1、賈光政 教授機械控制工程第二章 系統的數學模型大慶石油學院機械科學與工程學院2011年5月內 容 提 要熟悉典型線性環節的應用特性。了解物理系統在數學形式上的相似原理。 掌握控制系統微分方程的列寫方法；掌握非線性方程的線性化方法；掌握傳遞函數的定義、概念和性質；掌握典型線性環節的傳遞函數；掌握傳遞函數的方框圖繪制和等效變換方法與原則。定量描述系統的動態性能，揭示系統的結構、參數與動態性能的關系。系統數學模型的作用：分析法是根據系統和元件所遵循的有關定律來推到出數學表達式。建立系統數學模型的方法：實驗法是根據實驗數據進行整理，并擬合出比較接近實際系統的數學模型。2.1 系統的微分方程當系統的數學

2、模型能用線性微分方程描述時，該系統稱為線性系統。線性系統的輸入、輸出滿足疊加原理。1線性系統的疊加原理線性系統：線性系統基本特性：2.1 系統的微分方程1線性系統的疊加原理線性疊加原理：對一個線性系統，一個輸入的存在并不影響另一個輸入引起的輸出；當系統同時有多個輸入時，可以對每個輸入分別考慮，單獨處理以得到相應的每個輸出響應，然后將這些輸出疊加起來就得到系統的輸出響應。2.1 系統的微分方程1線性系統的疊加原理系統x1y1系統x2y2非線性系統x1+x2y1+y2線性系統x1+x2=y1+y22.1 系統的微分方程當系統的數學模型不能用線性微分方程描述時，該系統稱為非線性系統。非線性系統的輸入

3、輸出不滿足疊加原理。非線性系統：1線性系統的疊加原理2.1 系統的微分方程在工作點附近存在著不連續直線、跳躍、折線，以及非單值關系等嚴重非線性性質的非線性。本質非線性：死區、飽和、滯環、繼電器和摩擦力等1線性系統的疊加原理在工作點附近可用切線來代替，進行線性化處理的非線性。非本質非線性：2.1 系統的微分方程 （1）分析系統工作原理和系統中各變量間的關系，確定系統的輸入量及輸出量；（2）根據物理定律，依次列出系統中各部分的動力學方程；并將非線性方程線性化；2系統建模的一般步驟（3）消去各方程中的中間變量，求出描述系統輸入量與輸出量之間關系的微分方程；（4）整理微分方程，將與輸入有關的各項放在方

4、程右邊，與輸出有關的各項放在方程左邊，各階導數項按降冪排列。2.1 系統的微分方程舉例1: 兩個串聯的RC電路組成的濾波網絡u1R1C1R2i1i2C2u22系統建模的一般步驟2.1 系統的微分方程 確定輸入輸出：解：輸入u1，輸出u2。 根據克希霍夫電壓定律列出下列方程2系統建模的一般步驟2.1 系統的微分方程消去中間變量 i1，i2。 2系統建模的一般步驟整理微分方程 mkcy(t)f(t)2.1 系統的微分方程 3系統微分方程變量形式選擇舉例:2.1 系統的微分方程（1）以實際坐標作為變量 （2）以坐標的增量作為變量3微分方程變量形式選擇2.1 系統的微分方程ff0y0yyffy3微分方

5、程變量形式選擇2.1 系統的微分方程（3）以無量綱坐標作為變量3微分方程變量形式選擇2.1 系統的微分方程4系統元件間的負載效應對于由兩個物理元件組成的系統而言，若其中一個元件的存在，使另一個元件在相同輸入下的輸出受到影響，則有如一個對另一個施加了負載，這一影響稱為負載效應，或稱耦合。 負載效應(耦合)：m1k1y1(t)f(t)m2k2y2(t)2.1 系統的微分方程舉例2: 兩個由質量-彈簧串聯而成的振動系統4系統元件間的負載效應2.1 系統的微分方程 確定輸入輸出：解：輸入f，輸出y1或y2。 根據牛頓定律列出動力學方程4系統元件間的負載效應2.1 系統的微分方程消去中間變量y1或y2。

6、 4系統元件間的負載效應研究y1，消去y2: 研究y2，消去y1: 2.1 系統的微分方程整理微分方程 4系統元件間的負載效應對y1: 對y2: 2.1 系統的微分方程采用某種方法將非線性微分方程在一定條件下轉化為線性微分方程。在由控制系統的諸變量所決定的廣義坐標中，與系統預期工作狀態相對應的點。5系統非線性微分方程的線性化預期工作點：線性化：2.1 系統的微分方程非線性微分方程進行線性化的一個基本假設是變量偏離其預期工作點的偏差甚小。非線性微分方程進行線性化的基本工具是泰勒級數展開法5系統非線性方程線性化將具有兩個自變量 x 和 y 的非線性函數在預期工作點（x0，y0）鄰域展開成泰勒級數為

