1、三角形的中線(xiàn)與面積的關(guān)系一、三角形的中線(xiàn)與面積1、三角形的一條中線(xiàn)與面積如圖1，AD是三角形ABC的中線(xiàn)，則=. 證明：因?yàn)锳D是三角形的中線(xiàn)，所以BD=CD，過(guò)點(diǎn)A作AEBC，垂足為E，則=BDAE,=CDAE，所以=，所以=.由此得到如下結(jié)論：1、等底同高的兩個(gè)三角形面積相等. 2、三角形的一條中線(xiàn)分原來(lái)三角形所成的兩個(gè)三角形面積相等.2、三角形的二條中線(xiàn)與面積如圖2，AD，BE是三角形ABC的中線(xiàn)，則=；=；=2=2=. 證明：因?yàn)锳D、BE是三角形的中線(xiàn)，所以=，=，所以+=+-（1），+=+-（2），（1）（2）得 -=-，所以=；因?yàn)?=+，所以=；如圖2，連接CF，易得=,所以=

2、2=2=.由此得到如下結(jié)論：1、三角形的兩條中線(xiàn)分原來(lái)三角形所成的四個(gè)圖形中，對(duì)頂?shù)膬蓚€(gè)圖形面積相等.2、三角形的兩條中線(xiàn)分原來(lái)三角形所成的四個(gè)圖形中，四邊形的面積等于不對(duì)頂三角形面積的2倍.3、三角形的三條中線(xiàn)與面積如圖3，AD，BE,CF是三角形ABC的中線(xiàn)，設(shè)BGD的面積為,BGF的面積為,AGF的面積為,AGE的面積為,CGE的面積為,CGD的面積為，ABC的面積為S.則=S.證明：因?yàn)锳D是三角形ABC的中線(xiàn)，所以BD=CD，因?yàn)槿切蜛BD和三角形ACD的高相同，所以三角形ABD的面積和三角形ACD的面積相等，即+=+.因?yàn)槿切蜝GD和三角形CGD的高也是相同的，所以?xún)蓚€(gè)三角形的

3、面積相等即=.所以+=+.因?yàn)槿切蜝GF和三角形AGF的高相同，BF=AF，所以，其中h是點(diǎn)G到AB的距離，所以=，同理可證=，所以2=2，所以=，所以=，同理可證=.所以=.因?yàn)槿切蜛BC的面積為S，所以=S.由此我們得到如下結(jié)論：三角形的三條中線(xiàn)分三角形成六個(gè)小三角形，則六個(gè)小三角形的面積相等，等于三角形面積的六分之一.二、結(jié)論在解題中的應(yīng)用 例1 如圖4，ABC三邊的中線(xiàn)AD，BE，CF的公共點(diǎn)G，若三角形ABC的面積為12，則圖中陰影部分面積是 .分析：這是三條中線(xiàn)分割三角形的情形，每一個(gè)小三角形的面積是相等，且等于原來(lái)三角形面積的，2個(gè)就是面積的.解：因?yàn)槿切蜛BC的面積為12

4、，所以陰影部分的面積為12=4.例2 三角形的一條中線(xiàn)把其面積等分，試用這條規(guī)律完成下面問(wèn)題：（1）把一個(gè)三角形分成面積相等的4塊（至少給出兩種方法）；（2）在一塊均勻的三角形草地上，恰好可放養(yǎng)84只羊，如圖5，現(xiàn)被兩條中線(xiàn)分成4塊， 則四邊形的一塊（陰影部分）恰好可放養(yǎng)幾只羊？分析：抓住等底同高的兩個(gè)三角形面積相等,依托三角形的中線(xiàn)性質(zhì)，完成求解.解：（1）此題的答案不是唯一的，只要分割的方法合理就可以，下面給出了幾種分割方法，供同學(xué)們學(xué)習(xí)時(shí)，參考.(2)根據(jù)中線(xiàn)分割圖形與原來(lái)三角形面積之間關(guān)系知道，四邊形的面積是整個(gè)圖形面積的三分之一，因?yàn)槭蔷鶆蚍植迹赃@塊面積應(yīng)該有 84=28（只）羊

5、.例3 如圖6 所示，在ABC中，已知點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為邊BC，AD，CE 的中點(diǎn)， 且=4，則S陰影等于_解：因?yàn)辄c(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，所以=4=2. 因?yàn)辄c(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，所以=2=1.所以=2=1. 所以=+=1+1=2,因?yàn)辄c(diǎn)F是EC的中點(diǎn)，所以=2=1. 所以S陰影等于1.例4 已知三角形ABC的面積為a，請(qǐng)邊閱讀，邊完成問(wèn)題的解答：1、如圖7，延長(zhǎng)BC到D，使得CD=BC，則陰影部分的面積為 .2、如圖8，延長(zhǎng)BC到D，使得CD=BC，延長(zhǎng)CA到E，使得AE=AC，則陰影部分的面積為 .3、如圖9，延長(zhǎng)BC到D，使得CD=BC，延長(zhǎng)CA到E，使得AE=AC，延長(zhǎng)AB到F，使得AB=FB

6、，則陰影部分的面積為 .4、如圖10，延長(zhǎng)BC到D，使得CD=BC，延長(zhǎng)CA到E，使得AE=AC，延長(zhǎng)AB到F，使得AB=FB，,連接DF，則陰影部分的面積為 ；三角形DEF的面積是 .分析：依據(jù)條件，結(jié)合三個(gè)結(jié)論，認(rèn)真分析，就能輕松完成解答.解：1、如圖7，AC是三角形ABD的中線(xiàn)，所以陰影面積與三角形ABC的面積相等，所以應(yīng)該填a；2、如圖8，當(dāng)我們連接AD時(shí)，不難發(fā)現(xiàn)三角形ACD的面積與三角形AED的面積相等，所以陰影部分的面積為2a；3、如圖9，三角形AEF的面積與三角形CDE的面積是相等，所以陰影部分的面積是4a；4、如圖10，三角形BFD的面積等于三角形CDE的面積，所以陰影部分的面積為6a；三角形DEF的面積為陰影部分的面積加三角形ABC的面積，所以是7a，也就是說(shuō)此時(shí)三角形的面積是原來(lái)三角形ABC面積的7倍.我們不妨把得到的三角形DEF叫做三角形ABC的膨脹三角形，當(dāng)CD=BC 時(shí)