1、關(guān)于等差數(shù)列前項(xiàng)和的公式第一張，PPT共五十二頁，創(chuàng)作于2022年6月復(fù)習(xí)回顧(1) 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式: 已知首項(xiàng)a1和公差d,則有: an=a1+ (n-1) d 已知第m項(xiàng)am和公差d,則有: an=am+ (n-m) d, d=（an-am）/（n-m） (2) 等差數(shù)列的性質(zhì): 在等差數(shù)列an中,如果m+n=p+q (m,n,p,qN),那么: an+am=ap+aq第二張，PPT共五十二頁，創(chuàng)作于2022年6月 泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世紀(jì)莫臥兒帝國皇帝沙杰罕為紀(jì)念其愛妃所建，她宏偉壯觀，純白大理石砌建而成的主體建筑叫人心醉神迷，成為世界七大奇跡之一。陵寢以寶石鑲飾，圖案之

2、細(xì)致令人叫絕。 傳說陵寢中有一個(gè)三角形圖案，以相同大小的圓寶石鑲飾而成，共有100層（見左圖），奢靡之程度，可見一斑。你知道這個(gè)圖案一共花了多少寶石嗎？問題呈現(xiàn) 問題1第三張，PPT共五十二頁，創(chuàng)作于2022年6月 問題2：對(duì)于這個(gè)問題，德國著名數(shù)學(xué)家高斯10歲時(shí)曾很快求出它的結(jié)果。（你知道應(yīng)如何算嗎？） 這個(gè)問題，可看成是求等差數(shù)列 1，2，3，n，的前100項(xiàng)的和。假設(shè)1+2+3+ +100=x, (1)那么100+99+98+ +1=x. (2)由(1)+(2)得101+101+101+ +101=2x,100個(gè)101所以x=5050.高斯第四張，PPT共五十二頁，創(chuàng)作于2022年6月探

3、究發(fā)現(xiàn)問題1：圖案中，第1層到第21層一共有多少顆寶石？ 這是求奇數(shù)個(gè)項(xiàng)和的問題，不能簡(jiǎn)單模仿偶數(shù)個(gè)項(xiàng)求和的辦法，需要把中間項(xiàng)11看成首、尾兩項(xiàng)1和21的等差中項(xiàng)。 通過前后比較得出認(rèn)識(shí)：高斯“首尾配對(duì)” 的算法還得分奇、偶個(gè)項(xiàng)的情況求和。 有無簡(jiǎn)單的方法？ 第五張，PPT共五十二頁，創(chuàng)作于2022年6月探究發(fā)現(xiàn)問題1：圖案中，第1層到第21層一共有多少顆寶石？ 借助幾何圖形之直觀性，使用熟悉的幾何方法：把“全等三角形”倒置，與原圖補(bǔ)成平行四邊形。第六張，PPT共五十二頁，創(chuàng)作于2022年6月探究發(fā)現(xiàn)問題1：圖案中，第1層到第21層一共有多少顆寶石？ 123212120191獲得算法：第七張，

4、PPT共五十二頁，創(chuàng)作于2022年6月問題3:求:1+2+3+4+n=?記:S= 1 + 2 + 3 +(n-2)+(n-1)+nS= n+(n-1)+(n-2)+ 3 + 2 +1第八張，PPT共五十二頁，創(chuàng)作于2022年6月設(shè)等差數(shù)列a1,a2,a3,它的前n 項(xiàng)和是 Sn=a1+a2+an-1+an (1)若把次序顛倒是Sn=an+an-1+a2+a1 (2) 由等差數(shù)列的性質(zhì) a1+an=a2+an-1=a3+an-2=由(1)+(2) 得 2sn=(a1+an）+(a1+an）+(a1+an)+. 即 Sn=n(a1+an)/2 下面將對(duì)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式進(jìn)行推導(dǎo)第九張，PPT共