7、 2.1 系統的微分方程 ； 5系統非線性方程線性化非線性函數在預期工作點鄰域進行線性化的基本關系式 2.1 系統的微分方程5系統非線性方程線性化舉例3：液壓伺服系統 q1q2m回油高壓回油P1P2Ayxc2.1 系統的微分方程5系統非線性方程線性化符號意義：x：閥芯位移；y：活塞位移；A：活塞面積；c：粘性阻尼系數；q：負載流量，活塞帶動負載時進入或流出油缸的流量；p：負載壓降， p=p1-p2，活塞兩端單位面積上的壓力差；2.1 系統的微分方程 確定輸入輸出：解：輸入 x，輸出 y。 根據定律列出動力學方程連續方程牛頓定律5系統非線性方程線性化節流方程非線性方程2.1 系統的微分方程非線性

8、方程線性化將該非線性方程在預期工作點（x0，p0）鄰域進行小偏差線性化 Kq：流量增益，表示因閥芯位移引起的流量變化 Kc：流量-壓力系數，表示因壓力變化引起的流量變化 5系統非線性方程線性化2.1 系統的微分方程如當系統在預定工作條件（x0=0，p0=0）下工作，則液壓伺服系統流量方程線性化為 5系統非線性方程線性化2.1 系統的微分方程消去中間變量 q、 p5系統非線性方程線性化整理微分方程 2.1 系統的微分方程線性化表達式應用注意事項：， （1）必須明確系統的預定工作點，因為不同的工作點所得線性化方程的系數不同。（2）如果變量在較大范圍內變化，線性化數學模型在工作點外的其他工況會有較大

9、誤差。（3）如果非線性函數是不連續的，則在不連續點附近不能進行線性化，這類非線性稱為本質非線性。5系統非線性方程線性化2.1 系統的微分方程， （4）線性化表達式中的變量不是絕對量，而是增量；若是把預定工作點看作廣義坐標的原點，則有x0=0，p0=0，增量可寫為絕對量；而預定工作點不是廣義坐標的原點則是普遍情況。 5系統非線性方程線性化2.2 系統的傳遞函數 拉氏變換 拉氏變換的微分性質：2.2 系統的傳遞函數 拉氏變換 拉氏變換的積分性質：拉氏變換的終值定理：2.2 系統的傳遞函數 拉氏變換 常用拉氏變換：2.2 系統的傳遞函數 拉氏變換 常用拉氏變換：2.2 系統的傳遞函數 1傳遞函數 在

10、初始條件為零時，線性定常系統或元件輸出信號的Laplace變換（拉氏變換）與其輸入信號的Laplace變換之比，稱為該系統或元件的傳遞函數.（1）傳遞函數的定義G(s)Xi(s)Xo(s)2.2 系統的傳遞函數 G(s)Xi(s)Xo(s)1傳遞函數|定義2.2 系統的傳遞函數（2）傳遞函數的求取Laplace變換可得 設有線性定常系統，若輸入Xi(t)，輸出Xo(t)，系統微分方程為1傳遞函數2.2 系統的傳遞函數傳遞函數為 1傳遞函數|求取（3）傳遞函數的性質2.2 系統的傳遞函數 傳遞函數只與自身的結構有關，與系統的輸入、輸出形式無關。 傳遞函數的分母是系統的特征多項式，代表系統的固有特

11、性；分子代表輸入與系統的關系。1傳遞函數2.2 系統的傳遞函數 對于物理可實現系統，傳遞函數分母中s 的階數n 必不小于分子中s 的階數m，即 n m。 傳遞函數不代表描述系統的物理結構，物理性質不同的系統、元件,可以具有相同類型的傳遞函數。傳遞函數與系統的微分方程相聯系，兩者可以互相轉換。1傳遞函數|性質2.2 系統的傳遞函數傳遞函數G(s)的零點與極點與s 平面上一定的零極點圖相對應。 傳遞函數是系統單位脈沖響應w(t) 的拉氏變換。1傳遞函數|性質zi 及 pi 分別為傳遞函數G(s)的零點與極點；k為比例系數。 2.2 系統的傳遞函數 傳遞函數的概念只適用于單輸入-單輸出的線性定常系統

