1、數(shù)學(xué)建模基礎(chǔ)前 言一、開設(shè)數(shù)學(xué)建模課程的背景1. 開設(shè)數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)教育改革的必然 現(xiàn)在請各位同學(xué)回答下列兩個問題： (1) 數(shù)學(xué)重要嗎，為什么？ (2) 數(shù)學(xué)有用嗎？請舉出一些用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的例子。 對于第一個問題，大家一定會毫不猶豫地回答：數(shù)學(xué)是非常重要的。至于理由我猜測應(yīng)該是：從小學(xué)、初中到高中、大學(xué)，從小升初、中考到高考、考研，數(shù)學(xué)歷來是必考科目，而且在總分中所占的比重相當高。在大學(xué)階段，許多專業(yè)的學(xué)生都至少要學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)、概率統(tǒng)計三門課程，歷時一年半，17個學(xué)分。 對于第二個問題，大家的回答可能會有些矛盾：數(shù)學(xué)應(yīng)該是有用的，但又很難列舉出自己用數(shù)學(xué)解決的有價值的實例

2、。 之所以出現(xiàn) “數(shù)學(xué)重要，數(shù)學(xué)又似乎沒用” 的矛盾，原因是多方面的。固然有數(shù)學(xué)比較抽象不易掌握等客觀原因，但不可否認的是，長期以來數(shù)學(xué)教育中的某些敝病是造成這種情況的重要原因。 事實上，現(xiàn)在的大學(xué)數(shù)學(xué)教育相當不盡如人意。一方面?zhèn)鹘y(tǒng)數(shù)學(xué)已演變?yōu)閿?shù)學(xué)技術(shù)、理論研究和實驗研究三足鼎立的現(xiàn)代數(shù)學(xué)；而另一方面大部分教材、教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)手段幾十年一貫制，過于陳舊，完全沒有反映出信息時代數(shù)學(xué)作為一種技術(shù)的新特點，致使學(xué)生的科學(xué)計算能力和運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力得不到很好的培養(yǎng)。 例如，我校工科專業(yè)的某些研究生和教師在科研中碰到稍微復(fù)雜一點的數(shù)學(xué)計算問題便束手無策。另外在最近幾年的全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競

3、賽中，盡管我院大部分參賽選手數(shù)學(xué)成績都較好，但他們運用數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)軟件解決實際問題的能力明顯不足。因此，數(shù)學(xué)教育的改革已成了當務(wù)之急。 為了適應(yīng)新形勢的需要，必須改革現(xiàn)有數(shù)學(xué)教育模式與內(nèi)容，增強學(xué)生使用計算機與數(shù)學(xué)軟件學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和解決實際問題的能力。數(shù)學(xué)建模課便應(yīng)運而生了，可以說數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)教育改革的產(chǎn)物。2. 開設(shè)數(shù)學(xué)建模是參加競賽的需要 我校于2000年首次參加全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽。由于缺乏指導(dǎo)教師和充足的資金支持、建模活動不普及等原因，我校的數(shù)學(xué)建模水平與省內(nèi)同類院校相比相差甚遠。一直存在著參賽隊少、獲獎級別低等問題。 據(jù)調(diào)查，我校數(shù)學(xué)教師中有不少愿意投身數(shù)學(xué)建模，但缺乏學(xué)習(xí)和研究建

4、模的契機；學(xué)生中也有一批數(shù)學(xué)建模愛好者，但平時苦于沒有機會接受數(shù)學(xué)建模知識的系統(tǒng)介紹和培訓(xùn)。安大、安財?shù)冉Ｏ冗M院校的經(jīng)驗表明，開設(shè)數(shù)學(xué)建模選修課是培養(yǎng)指導(dǎo)教師和參賽選手的有效途徑。數(shù)學(xué)建模選修課的開設(shè)不僅可以引導(dǎo)教師學(xué)習(xí)、鉆研建模，而且為學(xué)生中的建模愛好者提供了接受建模基礎(chǔ)學(xué)習(xí)、培訓(xùn)的機會和場合。 3. 學(xué)分制為開設(shè)數(shù)學(xué)建模提供了有利條件 我校從2009級新生開始實行學(xué)分制。學(xué)分制是以學(xué)分為計量單位衡量學(xué)生完成學(xué)業(yè)狀況的一種彈性的教學(xué)管理制度。學(xué)分制的核心和基礎(chǔ)是選課制，選課制允許學(xué)生在一定范圍內(nèi)自主選擇課程、教師、授課時間、修讀方式和學(xué)習(xí)進程。 學(xué)分制的實行給數(shù)學(xué)建模選修課的開設(shè)提供了極為

5、有利的條件。在全校開設(shè)數(shù)學(xué)建模選修課，為學(xué)生中的建模愛好者提供了接受建模基礎(chǔ)學(xué)習(xí)、培訓(xùn)的機會和場合，有助于數(shù)學(xué)建模活動的普及，可在一定程度上改變我校在數(shù)學(xué)建模競賽上的落后狀況。二、課程簡介1. 課程主要內(nèi)容與授課方式 考慮到選修本門課程的大多為非數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生，他們選修本門課程的主要目的不是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，而是想通過本門課程的學(xué)習(xí)提高應(yīng)用數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)軟件解決實際問題的能力。 因此，除了少數(shù)數(shù)學(xué)理論問題之外，本門課程重點介紹如何用數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)軟件求解典型數(shù)學(xué)模型。內(nèi)容包括：常用數(shù)學(xué)軟件介紹，重點介紹Maple和Lingo；初等模型、微分方程模型、運籌與優(yōu)化模型、數(shù)據(jù)處理與統(tǒng)計分析、隨機模擬、圖論與網(wǎng)絡(luò)模

