1、中國古代歷法推算中的誤差思想空缺The Vacancy of Error Ideas about the Calculationof the Chinese Traditional Calendar北京天文館王玉民 Beijing Planetarium WANG Yu-min第1頁，共31頁。在科學研究中，對精度的追求是一項系統活動，具體在對天體運行規律的把握中，需要觀測精度、模型精度、計算精度的高度統一才能達到理想狀態。 第2頁，共31頁。古代歷法家由于缺少誤差思想的指導，在對觀測精度遠遠沒有達到、對天體運行的規律掌握尚有限的情況下，單純追求計算的高精度，以求修成的歷法“止于至善”。古人在

2、這方面付出的巨大努力多是徒勞無功的，因為計算結果比計算本身更重要，沒有意義的數字位數參與運算是一種資源的浪費。 第3頁，共31頁。主要論述3點：1 中歷是一種探索活動，很長的歷史時期內都在追求對“完美”天行的把握2 中歷一直對觀測精度、模型精度、計算精度的不統一認識不足3 古代不掌握近似計算的規律，使中歷的高精度僅流于表面和一廂情愿第4頁，共31頁。1 中歷是一種探索活動，很長的歷史時期內都在追求對“完美”天行的把握第5頁，共31頁。戰國秦漢時代的“四分歷”，認為一回歸年為365又1/4天，閏周為19年7閏，于是現代人根據這兩個數值替古人推出他們的一朔望月為29又499/940天，其實那時的歷

3、法家不可能測量出這么精確的朔望月平均數值，古人只是通過當時盡可能精密的觀測認為陰陽合歷有19年7閏的關系而已，這是古人對天體運行整除關系的一種良好設想。以這種設想為前提，實際上回歸年與朔望月長度是不能各自獨立確定的。第6頁，共31頁。上元積年的使用是古人追求對完美天行把握的最典型體現。上元是古代歷法家尋找的一個理想推算起點，他們相信，按照他們觀測獲知的日、月、五星的運行周期，疊加回推，最后總能找到一個理想時刻：這一刻是一個甲子日的夜半，又是日月合朔的時刻，又恰是太陽過冬至點，同時在冬至點發生罕見的“五星聯珠”（即五大行星在視線聚集于冬至點）。第7頁，共31頁。在對中國古代歷法的研究中，推算上元

4、積年的方法因為涉及解一次同余式，是數學史上的一大貢獻，被大加贊賞，但因其推算的思想不甚“科學”而經常被忽略或淡化。實際上，推算上元積年從方法和思想上都是古代歷法最核心的內容，今人研究發現，古人設定上元時并不完全是客觀運作的。 第8頁，共31頁。曲安京經過研究證實，古代推導上元積年時只用60干支周期、朔望月和回歸年長度進行推導。如果布列的同余式組無解，或求出的上元積年超過1億年，說明取的朔望月和回歸年長度“不合用”，需要用何承天調日法“設計”新的朔望月和回歸年長度，再重新計算，若所得結果小于1億年，說明該上元符合要求，于是定出上元和上元積年。至于恒星年、近點月、交點月、五行星會合周期等數值，按這

5、億年數量級的尺度作出調整，總是能找到一個既滿足上元起點、又非常符合今日位置的長度周期的。且不說取朔望月和回歸年長度也靠改換數字、閉門造車來遷就理想上元，就說恒星年、近點月、交點月、五行星會合周期等數據在上億年的漫漫歷史長河中一分配，雖然得到一個與當時觀測長度相近的值，但有沒有誤差，誤差究竟是多少，根本不去考慮，結果這些參數僅符合了當時和較近的過去，行用日久必然會不合天。第9頁，共31頁。上元積年本來是一種良好設想，但后來人們過分沉溺于這種設想，它就成了一種對理想的病態偏執和對精度的虛妄追求了，在這種追求過程中，歷法家不惜削足適履，將那些本該完全靠實測求出的天體運行周期人為改動。歸根到底這是古人

6、不懂得誤差出現的必然性和使用近似計算的必要性造成的，追求完美的結果是極度不完美歷法幾十年一換。第10頁，共31頁。2 中歷一直對觀測精度、模型精度、計算精度的不統一認識不足第11頁，共31頁。從科學的角度講，只有做到觀測精度、模型精度、計算精度的統一，才能編制出一部好的歷法來。按現代誤差理論，在科學研究中，定量的誤差主要有3種：1.觀測誤差。2.模型誤差。3.截斷和舍入誤差。 第12頁，共31頁。渾儀 的精度：唐和唐以前的儀器都以“度”為最小單位，觀測時僅可精確到半度，北宋期間才出現了度以下的單位“少”（1/4度）、“半”（ 1/2度）、“太”（3/4度），元代郭守敬的簡儀，刻度刻到1/10度

7、，可以估量到1/20度。 大多數朝代，觀測精度還是停留在“一度少弱，一度少強”的水平 。第13頁，共31頁。今人研究有時得出的古人觀測精度也是虛假的。唐梁令瓚在公元732年測的黃赤交角為24度，只精確到“度”。但被今人換算成現代度數，就成了233957，仿佛精確到了秒。然后與現代推算的當時黃赤交角理論值233620比，只差330，于是虛假的精度就出來了。第14頁，共31頁。隋代劉焯設立的太陽不均勻運動的模型 第15頁，共31頁。與此相比，古人在歷法的計算過程上一開始就追求高精度，而且越古，這種追求高精度的欲望就越強。唐及唐以前，天文歷算一直使用分數，今天的歷法史家經常把這些分數展成小數，然后把

