2、概念的內涵和外延

5、 凡是一個概念都必須要有確定的涵義，并能反映確定的對象范圍，這就是概念的內涵和外延。任何一個科學概念，都應該有這兩個邏輯特征的結構。 概念的內涵也稱內包，是指概念所反映的這類事物的共同本質，是對概念的質的規定； 概念的外延也稱外包，是指概念所反映的這類事物的全體，是對概念的量的描述。 例如，在自然數系中，偶數這個概念的內涵是“能被整除”這個性質，它的外延是集合。又如，平行四邊形這一概念的內涵是其本質屬性：對邊平行、對邊相等、對角相等、對角線互相平分等。它的外延是全體平行四邊形的概念。概念的內涵和外延之間還表現為發展中的反變關系：當增加一個概念的內涵時，就會得到使概念的外延縮小的一個新概念，即概

6、念的限定：當減少一個概念的內涵時，就會得到使這一概念外延擴大的新概念，即概念的還概括。例如，矩形增加了“有一組鄰邊相等”這個性質后，就成為外延縮小的正方形的概念；在矩形內涵中減少“有一個角是直角”的屬性，就又得到外延擴大的平行四邊形的概念。二、概念間的關系 概念間的關系是指可比較概念外延間的關系。 根據概念的外延集有無重合之外，概念間的關系可分為相容關系和不相容關系。 設、為概念甲、乙、丙的外延集合。1.相容關系若，則稱概念甲與概念乙之間有相容關系。進而又可分為同一關系，屬種關系和交叉關系（1）同一關系：A=B,概念甲與概念乙的外延集完全相同，就稱為兩概念為同一關系（或全同關系），如圖1。 （

7、2）屬種關系：概念乙的外延集是概念甲的外延集的真子集，就稱兩個概念為屬種關系，如圖2（3）交叉關系：即兩個概念的外延集相交但不重不含，則稱這兩概念為交叉關系，如圖3。 例如：長方形和矩形、多項式和有理整式、大于和不小于等，都是具有同一關系的兩個概念。數學中的恒等變形就是利用概念間的同一關系進行的。又如：實數和有理數、根式和無根式、四變形和平行四邊形、三角形和等腰三角形等，都是具有屬種關系的概念。再如，矩形和菱形、非負有理數和非正有理數等，就是具有交叉關系的概念. 2.不相容關系若，且則將同一屬概念下的兩個種概念甲和乙間的關系，稱為不相容關系，也稱全異關系。進而還可具體分為矛盾關系和反對關系。（

8、1）矛盾關系：（2）反對關系：相對于屬概念實數而言，有理數和無理數就是具有矛盾關系的兩個概念，而相對于屬概念三角形而言，銳角三角形和鈍角三角形又是具有反對關系的兩個概念。將數學概念之間的關系，列表如下：三、概念的定義 概念的定義就是準確揭示一個概念的內涵或外延的邏輯方法。 1.定義的結構 2.中學常見的幾種定義方式 3.定義的規則 4.原始概念四、概念的劃分（分類） 劃分（分類）是揭示概念外延的邏輯方法。它是將一個概念按照某一屬性分成若干個不相容關系的種概念，借以達到明確概念之目的。 1.劃分的三要素 2.劃分的規則 3.劃分的種類五、數學概念的教學 概念是最基本的思維形式。數學是由概念 、命

9、題組成的邏輯體系。加強數學概念的教學，是提高教學質量的一個重要環節。 在數學概念教學中，應注意以下幾個方面： 1.重視教學概念教學的引入現實性原則.注意數學概念的理解科學性原則.加強數學概念的運算應用性原則6.2 數學命題及教學一、判斷與命題概述判斷的意義及結構 在邏輯學中，判斷是對思維對象有所判定的一種思維形式。即是說，判斷是對思維對象的某種屬性進行肯定或否定的一種思維形式。 例如，“是無理數”、“是等邊三角形”、“不是質數”、“是自然數”等都是表示判斷的語句 任何判斷都應具有兩個基本的特征：一定“要有所判定”，否則不稱其為判斷。例如，“不是自然數嗎？”，“a比大嗎？”等都不是判斷； 判斷有