6、型等。 由于公選課特別是數(shù)學(xué)建模不太適宜指定教科書，所以數(shù)學(xué)建模課程擬采用學(xué)生自學(xué)、學(xué)生教師課下討論與教師課堂講解相結(jié)合的授課方式。 首先由學(xué)生按教師要求對下次授課內(nèi)容進行自學(xué)，對于疑難問題可通過適當方式與教師進行討論、交流，然后教師在課堂上對本次授課內(nèi)容進行講解、總結(jié)，布置作業(yè)。2. 上機練習(xí)、數(shù)學(xué)軟件的使用與編程 數(shù)學(xué)建模是實踐性特別強的課程，與高等數(shù)學(xué)等課程有很大的不同。數(shù)學(xué)建模課程中的幾乎所有問題都要借助數(shù)學(xué)軟件上機完成。 希望同學(xué)們對數(shù)學(xué)建模課堂中所講例題以及課后練習(xí)一定要動手上機演練，這樣才能有所收獲。 在數(shù)學(xué)建模中，能否熟練運用相關(guān)軟件往往比熟知數(shù)學(xué)知識更重要。因為對于許多問題而

7、言選定數(shù)學(xué)方法并不太難，而能否用相關(guān)軟件得出正確結(jié)果往往是能否解決問題的關(guān)鍵。 訓(xùn)練學(xué)生比較熟練地掌握各類相關(guān)數(shù)學(xué)軟件是數(shù)學(xué)建模課程的重要內(nèi)容之一。 在充分利用現(xiàn)有軟件的同時，我們提倡適當?shù)刈约簞邮志幊蹋驗?Matlab、Maple和Lingo等軟件功能的確強大，但它們也不是萬能的。首先，對于某些問題，這些工具軟件有都求不出正確解的情況。其次不能保證對任何問題都有現(xiàn)成的工具軟件，實際上，許多現(xiàn)代計算方法都不可能編制成通用軟件。 即使使用數(shù)學(xué)軟件時也需要編程將軟件的各功能相聯(lián)結(jié)。 在一些大型計算中，可能要求計算是“實時計算”，即計算從前一計算環(huán)節(jié)獲取參數(shù)，計算結(jié)果后立即傳送給后一計算環(huán)節(jié)，所有

8、計算都是在內(nèi)存中進行的。顯然，現(xiàn)成的工具軟件對此無能為力。 熟練使用相關(guān)科技軟件、具有一定的編程水平是理工科學(xué)生所必須具有的素養(yǎng)，從某種程度上講，后者更能反映出個人的能力，而編程經(jīng)驗和水平不是憑一朝一夕就可以提高的，要靠大量的編程實踐和不斷地日積月累。 考慮到學(xué)生的實際情況，本課程主要要求學(xué)生掌握 1, 2 種常用數(shù)學(xué)軟件的基本功能，對編程無過多要求。 三、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模應(yīng)注意的幾個問題 隨著高等教育的普及化，高等學(xué)校的學(xué)生和教師的質(zhì)量不可避免地有了一定程度的下降。許多大學(xué)生知識面狹窄、自學(xué)能力差、計算機應(yīng)用能力和科技論文寫作能力不強。 在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模課程時要注意以下幾個方面的問題： 1. 借助

9、于數(shù)學(xué)建模課程學(xué)習(xí)盡可能多的應(yīng)用數(shù)學(xué)知識和方法，特別是一些現(xiàn)代數(shù)學(xué)方法。 2. 在數(shù)學(xué)建模中著力提高各種動手能力，包括計算能力、編程能力、計算機軟件應(yīng)用能力、科技論文的寫作與編輯能力等。 3. 數(shù)學(xué)建模課程屬于拓寬性的、啟發(fā)性的、難度較大的課程，學(xué)好這門課不僅要有濃厚的興趣，還要有較強的自學(xué)能力和不怕困難的毅力。 我們有理由相信，只要你有興趣、花功夫、不怕難，通過數(shù)學(xué)建模課程的學(xué)習(xí),就一定能拓展知識面，提高應(yīng)用數(shù)學(xué)和計算機解決實際問題的能力。 最后要說明的是，今年數(shù)學(xué)建模是首次做為全校公共選修課，面向來自不同專業(yè)、學(xué)習(xí)心態(tài)各異的學(xué)生，我們?nèi)狈ψ銐虻慕?jīng)驗。前面提到的一些設(shè)想可能只是我們的一廂情愿

