1、PAGE 第六章不等式第六課時6.3.1不等式的證明（一）教學目標（一）教學知識點1比較法證明不等式的原理.2比較法證明不等式的一般步驟.（二）能力訓練要求1理解用比較法證明不等式的原理和思路.2會用比較法證明簡單的不等式.（三）德育滲透目標掌握比較法證明不等式，培養學生轉化的教學思想，提高學生的邏輯思維及推理能力.教學重點比較法是證明不等式的一種最重要最基本的方法，比較法分為：（1）求差比較，它有三個步驟：作差、變形、判斷符號.變形是把差變形為一個常數，或者變形為一個常數與一個或幾個數的平方和的形式，或者變形為一個分式，或者變形為幾個因式的積的形式等.總之，能夠判斷出差的符號是正或負即可.（

2、2）求商比較，它的步驟也有三步：作商、變形、判斷大小.教學難點用比較法證明不等式時，作差是依據，變形是手段，判斷符號才是目的.變形的過程常常是因式分解或配方.教學方法引導、探索、比較、歸納四步教學法.教具準備幻燈片一張記作6.3.1A實數的運算性質與大小順序之間的關系：若a，bR，則有：ab0abab0abab0ab2若a0，b0，則有：教學過程課題導入同學們，前面我們學習了實數的運算性質與大小順序之間的關系，在此基礎上，我們掌握了比較兩個實數大小的方法差值比較法.（便于學生回顧復習和教師駕馭課堂，打開幻燈片6. 3. 1A）同學們應熟練掌握以下實數的運算性質與大小順序之間的關系：1若a，bR

3、，則ab0ab；ab0ab；ab0ab.2若a0，b0，則例如，要證明ab，只要證明ab0；要證明ab，只要證明ab0.這種證明不等式的方法，在上兩節中實際上已經使用過，通常叫做比較法（后面“備課資料”中作詳細介紹）.今天，我們來探索研究比較法證明不等式.講授新課我們先來看下面的兩個例子：例1求證：x233x.師請同學們觀察我們要證明的題目.顯然，首先對x23與3x作差，通過變形，然后判斷x23與3x的差的符號，即可達到證題目的.生（x23）3xx23x3x23x()2()23(x)20.故x233x.（教師引導學生合理配方，是本題變形的關鍵）例2已知a，b，m都是正數，并且ab，求證：師證明

4、的大小，也就是考查它們的差與零的大小關系.但要注意，作差后的變形是證題的關鍵，變形的目的是判斷差值與零的大小關系.生，因為a，b，m都是正數，且ab，所以bm0，ba0，師生共析例1、例2的證明，說明比較法是證明不等式的一種最常用、最基本、最重要的方法.比較法有差值比較和商值比較兩種.（打出幻燈片6. 3. 1 A，使同學們理解差值比較與商值比較的基本原理）.其中差值比較法證明不等式的基本思路是：作差變形判斷差的正負得出結論.商值比較法證明不等式的基本思路與差值比較法的基本思路基本一致，即作商變形判斷商與1的大小得出結論.不同的是商值比較法在作商時必須保證兩式子均正.（關于比較法證明不等式，在

5、后面“備課資料”中有詳細說明）.例3已知a、b均為正數，求證：aabbabba.師由于要比較的兩式呈冪的結構，故采用作商比較法證明.（結合函數性質，正確引導學生完成證明）.生令x，當ab時，由指數函數的性質，得x1；當ab時，01，ab0，由指數函數的性質，得x1；當ab時，顯然x1.a、b均為正數且有abba0，始終滿足x1.即1，故aabbabba.師函數的性質特別是函數的單調性也是進行不等過渡的重要依據，我們在今后應重視這種方法的運用.例4甲、乙兩人同時同地沿同一路線走到同一地點.甲有一半時間以速度m行走，另一半時間以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走.如果mn