12、。 傳遞函數原則上只反映零初始條件下的動態特性。 （4）傳遞函數的局限性1傳遞函數2.2 系統的傳遞函數2開環與閉環傳遞函數 G(s)E(s)Xo(s)H(s)Xi(s)B(s)2.2 系統的傳遞函數（2）反饋傳遞函數H(s)定義為反饋信號B(s)與輸出Xo(s)之比 （1）前向通道傳遞函數G(s)定義為輸出Xo(s)與偏差E(s)之比2開環與閉環傳遞函數2.2 系統的傳遞函數（3）開環傳遞函數Gk(s) 定義為閉環系統的前向通道傳遞函數G(s)與反饋回路傳遞函數H(s)之乘積 ,或定義為反饋信號B(s)與偏差E(s)之比2開環與閉環傳遞函數2.2 系統的傳遞函數（4）閉環傳遞函數GB(s)定

13、義為閉環系統的輸出信號Xo(s)與輸入信號Xi(s)之比 2開環與閉環傳遞函數2.2 系統的傳遞函數3 典型環節的傳遞函數輸出量與輸入量成正比，不失真也不延時。比例環節：2.2 系統的傳遞函數比例環節舉例：三極管 齒輪副 3典型環節的傳遞函數運算放大器 2.2 系統的傳遞函數動力學方程為一階微分方程形式。慣性環節：3典型環節的傳遞函數2.2 系統的傳遞函數慣性環節舉例：3典型環節的傳遞函數阻尼-彈簧系統 阻容電路 u1RCi1u2kcxo (t)xi (t)2.2 系統的傳遞函數輸出正比于輸入的微分。微分環節：3典型環節的傳遞函數2.2 系統的傳遞函數微分環節舉例：3典型環節的傳遞函數微分運算

14、電路ui(t)uo(t)CR2.2 系統的傳遞函數3典型環節的傳遞函數微分環節對系統的控制作用如下： 使輸出提前，預測了輸入的情況，因而有可能對系統提前施加校正作用，提高系統的靈敏度。 增加系統的阻尼。 強化噪聲的作用，增大了因干擾引起的誤差。 2.2 系統的傳遞函數輸出正比于輸入的積分。積分環節：3典型環節的傳遞函數2.2 系統的傳遞函數積分環節：3典型環節的傳遞函數xi(t)xo(t)tT0積分環節輸入輸出關系x(t)2.2 系統的傳遞函數積分環節舉例：3典型環節的傳遞函數水箱液位h與流量Q的關系Q1(t)負載閥Q2(t)控制閥h(t)2.2 系統的傳遞函數積分環節舉例：3典型環節的傳遞函

15、數電路的有源積分網絡ui(t)uo(t)CR2.2 系統的傳遞函數振蕩環節：3典型環節的傳遞函數2.2 系統的傳遞函數振蕩環節舉例：3典型環節的傳遞函數uiLRiLiCCuoiR2.2 系統的傳遞函數是輸出滯后輸入時間，但不失真地反映輸入的環節延時環節：3典型環節的傳遞函數2.3 系統的傳遞函數方框圖及其簡化 1系統的傳遞函數方框圖一個系統可由若干個環節組成，將這些環節的傳遞函數以方框表示，其間用相應的變量聯系起來，就構成系統的傳遞函數方框圖。系統方框圖具體而形象地表示了系統內部各環節的數學模型、各變量之間的相互關系以及信號流向。 2.3 系統的傳遞函數方框圖及其簡化 函數（元件）方框: 函數

16、方框是傳遞函數的圖解表示。圖中指向方框的箭頭表示輸入的拉式變換；離開方框的箭頭表示輸出的拉式變換；方框中表示的是該輸入輸出之間的環節的傳遞函數。（1）方框圖的結構要素G(s)Xi(s)Xo(s)1系統的傳遞函數方框圖2.3 系統的傳遞函數方框圖及其簡化 相加點（比較點）：相加點是信號之間代數求和運算的圖解表示。每一個指向相加點的箭頭表示一個輸入信號（信號有+、-），離開相加點的箭頭表示一個輸出信號；相加點處的信號量綱必須相同；相加點可以有多個輸入，但輸出是唯一的。（1）方框圖的結構要素A-B+CCBA1系統的傳遞函數方框圖2.3 系統的傳遞函數方框圖及其簡化 （1）方框圖的結構要素 分支點（引

17、出點）：分支點表示同一信號向不同方向的傳遞。分支點引出的信號量綱相同、數值相同。X(s)X(s)X(s)1系統的傳遞函數方框圖2.3 系統的傳遞函數方框圖及其簡化 （2）系統方框圖的建立 建立系統或元件的原始微分方程。 按照信號在系統中傳遞、變換的過程，依次將各傳遞函數方框圖連接起來，系統輸入置于左端，輸出置于右端，便得到系統的傳遞函數方框圖。 對這些原始微分方程進行拉式變換，并根據各拉式變換中的因果關系繪出相應的方框圖。1系統的傳遞函數方框圖舉例1：液壓伺服系統 連續性方程力平衡方程流量方程拉氏變換：2.3 系統的傳遞函數方框圖及其簡化 1系統的傳遞函數方框圖X(s)KqQ(s)KqP(s)