10、，不一定得以實現(xiàn)。 如果各位能從課堂上學(xué)到一點點有用的東西，或者能從課下我們的交流中獲得一絲有益的啟示，我認為這門課就沒有完全失敗。四、參考書目 趙靜，但琦. 數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實驗(第3版)，高等教育出版社，2008； 何青，王麗芬. Maple教程，科學(xué)出版社，2006； 謝金星，薛毅. 優(yōu)化建模與Lingo軟件，清華大學(xué)出版社，2005； 周建興等. Matlab從入門到精通，人民郵電出版社，2009； 數(shù)學(xué)建模，Matlab，Maple，Lingo電子版資料。郵箱： MM：matlabmaple數(shù)學(xué)軟件Maple簡介一、常用數(shù)學(xué)軟件介紹 目前在科學(xué)研究與工程計算中常用的數(shù)學(xué)軟件約30余個，

11、可分為通用與專用兩大類。 專用軟件主要是為解決數(shù)學(xué)中某個分支的特殊問題而設(shè)計的。 常用的專用軟件有: 1. SAS和SPSS(統(tǒng)計分析)； 2. Lindo、Lingo和CPLEX(運籌與優(yōu)化計算)； 3. Cayley和GAP(群論研究)； 4. PARI(數(shù)論研究)； 5. Origin (科技繪圖與數(shù)據(jù)分析)； 6. DELiA (微分方程分析) ； 7. ANSYS(有限元計算)。 通用軟件一般可以求解數(shù)學(xué)許多分支中的大部分問題。通用軟件又可分為數(shù)值計算型與解析計算型。 常用的通用型數(shù)值計算軟件有： Matlab、Xmath、Gauss、MLAB等。 常用的通用型解析計算軟件有： Ma

12、ple、Mathematica、Macsyma、 Axiom和Reduce等。 Matlab、Mathematica、Maple與另一個面向大眾的普及型數(shù)學(xué)軟件Mathcad并稱數(shù)學(xué)軟件中的“四大天王”。 Matlab意思為“矩陣實驗室”，是美國計算機科學(xué)家Cleve Moler在70年代末開發(fā)出的以矩陣數(shù)值計算為主的數(shù)學(xué)軟件，如今已發(fā)展成為融科技計算、圖形可視化與程序語言為一體的功能強大的通用數(shù)學(xué)軟件。Matlab最突出的特點是其帶有一系列的“工具包”，可廣泛應(yīng)用于自動控制、信號處理、數(shù)據(jù)分析、通訊系統(tǒng)和動態(tài)仿真等領(lǐng)域。高版本的Matlab也可進行符號計符號計算，不過它的代數(shù)運算系統(tǒng)是從解析

13、計算軟件Maple移植而來。目前, Matlab的最高版本為R2010b(3.69G)。 Mathematica是美國物理學(xué)家Stephen Wolfram開發(fā)的第一個將符號計算、數(shù)值計算和圖形顯示很好地結(jié)合在一起的數(shù)學(xué)軟件，在國內(nèi)較為流行，擁有廣泛的用戶。它的最大優(yōu)點是帶有圖形用戶接口的計算機上Mathematica支持一個專用的Notebook接口。通過 Notebook 接口，可以顯示輸出結(jié)果、圖形、動畫和聲音等。 Mathematica的另一個特點是它可以和C、Excel、Word等相互調(diào)用。 Mathcad是MathSoft公司在80年代開發(fā)的一個交互式數(shù)學(xué)文字軟件，與 Matlab

14、 和Mathematica不同的是，該軟件的市場定位是:向廣大教師、學(xué)生、工程技術(shù)人員提供一個兼?zhèn)湮淖帧?數(shù)學(xué)和圖形處理能力的集集成工作環(huán)境，而并不致力于復(fù)雜的數(shù)值計算與符號計算問題，具有面向大眾普及的特點。不過，現(xiàn)在 Mathcad 的計算能力已遠超出了其早期的設(shè)計目標。 SPSS(社會科學(xué)統(tǒng)計軟件包)是世界著名的統(tǒng)計分析軟件之一。 SPSS 的基本功能包括數(shù)據(jù)管理、統(tǒng)計分析、圖表分析、輸出管理等。其過程包括描述性統(tǒng)計、均值比較、一般線性模型、相關(guān)分析、回歸分析、聚類分析、生存分析、時間序列分析等。SPSS中還有專門的繪圖系統(tǒng)，可以根據(jù)數(shù)據(jù)繪制各種圖形。 Origin 是與 Sigma Pl

15、ot和Axum齊名的科技繪圖和數(shù)據(jù)處理軟件。 Origin 除了可以很方便地畫出各種二維和三維圖形外， 它的最突出的功能是曲線擬合。它不僅可以用內(nèi)置的上百種函數(shù)很方便地進行曲線擬合,而且可以根據(jù)用戶的需要添加線型。 Lindo是美國芝加哥大學(xué)的 Schrage教授開發(fā)的專門用于求解數(shù)學(xué)規(guī)劃的專用軟件包，版權(quán)現(xiàn)歸屬于美國Lindo系統(tǒng)公司。Lindo包含Lindo、Gino、Lingo、Lingo NL和“Whats Best”等多個組件，這些組件統(tǒng)稱為Lindo，其中Lindo和Lingo最為常用。 Lindo 可求解線性規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃和二次規(guī)劃；Lingo除了可以求解線性規(guī)劃、 整數(shù)規(guī)劃和二