5、五十二頁，創(chuàng)作于2022年6月由此得到等差數(shù)列的an前n項(xiàng)和的公式即：等差數(shù)列前n項(xiàng)的和等于首末項(xiàng)的和與項(xiàng)數(shù)乘積的一半。上面的公式又可以寫成由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an = a1+(n-1)d解題時(shí)需根據(jù)已知條件決定選用哪個(gè)公式。知三求二第十張，PPT共五十二頁，創(chuàng)作于2022年6月 迅速作答（2） 1+3+5+（2n-1）=（1） 1+2+3+n=（3）2+4+6+2n=上面習(xí)題的答案在以后會(huì)經(jīng)常用到。n（n+1）/2 n（n+1）n2 =Sn =SnSn第十一張，PPT共五十二頁，創(chuàng)作于2022年6月 1.將等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式 看作是一個(gè)關(guān)于n的函數(shù)，這個(gè)函數(shù) 有什么特點(diǎn)？當(dāng)d0時(shí),Sn是常

6、數(shù)項(xiàng)為零的二次函數(shù)則 Sn=An2+Bn令第十二張，PPT共五十二頁，創(chuàng)作于2022年6月【說明】推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的方法叫 ；等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式類同于 ；an為等差數(shù)列 ，這是一個(gè)關(guān)于 的沒有 的“ ” 倒序相加法梯形的面積公式Sn=an2+bnn常數(shù)項(xiàng)二次函數(shù)（ 注意 a 還可以是 0）第十三張，PPT共五十二頁，創(chuàng)作于2022年6月例1 如圖，一個(gè)堆放鉛筆的 V形架的最下面一層放一支鉛筆，往上每一層都比它下面一層多一支，最上面一層放120支。這個(gè)V形架上共放著多少支鉛筆？解：由題意可知，這個(gè)V形架上共放著120層鉛筆，且自下而上各層的鉛筆數(shù)成等差數(shù)列，記為an,其中 a1=1

7、 , a120=120.根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式，得答：V形架上共放著 7 260支鉛筆。第十四張，PPT共五十二頁，創(chuàng)作于2022年6月例2：在等差數(shù)列an中，（2）a1=14.5，d=0.7，an=32，求Sn（2）由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，得14.5+(n-1)0.7=32 n=26（1）a3= -2，a8=12，求S10解：（1）a1+a10 = a3+a8 = 10第十五張，PPT共五十二頁，創(chuàng)作于2022年6月 由以上例題可以得出:在求等差數(shù)列的前n項(xiàng)的和時(shí),當(dāng)知道首項(xiàng)和公差,或者是知道首項(xiàng)和末項(xiàng),均可以得出. 練一練已知等差數(shù)列an中,已知a6=20,求S11=?例3: 已知等差數(shù)

8、列an中a2+a5+a12+a15=36. 求前16項(xiàng)的和?解: 由等差數(shù)列的性質(zhì)可得: a1+a16=a2+a15=a5+a12=36/2=18 sn=16/2 18=144 答:前16項(xiàng)的和為144。分析：可以由等差數(shù)列性質(zhì)，直接代入前n 項(xiàng)和公式第十六張，PPT共五十二頁，創(chuàng)作于2022年6月例4 等差數(shù)列-10，-6，-2， 2，前多少項(xiàng)的和是54？ 本題實(shí)質(zhì)是反用公式，解一個(gè)關(guān)于n 的一元二次函數(shù)，注意得到的項(xiàng)數(shù)n 必須是正整數(shù).第十七張，PPT共五十二頁，創(chuàng)作于2022年6月解：將題中的等差數(shù)列記為an，sn代表該數(shù)列 的前n項(xiàng)和，則有a1=10, d=6(10)=4 根據(jù)等差數(shù)列

9、前n項(xiàng)和公式：解得n1=9, n=3(舍去)因此等差數(shù)列10,6,2,2，前9項(xiàng)的和是54.設(shè)該數(shù)列前n 項(xiàng)和為54得第十八張，PPT共五十二頁，創(chuàng)作于2022年6月例5 已知一個(gè)等差數(shù)列的前10項(xiàng)的和是310，前20項(xiàng)的和是1220，求Sn.解： S10=310，S20=1 220第十九張，PPT共五十二頁，創(chuàng)作于2022年6月鞏固練習(xí)1、已知 a6+a9+a12+a15=192,求 S202、凸 n 邊形各內(nèi)角成等差數(shù)列，公差為 10，最小內(nèi)角為 100，則n等于（）（A）7（B）8（C）9（D）8或 9 a6+a9+a12+a15=192， a6+a15=a9+a12= a1+a20 a

