1、8.3 傅立葉變換的性質一、基本性質二、卷積與卷積定理一、基本性質且 所涉及到的函數的 Fourier 在下面給出的基本性質中， 變換均存在， 1. 線性性質 設 a , b 為常數，則 性質 對于涉及到的一些運算(如求導、積分、極限及求和等) 的次序交換問題，均不另作說明。 直接進入基本 性質匯總？證明 (略) 一、基本性質2. 位移性質 設 為實常數，則 性質 (時移性質) (頻移性質) (1) (2) 時移性質表明：當一個信號沿時間軸移動后，各頻率成份 頻移性質則被用來進行頻譜搬移，這一技術在通信系統中的大小不發生改變，但相位發生變化； 得到了廣泛應用。一、基本性質2. 位移性質 設 為

2、實常數，則 性質 (時移性質) (頻移性質) (1) (2) 性質 一、基本性質3. 相似性質 相似性質表明， 事實上，在對矩形脈沖函數的頻譜分析中(8.1)已知， 脈沖越窄，則其頻譜(主瓣)越寬;脈沖越寬，則其頻譜(主瓣)越窄。相似性質正好體現了脈沖寬度與頻帶寬度之間的反比關系。若信號被壓縮 則其頻譜被擴展； 若信號被擴展 則其頻譜被壓縮。 性質 一、基本性質3. 相似性質 相似性質表明這兩者是矛盾的，因為同時壓縮脈沖寬度和 在電信通訊中， 為了有效地利用信道，希望信號的頻帶寬度要窄。 為了迅速地傳遞信號，希望信號的脈沖寬度要小； 頻帶寬度是不可能的。 性質 一、基本性質3. 相似性質 一、

3、基本性質4. 微分性質 若 則 性質 一般地，若 則 記憶 由 一、基本性質4. 微分性質 若 則 性質 記憶 由 上式可用來求 的 Fourier 變換 一、基本性質4. 微分性質 同理，可得到像函數的導數公式 性質 一、基本性質5. 積分性質 一、基本性質6. 帕塞瓦爾(Parseval)等式 一、基本性質(匯總)線性性質 相似性質 位移性質 (時移性質) (頻移性質) 一、基本性質(匯總)Parseval 等式 積分性質 微分性質 解 根據相似性質有 P198 例8.11 修改 設 求 例 根據微分性質 有 解 令 則 又已知 即 二、卷積與卷積定理廣義積分 對任何實數 t 都收斂， 函

4、數為 與 的卷積，記 為 1. 卷積的概念與運算性質 設函數 與 在區間 上有定義， 定義 如果 它在 上定義了一個自變量為 t 的函數， 則 稱此 P200定義 8.2 二、卷積與卷積定理1. 卷積的概念與運算性質 性質 (1) 交換律 (2) 結合律 (3) 分配律 P201 解 (1) 當 時， t (2) 當 時， P201 例 8.13 將函數 反褶并平移到 t ，得到 從上面的例子可以看出 (2) 卷積由反褶、平移、相乘、積分四個部分組成。 因此，卷積又稱為褶積或卷乘。 (1) 在計算一些分段函數的卷積時，如何確定積分限是解題 另外，利用卷積滿足交換律這一性質，適當地選擇兩個函數 的關鍵。 再與函數 相乘后求積分， 得到卷積 的卷積次序，還可以使積分限的確定更直觀一些。 如果采用圖形方式則比較容易確定積分限。 即首先 P203 (1) 當 時， 解 由卷積的定義及性質有 221t 2 21P202 例8.14 修改 221t (2) 當 時， 解 由卷積的定義及性質有 2 21221t (3) 當 時， 解 由卷積的定義及性質有 2 21綜合得 解 由卷積的定義及性質有 2 21證明 同理可證 (B) 式