16、次規(guī)劃外，還可以求解非線性規(guī)劃和線性、非線性方程組。除此之外, Lingo還包含了內(nèi)置的建模語言和一些常用的數(shù)學(xué)函數(shù)，可以簡便、直觀地描述大規(guī)模優(yōu)化問題。 Lingo 有多種版本，如學(xué)生版、演示版、高級版、發(fā)行版、工業(yè)版等，其主要區(qū)別在于對優(yōu)化規(guī)模 (變量和約束個數(shù)) 有不同的限制。 Maple是加拿大Waterloo大學(xué)符號計算研究小組于80年代初開始研發(fā)，1985年才面世的計算機代數(shù)軟件，起初并不為人們所注意。但Maple V release 2于1992年面世后，人們發(fā)現(xiàn)它是一個功能強大、界面友好的計算機代數(shù)系統(tǒng)。隨著版本的不斷更新，Maple已日益得到廣泛的承認和歡迎，用戶越來越多，聲

17、譽越來越高。從1995年二、Maple簡介以后，Maple 一直在IEEE的數(shù)學(xué)軟件評比中居符號計算軟件的第1名。目前，Maple的最高版本為Maple V release 14.01。 Maple是一個開放的計算機代數(shù)系統(tǒng)，主要由用戶界面、代數(shù)運算器和外部函數(shù)庫三部分組成。用戶界面負責(zé)輸入數(shù)學(xué)表達式的初步處理、運算結(jié)果和圖像的顯示等。代數(shù)運算器進行輸入的編譯及基本的代數(shù)運算。外部函數(shù)庫中包括數(shù)千個數(shù)學(xué)函數(shù)和過程，幾乎涵蓋了數(shù)學(xué)的所有分支 Maple支持函數(shù)、序列、集合、列表、數(shù)組、表等多種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。用戶可以查看其非內(nèi)部函數(shù)的源程序，也可以將自己編和函數(shù)、過程添加到函數(shù)庫中或建立自己的函數(shù)庫。

18、 Maple 的一個突出特點是界面非常友好。它有一個非常好的幫助系統(tǒng)，可以很方便地查找函數(shù)和命令的用法。 總之，Maple是一個功能強大、容易掌握、不斷發(fā)展的數(shù)學(xué)解析軟件。有了良好的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)加上Maple就能使你如虎添翼，有能力和信心去解決各種各樣的數(shù)學(xué)計算問題。第一章 Maple初步 1.1 Maple 的安裝與啟動 不同版本Maple的安裝過程略有不同，有的版本需要序列號。 Maple的工作環(huán)境是典型的windows界面，下面給出Maple7 (序列號1210) 的經(jīng)典界面和Maple14的新界面。 1.2 Maple 命令的輸入與顯示 1. 命令提示符；大小寫敏感。 2. Maple命令

19、以；或：結(jié)尾，以；結(jié)尾顯示結(jié)果，而以：結(jié)尾則不顯示結(jié)果。 3. Maple的賦值號為：=。 4. 光標放在命令行的任意位置，然后回車即可運行此命令；在書寫命令時如需換行，須按Shift+回車。1.3 Maple 的數(shù)值與解析計算 Maple可進行無誤差的符號計算和高精度的數(shù)值計算。例如， 100!, Pi, sqrt(2), sin(3)。1.4 Maple 的圖形顯示1. 一般函數(shù)做圖plot(f(x),x=a.b,option); plot3d(f(x,y),x=a.b,y=c.d,option);2. 極坐標做圖plot(sin(3*x),x,x=-2*Pi.2*Pi,cords=pol

20、or);3. 隱函數(shù)做圖implicitplot(表達式,x=a.b,y=c.d);with(plots);impliciplot(y=sin(x+y),x=1.20,y=-1.1);4. 參數(shù)方程做圖plot(cos(t),sin(t),t=0.2*Pi);5. 同一坐標系中做多圖方法1: plot(f1(x),fn(x),x=a.b);plot(x3-6*x+2,3*x2-6,x=-5.5): 切勿與參數(shù)方程做圖混淆.方法2:F1:=plot():F2:=plot(): Fn:=plot():Display(F1,Fn);with(plots):F:=plot(cos(x),sin(x),

21、x=0.2*Pi):G:=plot(cos(x),sin(x),x=-2*Pi.2*Pi):display(F,G):1.5 Maple 的微積分計算1. 解方程solve(f(x),x); 求解析解fsolve(f(x),x); 求全部實數(shù)數(shù)值解fsolve(f(x),x,complex); 求全部復(fù)數(shù)數(shù)值解2. 求極限limit(tan(x)-sin(x)/x3,x=0);limit(sqrt(x2+x)-sqrt(x2-x),x=infinity);3. 求導(dǎo)數(shù)diff(x/(1+x)x,x);diff(sin(x),x$2);diff(ln(tan(x/y),x,y);simplify

22、(diff(ln(tan(x/y),x,y);implicitdiff(y=sin(x+y),y,x);4. 求積分int(exp(-x)*cos(x),x);int(sqrt(1+cos(2*x),x=0.Pi);5. 解微分方程dsolve(diff(y(x),x)=x+y(x),y(x);dsolve(diff(y(x),x)=x+y(x),y(0)=2,y(x);dsolve(diff(x(t),t$2)+k*diff(x(t),t)2,x(0)=0,D(x)(0)=200);1.6 Maple 的線性代數(shù)計算1. 矩陣轉(zhuǎn)置 transpose(A);2. 矩陣取行列式 det(A);