8、古人追求的精度隨心所欲地定位在小數點后4位或7位上。實際上今人這樣做還是低估了古人的“志向”，古人對天體推算的目標是“絕對精確”，所以才使用分數，因為分數是實現這一目地的最好手段用今天的術語說，分數的有效數字是無窮多位，有真正理想的精確度。 第16頁，共31頁?，F代科學技術在誤差和近似理論的指導下，測量、模型和計算三者的精度可以在很高的水平上合理匹配?，F在，衛星導航的時間準確度要求在10納秒之內，而原子鐘完全可以做到這一點；對天體軌道的確定需要天文觀測的精度達到10的3次方角秒，現代大型的專業望遠鏡也完全可以做到這一點。當然，現代的巨型電子計算機的運算可以達到極高的精確度，比如可以把圓周率計算

9、到小數點后超過2.7萬億位（法國科學家2010年結果），但天文學家不可能用這樣的圓周率去進行天體軌道的計算，因為就現有的觀測、模型精確度來說，圓周率超出小數點后十幾位的計算，對精度的提高已經沒有任何幫助了。 第17頁，共31頁。3 古代不掌握近似計算的規律，使中歷的高精度僅流于表面和一廂情愿第18頁，共31頁。授時歷不用積年，一憑實測，故自元迄明，承用三四百年無大差，以視漢、晉、唐、宋之屢差屢改，不啻霄壤。故曰：授時集諸家之大成，蓋自西歷以前，未有精于授時歷者也。 梅文鼎 第19頁，共31頁。授時歷元、明共用382年，是歷代歷法中使用時間最長的一部。 但是，即使是在這樣一部優秀、自覺擯棄了完美

10、主義的上元積年觀念的歷法中，對誤差思想和近似計算也是相當忽視的。 第20頁，共31頁。授時歷以365.2425日為回歸年以365.2575度為周天（相當于恒星年）精度都是萬分之一日 朔望月（朔策）29.530593日，精度提高成百萬分之一日交點月（交終）27.212224日，精度也是百萬分之一日近點月（轉終）27.5546日，又降回萬分之一日 第21頁，共31頁。授時歷節氣長的確定：氣策歲實/24=15.2184375日，精度居然高到千萬分之一日，這是在回歸年（歲實）365.2425000日的假設下得出的，而那時對回歸年的測定不可能會到這樣高的精度，所以氣策這樣的高精度只有“數值至上”的意義而

11、沒有任何實際意義。 第22頁，共31頁?！安饺挣稹敝杏羞@樣的算式：每日定行度四正后每日行度日差計算時，原有的基數（行積度）取小數點后4位，“每日行度”取小數點后6位，“日差”則取小數后7位，精度不一，前后差了1000倍，相加時后者的高精度完全被前面的低精度吞沒。 第23頁，共31頁。再看“弧矢割圓術 ”：一周天度數為365.2575度，周天半徑為60.875度 “60.875度”的來歷：取圓周率為3，這樣365.25753=121.7525，原文為“徑121度七十五分少”，將“少”略去，成了121.75，取其半就成了60.875度。 第24頁，共31頁。在隨后的演算中，取黃赤大距為24度，與周

12、天半徑為60.875度相比，精度又陡降為“度”，按這極不準確的周天半徑和精度極低的黃赤大距推算，求出黃赤大股q56.0268度，黃赤大勾p23.8070度。 郭守敬實測的黃赤大距本為23.90度，如利用此值，同時求周天半徑時取3.1416，經計算可得q53.2880度，p23.2328度 第25頁，共31頁。在和白道有關的常數中，郭守敬又取黃白交角為6度，精度也降到了“度”。當白道降交點與春分點重合時，得出“半交”（最低點）在黃道外6度，在赤道內18度郭守敬甚至不顧實測的數，無意中又把前人“通約”的理想搬到了黃赤、黃白交角上。 第26頁，共31頁。有學者認為，郭守敬弧矢割圓術中的3不是圓周率，

13、是“會圓術” 里獨特的比率。因為弧矢割圓術、會圓術都是近似公式，公式中使用3代替圓周率，其最后結果與用現代三角學方法求出的相近，在特殊點甚至與現代值完全相等。第27頁，共31頁。那么，是否那些近似公式包含了的修正值？近似公式抵消了3為“圓周率”的部分誤差？但據筆者使用部分值驗算，如果用現代三角法算，即使圓周率用3，其結果仍比授時歷的方法精度高；另一方向，弧矢割圓術近似公式如果用更精確的值時，得到的值比用3精度更高，可見古率3并沒有起到修正作用。第28頁，共31頁。授時歷中推算過程的缺憾，都不是“瑕不掩瑜”所能開脫的，本來是孜孜以求精密的天文歷法計算上居然率意使用3為圓周率，不顧實測的數據把天體運行軌道交