6、，問甲、乙兩人誰先到達指定地點？（教師引導學生認真閱讀題目，使學生確定出題目中的數量關系，然后作答）師設從出發地點至指定地點的路程是s，甲、乙二人走完這段路程所用的時間分別為t1、t2.要回答題目中的問題，只要比較t1、t2的大小就可以了.生設從出發地點至指定地點的路程是s，甲、乙兩人走完這段路程所用的時間分別為t1、t2，依題意，有其中s、m、n都是正數，且mn.所以，t1t20，即t1t2.故甲比乙首先到達指定地點.師生共析例4是一道利用不等式解決實際問題的例題.我們先用類比列方程解應用題的步驟，然后參考列方程解應用題的步驟，分析題意，設未知數，找出數量關系（函數關系、相等關系或不等關系）

7、，列出函數關系、等式或不等式，求解，作答等.整個解答過程體現了比較法在解決不等關系等實際問題中發揮著重要的作用.課堂練習1求證：a23b22b(ab).證明：(a23b2)2b(ab)a22abb2(ab)20.a23b22b(ab).2求證：a2b222a2b.分析：作差，把差變形成平方和的形式配方時，應以一次項為紐帶，聯系平方項與常數，合理分組.證明：（a2b22）(2a2b)a2b222a2ba22a1b22b1(a1)2(b1)20，a2b222a2b.3已知a2，求證：分析：比較法證明分式不等式，作差后首先通分，然后對分子、分母作變形，用符號法則判斷分式的正、負.證明： 即4已知ca

8、b0，求證：.分析：用比較法證明分式不等式，作差后通分，分解因式，判斷各因式的正負，最后確定出差的正負.證明：，cab0，ca0，ab0，cb0，故5已知a、b、c、d都是正數，且bcad，求證：分析：對于不等式鏈，應分步作差，通過變形，用符號法則判斷差的正負，最后證明.證明：a、b、c、d都是正數，且bcad，bcad0，即adbc0，.師生共析注意到本題的條件a、b、c、d均正，且bccd，即.結論為，也就是說，對于兩個有大小關系的分子分母都為正數的分式，由其分子的和作分子、分母的和作分母的新分式的值，介于原來兩個分式的值之間，這是一個關于分式的值的大小規律.課時小結本節課通過證明AB0實

9、現證明AB的證明方法叫做比較法.比較法證明的基本步驟為：作差、變形（因式分解或配成平方和）、判斷差的符號（正、負、零）.在AB無法變形時，也常采用作商（）、變形，判斷商值與1的大小來證明，但要注意：1，且B0AB；1，且B0AB.用比較法證明不等式的步驟中，作差是依據，變形是手段，判斷符號才是目的.課后作業（一）課本P16習題6.3 1、2、3、7、8.（二）復習鞏固：兩個正數的算術平均數與幾何平均數的關系定理（均值不等式）：若a0，b0，則（當且僅當ab時取“”號）.同時注意均值不等式的變形及其應用.變形1：ab變形2：若a0，b0，則.利用求最大值或最小值是解決最值問題常用的方法.板書設計

10、6.3.1不等式的證明（一）一、比較法的原理及思路例題課時小結（1）差值比較法（2）商值比較法課堂練習課后作業二、比較法證明不等式備課資料一、參考例題例1已知a0，b0，求證：分析：將不等式左邊通分后，可以看到分子化為的形式，結合右邊的形式，考慮左、右作差或作商后，都易于化簡，故選用作差比較法或作商比較法.證法一：（作差比較法）證法二：（作商比較法）評述：比較法是把兩個數或式的大小判斷問題轉化為一個數或式與零或1作比較，是一種簡化思想，這種思想除可以獨立完成某些不等式的證明外，還可以用于對較復雜問題的分析、探索.另外，還應注意通常在不等式兩邊均為正數時，才考慮運用作商比較法.例2求證：a2b2

11、1abab.分析：不等式兩邊是關于a、b的多項式，可考慮運用作差比較法.證法一：a2b21(abab)(a1)2(b1)32abab1(a1)2(b1)2(a1)(b1)(a1)2(b1)20.a2b21abab.證法二：a2b21(abab)(2a22b222ab2a2b)(a1)2(b1)2(ab)20，a2b21abab.證法三：令ya2b21(abab)，則ya2(b1)ab2b1.將y看作a的二次函數，它的判別式為(b1)24(b2b1)3(b1)20，y0恒成立.即a2b21(abab)0，a2b21abab.評述：作差比較法的關鍵在于作差后，如何變形來達到判斷差值符號之目的，本例