23、3. 矩陣加法 evalm(A+B);4. 矩陣乘法 evalm(A&*B);5. 求特征值 eigenvals(A);6. 求特征向量 eigenvects(A);1.7 Maple 的幫助功能 Maple有非常強大、完善的在線幫助功能。Maple可通過Introduction, Topic Search和鍵盤命令等方式尋求幫助。 例如，?interp; ?dsolve;1.8 Maple 的函數(shù)庫 Maple有數(shù)以千計的函數(shù)，這些函數(shù)被分成四大類: 標準庫、混合庫、專用軟件包和共享軟件包。1. 標準庫 標準庫分為內(nèi)部函數(shù)、外部函數(shù)和惰性函數(shù)三類。 內(nèi)部函數(shù)在 Maple 的內(nèi)核中，不能查看

24、其代碼。外部函數(shù)和惰性函數(shù)可以查看其代碼。惰性函數(shù)主要用來顯示函數(shù)名。2. 混合庫 混合庫中存放的是不太常用的函數(shù)，系統(tǒng)啟動時不自動調(diào)入內(nèi)存。需要用時需用命令readlib(函數(shù)名)調(diào)入 。3. 專用軟件包 Maple 有幾十個專用軟件包，分別處理不同數(shù)學(xué)分支問題。 專用軟件包在使用時要用命令with(軟件包名)調(diào)入。4. 共享庫 共享庫是由 Maple 愛好者開發(fā)的軟件包。這些程序用戶可上網(wǎng)搜尋。第一次作業(yè)1. 安裝Maple軟件；2. 自學(xué)Maple的相關(guān)資料(PPT, word, pdf)，初步掌握Maple 基本操作。第二章 Maple語言基礎(chǔ) Maple 是一個可編程的數(shù)學(xué)環(huán)境。本章

25、介紹 Maple 的符號集、語句、表達式、基本數(shù)據(jù)類型以及基本的程序語言。2.1 標識符與變量名2.1.1 標識符 標識符是語言的基本元素。 Maple 的標識符由26個大小寫字母、10個數(shù)字字符以及一些特殊符號組成(P49)。2.1.2 變量名 變量名的第一個符號必須是字母，后面可以跟字母、數(shù)字、下劃線。 Maple 中的關(guān)鍵詞是系統(tǒng)內(nèi)部使用的字符串，不能作為變量名。另外，內(nèi)部函數(shù)名也不能作為變量名。2.2 語句和表達式2.2.1 語句類型 1. 賦值語句 變量名:=表達式注:初學(xué)者最容易犯的錯誤是將賦值號“:=”誤寫為“=”。 2. 條件語句 if 條件 then 語句組 fi if 條件

26、 then 語句組 else 語句組 fi if 條件 then 語句組 elif 條件 then 語句組 fi if 條件 then 語句組 elif 條件 then 語句組 else 語句組 fi 3. 循環(huán)語句 for 循環(huán)變量名 from 初值 by 步長 to 終值 do 語句組 od 考察下列程序中的循環(huán)和條件語句。restart:n:=10000: count:=0:for i from 1 to n do r1:=rand(0.1): r2:=rand(0.1): if r1()=1 or r2()=1 then count:=count+1: fi:od:prizeA:=10

27、00*evalf(count/n);2.2.2 表達式 Maple的表達式由常數(shù)、變量、函數(shù)、運算符和括號等組成。例如， 1. 序列、列表、集合；(第五章) 2. 特別運算符：復(fù)合、自復(fù)合 、取模mod。例如， (sinln)(x)結(jié)果為sin(ln(x)； (ln2)(x)結(jié)果為ln(ln(x)； 10 mod 3結(jié)果為1。 考察下列程序中的復(fù)合運算。restart:f:=x-x3-3*x-1:plot(f(x),x=-3.3);fsolve(f(x);x:=-4:n:=9:g:=x-x-(x3-3*x-1)/(3*x2-3):for i from 1 to n do x:=evalf(gi

28、)(x):od; 3. 布爾表達式和邏輯運算 Maple中的關(guān)系運算符為,=,=, ；邏輯運算符為and, or, not。 “表達式 關(guān)系運算符 表達式”稱為關(guān)系式，其值為true或false。 由關(guān)系式、邏輯運算符和括號組成的表達式稱為布爾表達式。例如， a:=1; b:=2; c:=3; ab, cb; false, true ab and cb false 考察第38張幻燈片程序中的邏輯表達式。 4. 過程與函數(shù) (第五章)2.3 類型與判別 Maple 具有豐富的表達式、函數(shù)和數(shù)據(jù)類型，以適應(yīng)不同數(shù)學(xué)領(lǐng)域和用戶的要求。看一個表達式是什么類型，除憑經(jīng)驗外，還可用命令 type對變量類型