10、真假之分。如果一個判斷符合客觀實際，那么它是真實的，否則，就是虛假的。 例如，“是質數”就是一個假判斷。 數學判斷的真與假，既要由實踐檢驗，又要從理論上予以證明。即數學判斷的形式取邏輯真假，內容也符合實際，才是真實的數學判斷。判斷可按不同的標準進行分類。 例如，按判斷的組成形式，判斷可以分為簡單判斷和復合判斷； 對于簡單判斷，又可按其判斷內容分為性質判斷和關系判斷； 按判斷的性質來分，判斷可以分為肯定判斷和否定判斷；按判斷的量來分，則又有全稱判斷和特稱判斷之分。在數學中，常用的判斷形式主要有四種：（）全稱肯定判斷（），其邏輯形式是：“所有的都是”，簡記為SAP；（）全稱否定判斷（），其邏輯形式

11、是：“所有的都不是”，簡記為SEP；（）特稱肯定判斷（I），其邏輯形式是：“有些是”，簡記為SIP；（4） 特稱肯定判斷（O），其邏輯形式是：“有些不是”，簡記為SOP。從以上四種命題判斷的邏輯形式，可知每種性質判斷的結構都由四部分組成；量項（所有、有些）、主項（S）、聯項（是、不是）和胃項（P），簡記為（判斷）=（量項）+（主項）+（聯項）+（胃項）2、命題及其基本運算任何一個判斷，都是用語句表述的，表述判斷的語句稱為命題。數學判斷是關于數學對象及其屬性的判斷，每一數學判斷的陳述語句則稱為數學命題。由于判斷有真假之分，所以命題應具有可判性。 如“ ”和“ ”，由于含有變量，故無法判斷其真假，

12、這樣的語句稱為開句，不是命題，但若當賦值后，則它們都成為數學命題了。命題運算，就是將命題符號化、形式化，將若干簡單命題用邏輯聯結詞聯結起來構建新的命題，由于關鍵是邏輯聯結詞的應用，因此，命題運算實際上是命題的邏輯聯結。命題的基本運算有：否定、合取、析取、蘊涵、等價。（1）否定（非“ ”）：給定一個命題，它與聯結詞“ ”構成復合命題“ ”，稱為命題的否定，也稱為負命題。（2）合取（與“ ”）：給定兩個命題p、q，用聯結詞“ ”聯結起來，構成復合命題“ ”，稱為命題，p和q的合取式，也稱為聯言命題。（3）析取（或“ ”）：給定兩個命題p，q用聯結詞“ ”聯結起來，構成復合命題“ ”，稱為命題p、q

13、的析取式，也稱為選言命題。（4）蘊涵（若則“ ”）：給定兩個命題p、q，用聯結詞“ ”聯結起來，構成復合命題“ ”，稱為命題p、q的蘊涵式，也稱為假言命題。其中叫做前件（或條件），叫做后件（或結論）。（5）等價（當且僅當“ ”）：給定兩個命題p、q，用聯結詞“ ”聯結起來，構成復合命題“ ”，稱為命題p、q的等值式，也稱充要條件假言命題。否定式、合取式、析取式、蘊涵式和等價式，是復合命題中最簡單、最基本的形式。這些基本形式經過各種組合，可得到更為復雜的復合命題。命題的四種形式及關系數學中的命題，一般都可以寫成的形式，就形式而言，這種形式的命題屬于邏輯命題中的蘊涵式：的形式并稱其為原命題，則通過

14、將的“換質”、“換位”，就可以構造出另外三種不同形式的命題并稱為：逆命題：否命題：逆否命題：（）命題的制作逆命題的制作。 逆命題是相對于原命題而言的一種命題形式，它的制作按邏輯學是的規定，只要將原命題的結論與條件換位即可。 無論是簡單命題還是復合命題，它們的條件和結論都應作為一個整體交換位置，從而得出唯一的逆命題，這樣的逆命題才具有“四種命題形式”中的等價關系。逆否命題制作。對于簡單命題，在制作逆否命題時，只需將條件、結論分別否定，再交換位置即可。 二、數學命題的教學 數學中的命題與概念、推理、證明有著密切的聯系：命題由概念組成，概念由命題揭示；命題是推理的要素，推理可獲得命題；命題是證明的依