12、中前兩種方法為典型的配方法，且技巧性較強；第三種證法是通過研究二次函數值的正負，來確定差的符號.這種方法對于那些較難分析及較難配方的問題，往往很奏效.例3已知a0，b0，求證：分析：不等式兩邊均為關于a、b的冪的形式，且都是正數，故可用作商比較法.證明：（1）當ab0時，則1，0，由指數函數的性質可知，1.（2）當ba0時，則0由指數函數的性質可知：，綜上可知：對于a0，b0，總有1，所以，成立.評述：在判斷商值與1的大小時，經常要用到常見基本函數的性質.本例用到了指數函數的性質.綜觀例1、例2、例3說明，多項式型的不等式證明常用作差比較法，其步驟是作差變形定號結論.冪指數型的單項式常用作商比

13、較法，其步驟是作商變形與1比較結論.二、參考練習題1選擇題（1）下列一組不等式：2a2a，a3a2，3a2a，3a2a，lgalg(a1)中，條件不等式的個數為（）A2B3C4D5答案：C（2）xR，那么（1|x|）（1x）0的一個充分必要條件是（）A|x|1Bx1C|x|1Dx1或|x|1答案：D（3）設a、b、m都是正數，且ab，則下列不等式中恒不成立的是（）ABCD答案：B（4）若a，b是不等的正數，則abkakb(ak1bk1)(kN*)的符號是（）A恒正B恒負C與k的奇偶有關D與a、b的大小有關答案：B（5）設x、y、zR，且x2y2z2，則x3y3與z3的大小關系是（）Ax3y3z

14、3Bx3y3z3Cx3y3z3D無法確定答案：D2填空題（1）當條件滿足時，成立.答案：ab0，ab或ab0，ab（2）使不等式a2b2，2a2b1都成立的a與b的關系式為.答案：ab1且b0（3）設a0，b0，ab1，試比較大小：答案：3用比較法證明不等式：若ab0，則aabb.證明：（作商比較法）即4求證：3(1a2a4)(1aa2)2.證明：（作出比較法）3(1a2a4)(1aa2)22(a1)2(a2a1)0，故3(1a2a4)(1aa2)2.5已知a，b，c是ABC中的三邊，求證：3(abbcca)（abc）24(abbcca).證明：（作差比較法）（abc）23(abbcca)(a

15、b)2(bc)2(ca)20，(abc)24(abbcca)a(abc)b(bac)c(cab)0，(三角形三邊的關系定理，若a、b、c為ABC的三邊，則abc，即abc0)3(abbcca)(abc)24(abbcca).6證明：acbd證明：（作差比較法）(a2b2)(c2d2)(acbd)2(ad)2(bc)22abcd(adbc)20，（a2b2）(c2d2)(acbd)2，故acbd.7設直角三角形的斜邊長為c，兩直角邊長分別為a、b，試比較c3與a3b3的大小.解：（作商比較法）c是直角三角形的斜邊，a、b是直角邊，abc，01，a2b2c2.即8已知a0、b0，nN，求證：（ab

16、）(anbn)2(an1bn1).證明：（作差比較法）（ab）(anbn)2(an1bn1)anbabnan1bn1(ab)(bnan)，當ab0時，bnan0，ab0，（ab）(bnan)0；當ba0時，bnan0，ab0，（ab）(bnan)0；當ab0時，bnan0，ab0，（ab）(bnan)0；綜合、可知：（ab）(anbn)2（an1bn1）.三、證明不等式的基本方法比較法比較法是證明不等式的一種最基本、最重要的方法.比較法有差值比較法和商值比較法兩種.1差值比較法的基本思路（1）作差：作差的目的是根據實數的運算性質與大小順序之間的關系，將證明不等式AB，轉化為證明AB0.（2）將差變形：變形的目的在于判斷差的符號，它與一般的化簡有所不同.其常用的變形目標是：將差變形為常數，或者變形為一個常數與幾個平方