29、進行判別,用命令 whattype對表達式類型進行詢問。2.3.1 判別類型命令 函數(shù)type(表達式, 類型)判別此表達式是否屬于該類型。屬于時函數(shù)值為1，否則為0。 例如，type(5,float)的值為false。 Maple中所有的表達式類型見P57。2.3.2 類型詢問 函數(shù)whattype(表達式)返回表達式的基本數(shù)據(jù)類型。 Maple中的基本數(shù)據(jù)類型見P57。 例如，whattype(x-y)的值為+， whattype(xy)的值為。2.4 基本數(shù)據(jù)類型 本節(jié)介紹一些常用基本數(shù)據(jù)類型：整數(shù)(integer), 分數(shù)(fraction), 浮點數(shù)(float), 常數(shù)(const

30、ant),函數(shù)(functions),復(fù)數(shù)(complex),代數(shù)數(shù)(algebraic number)。下一章將進一步介紹常用復(fù)合數(shù)據(jù)類型。2.4.1 整數(shù)、分數(shù) Maple可以計算和表示的最大整數(shù)長度為219-1=524279位。 常用的整數(shù)運算函數(shù)見P58。 Maple的分數(shù)計算是符號計算， Maple在處理含有分數(shù)的表達式時，自動地對分數(shù)進行約分，將分母表示成正整數(shù)。2.4.2 浮點數(shù)、符號常數(shù) 浮點數(shù)通常指帶有小數(shù)的數(shù)，它的運算不屬于符號運算。 1. 浮點數(shù)有常規(guī)和指數(shù)兩種表示法。 例如，314.5和3.145e2。 2. 可用命令evalf(表達式,精度)求表達式的浮點數(shù)。 例如，

31、evalf(22/7,20)。 3. Maple 默認的浮點精度為10，可用命令“Digits:=精度”進行重新設(shè)置。 例如，Digits:=40; evalf(22/7); Maple對數(shù)學(xué)中的重要常數(shù)做了特殊定義。注： Maple各版本中的定義略有不同。2.4.3 復(fù)數(shù)、代數(shù)數(shù) Maple用I代表虛數(shù)單位，如1+3*I。 復(fù)數(shù)的常用運算有Re(取實部)、 Im(取虛部)、argument(求幅角)、conjugate(求共軛)。 代數(shù)數(shù)是指有理多項式方程的根。代數(shù)數(shù)的計算是符號計算。2.5 Maple的程序語言 用本章介紹的語句可以編制出簡單的Maple程序。 下面給出用數(shù)值積分計算 的程

32、序。 因為 ，只要計算出右邊的積分，即可得到的值。 我們分別采用數(shù)值分析中的復(fù)化梯形公式和復(fù)化Simpson公式計算。復(fù)化梯形公式 ：復(fù)化Simpson公式 ：Pi:=evalf(Pi,50);a:=0: b:=1: n:=1000:f:=x-4/(1+x2):Pi1:=evalf(b-a)/n*(sum(f(a+i*(b-a)/n),i=1.n-1)+(f(a)+f(b)/2),50);Pi2:=evalf(b-a)/6/n*(f(a)+f(b)+2*sum(f(a+i*(b-a)/n),i=1.n-1)+4*sum(f(a+(i+1/2)*(b-a)/n),i=0.n-1),50);1.在

33、同一坐標系中作出 和它的Taylor展式前 項構(gòu)成的多項式圖象。對不同的 ，觀察多項式逼近 的情形,并通過計算證明 的Taylor級數(shù)收斂于 。2.對不同的n，畫出 在 上的圖象。通過觀察圖像猜測當時，這個函數(shù)趨向于什么函數(shù)，并證明之。 第三章 Maple的復(fù)合數(shù)據(jù)類型 本章進一步介紹 Maple 語言的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，包括常用的復(fù)合數(shù)據(jù)類型、函數(shù)的定義方法和函數(shù)的運算。最后介紹復(fù)合數(shù)據(jù)的三個重要命令：代換(subs)，映射(map)和轉(zhuǎn)換(convert)。3.1 序列、集合、列表 序列、集合和列表是三種最常用的復(fù)合型數(shù)據(jù)類型。本節(jié)介紹它們的使用和相互轉(zhuǎn)換方法。3.1.1 序列(sequence)

34、 形如下列類型的數(shù)據(jù)稱為序列。 表達式1, 表達式2, , 表達式n 例如，1,2,3和x,y,z均為序列。 1. 序列是 Maple 中的一種基本數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，可用于函數(shù)、集合、列表等語句中。例如，f(1,2,3) (三元函數(shù)), x,y,z (集合), a,b,c (列表)。 2. 兩個序列可用逗號連成一個序列。例如，a:=1,2,3; b:=4,5,6; ，則語句c:=a,b;產(chǎn)生的序列是1,2,3,4,5,6。 3. 可用函數(shù)seq、$、op生成序列。 (1)seq(f(i),i=m.n)生成序列f(m),f(m+1),f(n)。 (2)語句“表達式$n”表示將表達式重復(fù)n次，即生成序列“

35、表達式,表達式”。 例如，a$3生成序列a,a,a。 語句“表達式(i)$i=m.n”表示生成序列“表達式(m),表達式(n) ”。 例如，i2$i=1.4生成序列1,4,9,16。 語句“$m.n”等價于語句“i$i=m.n”，即生成序列“m,m+1,n ”。 例如，$1.4生成序列1,2,3,4。 (3)op(列表)生成列表。 例如，op(x,y,z)生成列表x,y,z。 (4)可用命令“序列名i”提取序列的第i項。 例如，s:=1,2,3; s3; 的結(jié)果是3。 (5)連接算子|可將兩個序列按一定法則連接，產(chǎn)生一個新序列。若s為一序列，則a|s可以把a綴于s的每一元素前。 例如，s:=1