10、1+a20=96由題意，得 :解得 n=8 或 n=9（舍） B第二十張，PPT共五十二頁，創(chuàng)作于2022年6月3.一個(gè)項(xiàng)數(shù)為36的數(shù)列的前四項(xiàng)和是21，后四 項(xiàng)和是67，求這個(gè)數(shù)列的和。第二十一張，PPT共五十二頁，創(chuàng)作于2022年6月4 求集合M=m|m=7n, n是正整數(shù), 且m100的元素個(gè)數(shù), 并求這些元素的和.解:由7n100得 n1007, 由于滿足它的正整數(shù)n共有14個(gè), 集合M中的元素共有14個(gè). 即7, 14, 21, , 91, 98.這是一個(gè)等差數(shù)列, 各項(xiàng)的和是答: 集合M中的元素共有14個(gè), 它們的和為735.=735第二十二張，PPT共五十二頁，創(chuàng)作于2022年6

11、月等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式： 熟練掌握等差數(shù)列的兩個(gè)求和公式并能靈活運(yùn)用解決相關(guān)問題 小 結(jié)第二十三張，PPT共五十二頁，創(chuàng)作于2022年6月2.等差數(shù)列an前n項(xiàng)和的性質(zhì)性質(zhì)1:Sn,S2nSn,S3nS2n, 也在等差數(shù)列,公差為在等差數(shù)列an中,其前n項(xiàng)的和為Sn,則有性質(zhì)2:(1)若項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2n,則 S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1) (an,an+1為中間兩項(xiàng)),此時(shí)有:S偶S奇= ,n2dnd第二十四張，PPT共五十二頁，創(chuàng)作于2022年6月性質(zhì)2:(2)若項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2n1,則 S2n-1=(2n 1)an (an為中間項(xiàng)), 此時(shí)有:S奇S偶= ,兩等差數(shù)列前n項(xiàng)和

12、與通項(xiàng)的關(guān)系性質(zhì)4:若數(shù)列an與bn都是等差數(shù)列,且前n項(xiàng)的和分別為Sn和Tn,則性質(zhì)3: 為等差數(shù)列.an第二十五張，PPT共五十二頁，創(chuàng)作于2022年6月例1.設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,若S3=9,S6=36,則a7+a8+a9=( )A.63 B.45 C.36 D.27B3.等差數(shù)列an前n項(xiàng)和的性質(zhì)的應(yīng)用第二十六張，PPT共五十二頁，創(chuàng)作于2022年6月第二十七張，PPT共五十二頁，創(chuàng)作于2022年6月第二十八張，PPT共五十二頁，創(chuàng)作于2022年6月2.在等差數(shù)列an中,已知公差d=1/2,且a1+a3+a5+a99=60,a2+a4+a6+a100=( )A.85 B.14

13、5 C.110 D.90A3.一個(gè)等差數(shù)列的前12項(xiàng)的和為354,其中項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)的項(xiàng)的和與項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的項(xiàng)的和之比為32:27,則公差為 .5第二十九張，PPT共五十二頁，創(chuàng)作于2022年6月例4.兩等差數(shù)列an 、bn的前n項(xiàng)和分別是Sn和Tn,且求 和 . 等差數(shù)列an前n項(xiàng)和的性質(zhì)的應(yīng)用第三十張，PPT共五十二頁，創(chuàng)作于2022年6月例5.(09寧夏)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)的和為Sn,已知am-1+am+1-am2=0,S2m-1=38,則m= .例6.設(shè)數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=2n-7,則|a1|+|a2|+|a3|+|a15|= .10153等差數(shù)列an前n項(xiàng)和的性質(zhì)的應(yīng)用第三十一張，