15、據，而命題的真實性一般又要需經證明而確認，因此，數學命題的教學，是數學教學的一個重要組成部分。數學命題教學的基本要求是：使學生認識命題的條件和結論，掌握命題推理證明的方法，運用所學命題進行推理論證并解答實際問題，進而弄清數學命題間的關系，將學過的命題系統化，形成結構緊密的知識體系，從而發展和提高學生的認知水平和數學能力。1.教學命題引入的教學（）發現式引入。即通過實踐去發現。 例如，可從日常生活中所熟知的實際實例或從給學生提供的實驗資料等直觀因素中，歸納地引進公理，說明建立這條公理的合理性；對于數學公式、定理的引入，也可選用實驗、演算、作圖、設問等不同做法，引導學生動手、動腦，獨立思考，通過分

16、析、歸納，猜想出命題內容，然后再設法證明，獲得定理。（）過渡性引入。新公式可以通過舊公式過渡遷移而引入。如勾股定理表達了直角三角形三邊的關系，由此聯想到任意三角形三邊之間的關系能否用公式表示，從而引出余弦定理的課題；又如從指數公式的反問題入手，自然地進入對數公式的研究。這種引入使學生感到心公式是原有舊知識的延拓和發展，同時也培養學生按知識系統合結構去探索新知識的能力。2.數學命題證明與推導的教學 公式、定理的教學重點在于讓學生掌握證題的思路和方法，對于有典型意義的思想、方法要及時加以總結，以提高學生的解題能力。 教學時，教師應重點講解證明題的思路和方法。 例如，在分析“相交弦定理”的證明思路時

17、，首先利用轉化的思想，將等積式轉化為比例式，然后想到比例式可由相似三角形來得到，于是想到需要引輔助線構造相似三角形。證明的思路清晰了，方法明確了，證明的過程就可以放手交給學生去獨立完成。又如，分析了數學運算公式的證明思路和方法，應著重強調解決對數的有關問題，一般要通過指數法“架橋”，即把對數計算問題轉化為指數計算問題來解決。有了這樣的思路，對設中間變量就不再感到困惑了。3.數學命題應用的教學數學命題是解決數學問題的工具，學習公式、定理的目的就在于應用，它是理論聯系實際的重要環節。在公式、定理教學之后，可通過例題、練習題、習題的教學，使學生初步認識所學定理、公式的應用；然后注意培養學生活用、逆用

18、及變形使用公式定理；進而注意引導學生總結公式、定理的運用范圍、注意事項，總結公式、定理所能解決問題的類型，發揮思維定勢的積極作用；最后，還應讓學生探索所學公式、定理在生活、生產實際中的廣泛作用。例如，學習勾股定理之后，不僅要使學生認識定理在解直角三角形中的應用，還應逐步掌握定理在三角函數求值、解析幾何中求兩點距離公式、在測量中作直角三角形以及有關計算等方面的具體應用。4.建立數學命題系統知識的教學數學必須由概念、命題構成的邏輯體系，要對公式、定理有較深刻的認識，就必須了解公式、定理在數學知識體系中的地位、作用及相互間的邏輯聯系。例如，學習了幾何中的相交弦定理、切割線定理和切線長定理之后，可以通過運動變化的觀點，生動巧妙地闡明它們之間的內在聯系，并給予量化，最后統一成一個圓冪定理。6.3 數學中的推理和證明一、數學中的推理1.推理的意義和結構推理是從一個或幾個已知判斷作出一個新的判斷的思維形式。在推理的表述中，常用到的邏輯關聯詞有：“因為，所以”，“由于，因此”等。一個正確的推理，必須是推理的前提真實，推理的形式有效。前一個推理由于推理的前提不真實，后一個推理因為推理的形式錯誤。所以，它們都不是正確的推理。2.推理的規則3.推理的種類（1）