36、,2,3; a|s;生成序列a1,a2,a3。3.1.2 列表(list) 用一對方括號括起的以逗號分隔的一組Maple對象即序列稱為列表。 例如，1,2,3即為一列表。 (1)列表的元素是有序的，可以重復(fù)。 例如，1,2和2,1、1,2和1,2,2是不同的列表。 (2)可用“列表名i.j” 提取列表的第i到第j個元素。 例如，L:=$1.10: L5; L1.3;的結(jié)果分別為5和1,2,3。 (3)op(L)表示提取列表的所有操作數(shù)即元素，亦即將列表轉(zhuǎn)換為序列。 (4)nops(L)表示求列表中元素的個數(shù)即列表的長度。 例如，L:=1,2,3,4: nops(L)結(jié)果為4。 (5)op(L)

37、,x 表示在列表后面附加一個元素x；subsop(i=x,L)表示將列表L中的第i個元素換成x；subsop(i=NULL,L)表示消去列表L中的第i個元素。3.1.3 集合(set) 用一對花括號括起的以逗號分隔的一組Maple對象即序列稱為集合。 例如，x,y,z即為一集合。 (1)列表的元素是無序的。元素可以重復(fù)，但運行后重復(fù)的元素只保留一個。 例如，1,2和2,1 、1,2和1,2,2是相同的集合。 (2)可用“集合名i.j” 提取集合的第i到第j個元素。 (3)可用命令op(S)、op(S) 將集合S分別轉(zhuǎn)換為序列和列表，但在轉(zhuǎn)換時去除重復(fù)元素。 (4)集合的運算有union (并)

38、、intersect (交)、minus(差)、member(成員判別)。第一章 數(shù)學(xué)建模簡介一、數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模 數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模是用數(shù)學(xué)描述和解決實際問題的產(chǎn)物。 數(shù)學(xué)模型就是對于現(xiàn)實世界的一個特定問題，為了某種目的，根據(jù)其內(nèi)在規(guī)律,通過必要的抽象簡化，運用適當?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到的一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。 通俗地說，數(shù)學(xué)模型就是描述實際問題某方面規(guī)律的數(shù)學(xué)公式、圖形或算法。 例1 設(shè)一根勻質(zhì)鏈條，懸掛在一個無摩擦的釘子上。鏈條從靜止開始運動，運動開始時一端下垂 8厘米，另一端下垂 12厘米，求鏈條的運動方程。 解 設(shè)鏈條的密度為 ，在時刻鏈條下滑的長度為 ，由牛頓定理， ， 。 數(shù)學(xué)建模是利用數(shù)學(xué)

39、方法解決實際問題的一種實踐，即通過抽象、簡化、假設(shè)等處理過程后，將實際問題用數(shù)學(xué)方式表達，建立起數(shù)學(xué)模型，然后運用先進的數(shù)學(xué)方法及計算機技術(shù)進行求解。 例如，用常微分方程中的方法或數(shù)學(xué)軟件可求出例1中的運動方程為 。 數(shù)學(xué)建模其實并不是什么新東西，可以說有了數(shù)學(xué)并需要用數(shù)學(xué)去解決實際問題，就一定要用數(shù)學(xué)的語言、方法去近似地刻劃該實際問題，這種刻劃的數(shù)學(xué)表述的就是一個數(shù)學(xué)模型，其過程就是數(shù)學(xué)建模的過程。 二、數(shù)學(xué)建模的過程及要求 學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模的基本目的在于學(xué)會如何利用有效的數(shù)學(xué)知識、計算工具和科學(xué)實驗手段來創(chuàng)造性地解決實際問題。 數(shù)學(xué)建模的基本組成部分為： (1) 用適當?shù)臄?shù)學(xué)方法對實際問題進行

40、描述； (2) 數(shù)學(xué)模型的求解； (3) 結(jié)果的分析和模型的檢驗。 較好的數(shù)學(xué)模型通常具有以下特點：考慮問題較全面，具有獨到性或創(chuàng)新性，結(jié)果合理，穩(wěn)定性好，適用性強。實際問題問題分析數(shù)學(xué)模型模型求解模型驗證實際使用正確修正數(shù)學(xué)建模的基本過程1. 數(shù)學(xué)建模中常用的數(shù)學(xué)知識 數(shù)學(xué)建模通常需要具備微積分、微分方程、概率統(tǒng)計 (隨機模擬、方差分析、回歸分析)、數(shù)值計算方法(插值、擬合、數(shù)值積分)、運籌優(yōu)化 (線性規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃)、圖論(最短路、網(wǎng)絡(luò)流)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、層次分析法、模糊數(shù)學(xué)等相關(guān)知識。 不過，數(shù)學(xué)建模并不要求學(xué)生對上述知識精通 (不現(xiàn)實也不可能)。同學(xué)們只要對上述知識有所了解，對所面臨的問題