14、PPT共五十二頁，創(chuàng)作于2022年6月練習(xí)：已知在等差數(shù)列an中,a10=23,a25=-22 ,Sn為其前n項(xiàng)和.（1）問該數(shù)列從第幾項(xiàng)開始為負(fù)？（2）求S10（3）求使 Sn1時(shí)： 當(dāng)n=1時(shí)： 也滿足式.第三十四張，PPT共五十二頁，創(chuàng)作于2022年6月變 式 訓(xùn) 練當(dāng)n 1時(shí)： 當(dāng)n=1時(shí)： 不滿足式.點(diǎn)評(píng)：分類討論思想第三十五張，PPT共五十二頁，創(chuàng)作于2022年6月例: 若數(shù)列an的前項(xiàng)和Sn滿足Sn=an2+bn,試判斷an是否是等差數(shù)列。鞏固練習(xí)第三十六張，PPT共五十二頁，創(chuàng)作于2022年6月 觀察上面的式子,我們可以看出它是關(guān)于n 的二次函數(shù),從而等差數(shù)列的前n項(xiàng)和可以寫成

15、形如: 將等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式寫成上述形式,有利于求其前n項(xiàng)和的極值: a10 a10, d0最大值 無 有最小值 有 無nsnnsna10,最小值 a10,d0,最大值等差數(shù)列前n項(xiàng)和再認(rèn)識(shí):第三十七張，PPT共五十二頁，創(chuàng)作于2022年6月例6：已知數(shù)列an是等差數(shù)列，且a1= 21，公差d=2，求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn的最大值。等差數(shù)列的前n項(xiàng)的最值問題第三十八張，PPT共五十二頁，創(chuàng)作于2022年6月等差數(shù)列的前n項(xiàng)的最值問題例7.已知等差數(shù)列an中,a1=13且S3=S11,求n取何值時(shí),Sn取最大值.解法1由S3=S11得 d=2當(dāng)n=7時(shí),Sn取最大值49.第三十九張，PPT共

16、五十二頁，創(chuàng)作于2022年6月等差數(shù)列的前n項(xiàng)的最值問題例7.已知等差數(shù)列an中,a1=13且S3=S11,求n取何值時(shí),Sn取最大值.解法2由S3=S11得d=20當(dāng)n=7時(shí),Sn取最大值49.則Sn的圖象如圖所示又S3=S11所以圖象的對(duì)稱軸為7n113Sn第四十張，PPT共五十二頁，創(chuàng)作于2022年6月等差數(shù)列的前n項(xiàng)的最值問題例7.已知等差數(shù)列an中,a1=13且S3=S11,求n取何值時(shí),Sn取最大值.解法3由S3=S11得d=2當(dāng)n=7時(shí),Sn取最大值49. an=13+(n-1) (-2)=2n+15由得第四十一張，PPT共五十二頁，創(chuàng)作于2022年6月a7+a8=0等差數(shù)列的前

17、n項(xiàng)的最值問題例7.已知等差數(shù)列an中,a1=13且S3=S11,求n取何值時(shí),Sn取最大值.解法4由S3=S11得當(dāng)n=7時(shí),Sn取最大值49.a4+a5+a6+a11=0而 a4+a11=a5+a10=a6+a9=a7+a8又d=20a70,a8，S3 = S11，問：這個(gè)數(shù)列的前幾項(xiàng)的和最大？例7的變式題二：等差數(shù)列an的首項(xiàng)a1 0, 前n項(xiàng)和為Sn，Sm= Sl ,問: n為何值時(shí)，Sn最大？第四十三張，PPT共五十二頁，創(chuàng)作于2022年6月 的前n項(xiàng)和為 當(dāng)n為何值時(shí)， 最大，數(shù)列 的通項(xiàng)公式 已知 求：變式3設(shè)等差數(shù)列第四十四張，PPT共五十二頁，創(chuàng)作于2022年6月例8.設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn,已知 a3=12,S120,S13013a1+136d0第四十五張，PPT共五十二頁，創(chuàng)作于2022年6月法2 Sn圖象的對(duì)稱軸為由(1)知由上得即由于n為正整數(shù),所