41、知道用什么知識和方法解決就可以了。 2. 求解數(shù)學(xué)模型的常用軟件 在求解數(shù)學(xué)模型時，要充分利用先進的計算工具和計算軟件。 建議熟悉和掌握下列常用軟件： Matlab（功能強大的數(shù)值計算軟件） Maple（方便實用的解析計算軟件） SPSS或SAS（專業(yè)的統(tǒng)計分析軟件） Lingo（專業(yè)的運籌與優(yōu)化軟件）3. 結(jié)果的分析和模型的檢驗 一個高質(zhì)量的數(shù)學(xué)建模要求對計算結(jié)果進行合理性分析，對模型進行精確性檢驗。對結(jié)果的分析包括誤差分析、靈敏性與穩(wěn)定性分析等。在對模型進行檢驗時，要采用不同的方法檢驗。比如，模型求解時采用的是解析法或數(shù)值法，模型檢驗時可采用計算機仿真或模擬法。三、數(shù)學(xué)模型的分類 根據(jù)數(shù)學(xué)

42、模型的數(shù)學(xué)特征和應(yīng)用范疇,一般有以下幾種分類方法： 1. 根據(jù)模型的應(yīng)用領(lǐng)域，數(shù)學(xué)模型可分為人口模型、交通模型、環(huán)境模型、生態(tài)模型、生理模型、城鎮(zhèn)規(guī)劃模型、水資源模型、污染模型、經(jīng)濟模型、社會模型等。 2. 按研究方法和對象的數(shù)學(xué)特征，數(shù)學(xué)模型可分為初等模型、微分方程模型、網(wǎng)絡(luò)圖論模型、規(guī)劃與優(yōu)化模型、統(tǒng)計模型等。 3. 根據(jù)模型的數(shù)學(xué)特性，數(shù)學(xué)模型可分為離散與連續(xù)模型、確定性與隨機性模型、線性與非線性模型、靜態(tài)與動態(tài)模型等。 4. 根據(jù)建模目的，數(shù)學(xué)模型又可分為分析、預(yù)測、決策、控制和優(yōu)化模型等。微積分與微分方程建模 由于選課的絕大多數(shù)學(xué)生僅學(xué)過微積分、線性代數(shù)和概率論，所以我們首先介紹一些

43、只用一元、多元函數(shù)微積分以及微分方程即可解決的簡單建模問題。 例1 設(shè)一根勻質(zhì)鏈條，懸掛在一個無摩擦的釘子上。鏈條從靜止開始運動，運動開始時一端下垂 8厘米，另一端下垂 12厘米，求整個鏈條滑過釘子所用的時間。 解 設(shè)鏈條的密度為 ，在時刻鏈條下滑的長度為 ，由牛頓定理， ， 。 。 不是特征根，設(shè) ，代入求得 ， 。 由 ，即 ,得 ， 。 。x=8時，時間 。 restart:a:=12: b:=8:dsolve(diff(x(t),t$2)-x(t)*g/(a+b)+(a+b-x(t)*g/(a+b),x(0)=a,D(x)(0)=0);solve(a+b=rhs(%),t); 例2 一

44、粒子彈以速度 v = 200 m/s打進一厚度為0.1m的板。已知穿出板的速度為80 m /s，若板對子彈的阻力與速度的平方成正比，問子彈穿過板用了多少時間？ 解 由題意知， 。 假設(shè)子彈過板所用時間為T，則 ， 。restart:dsolve(diff(x(t),t$2)+k*diff(x(t),t)2,x(0)=0,D(x)(0)=200);solve(0.1=rhs(%),80=diff(rhs(%),t),t,k); 例3 曲柄滑塊機構(gòu)的運動規(guī)律 曲柄滑塊是一種常用的機械結(jié)構(gòu)，它將曲柄的轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)化為滑塊在直線上的往復(fù)運動，是氣壓機、沖床、活塞式水泵等機械的主機構(gòu)。下面為其示意圖： 記曲柄

45、OQ的長為r，連桿QP的長為l。當曲柄繞固定點O以角速度 旋轉(zhuǎn)時，由連桿帶動滑塊P在水平槽內(nèi)作往復(fù)直線運動。假設(shè)初始時刻曲柄的端點Q位于水平線段 OP 上，曲柄從初始位置起轉(zhuǎn)動的角度為 ，連桿QP與OP的銳夾角為 (稱為擺角) 。 在機械設(shè)計中要研究滑塊的運動規(guī)律和擺角的變化規(guī)律，確切地說，要研究滑塊的位移、速度和加速度關(guān)于 的函數(shù)關(guān)系，擺角 及其角速度和角加速度關(guān)于的函數(shù)關(guān)系，進而 (1) 求出滑塊的行程，即滑塊往復(fù)運動時左右極限位置； (2) 求出滑塊的最大, 最小加速度(絕對值)，以了解滑塊在水平方向上的作用力； (3) 求出的最大, 最小加速度(絕對值)，以了解連桿的轉(zhuǎn)動慣量對滑塊的影響。 設(shè) 。 解 取O點為坐標原點，OP方向為x軸正方向，P在x軸上的坐標為x ，則， 。 (1) 由上式即可得出滑塊往復(fù)運動時左右極限位置。 由于 ，故有而 ，所以 (2) 由上式可求出滑塊的最大和最小加速度。又 ，得 ， (2) 由上式可求出 的最大和