18、Y(s)P(s)Q(s)Y(s)2.3 系統的傳遞函數方框圖及其簡化 1系統的傳遞函數方框圖X(s)KqKqP(s)Q(s)Y(s)傳遞函數：2.3 系統的傳遞函數方框圖及其簡化 1系統的傳遞函數方框圖舉例2：RLC電路uiLRiLiCCuoiR拉氏變換：1系統的傳遞函數方框圖Ui(s)Uo(s)LsIL(s)Uo(s)IR(s)2.3 系統的傳遞函數方框圖及其簡化 Ic(s)IL(s)IR(s)csUo(s)IC(s)1系統的傳遞函數方框圖2.3 系統的傳遞函數方框圖及其簡化 Ui(s)Uo(s)LsIL(s)Ic(s)IR(s)cs傳遞函數：1系統的傳遞函數方框圖2.3 系統的傳遞函數方框

19、圖及其簡化1系統的傳遞函數方框圖（3）傳遞函數方框圖的優點 可以形象地表示系統內部的情況及各環節、各變量之間的關系。 可以由局部環節的傳遞函數方框聯成整個系統的方框圖，再將方框圖簡化，就易于寫出整個系統的傳遞函數。 可以揭示和評價每個環節對系統的影響。（1）串聯環節的等效變換規則 2.3 系統的傳遞函數方框圖及其簡化2方框圖的等效變換 G2(s)Xo(s)Xi(s)G1(s)X (s)Xo(s)Xi(s)G1(s) G2(s)等效環節串聯的等效傳遞函數等于各串聯環節的傳遞函數之積。（2）并聯環節的等效變換規則 2.3 系統的傳遞函數方框圖及其簡化Xo(s)Xi(s)G1(s) G2(s)等效G

20、1(s)G2(s)Xo(s)Xi(s)Xo1(s)Xo2(s)2方框圖的等效變換（2）并聯環節的等效變換規則 2.3 系統的傳遞函數方框圖及其簡化2方框圖的等效變換環節并聯的等效傳遞函數等于各并聯環節的傳遞函數之和。2.3 系統的傳遞函數方框圖及其簡化X2(s)X3(s)G(s)X1(s)X2(s)X3(s)G(s)X1(s)G(s)等效2方框圖的等效變換（3）分支點移動規則 分支點前移：若分支點由方框之后移到方框之前，則必須在分支路上串入具有相同傳遞函數的方框。2.3 系統的傳遞函數方框圖及其簡化X2(s)X3(s)G(s)X1(s)等效X2(s)X3(s)G(s)X1(s)1 G(s)2方

21、框圖的等效變換（3）分支點移動規則 分支點后移：若分支點由方框之前移到方框之后，則必須在分支路上串入具有相同傳遞函數的倒數的方框。2.3 系統的傳遞函數方框圖及其簡化X3(s)X2(s)G(s)X1(s)X3(s)X2(s)G(s)X1(s)G(s)等效2方框圖的等效變換（4）相加點移動規則相加點后移：若相加點由方框之前移到方框之后，則必須在移動的支路上串入具有相同傳遞函數的方框。2.3 系統的傳遞函數方框圖及其簡化等效X3(s)X2(s)G(s)X1(s)X2(s)1 G(s)X3(s)G(s)X1(s)2方框圖的等效變換（4）相加點移動規則相加點前移：若相加點由方框之后移到方框之前，則必須

22、在移動的支路上串入具有相同傳遞函數的倒數的方框。2.3 系統的傳遞函數方框圖及其簡化AA-BBCA-B+CAA+CCBA-B+C等效2方框圖的等效變換（5）其它一些簡化規則 相加點可以前后交換2.3 系統的傳遞函數方框圖及其簡化ABCA-B+CAA-BBA-B+CC等效2方框圖的等效變換（5）其它一些簡化規則 相加點可以分開，先后相加，結果不變2.3 系統的傳遞函數方框圖及其簡化G2AG1G2AG1AG1G1AG1G2AG2AG2等效2方框圖的等效變換（5）其它一些簡化規則 對串聯的方框，如果中間沒有相加點或分支點，可以前后交換2.3 系統的傳遞函數方框圖及其簡化AA-BBA-BAA-BBA-

23、BB等效2方框圖的等效變換（5）其它一些簡化規則 分支點移到相加點之前，必須在移動的分支路上補上相加點2.3 系統的傳遞函數方框圖及其簡化G1G2AG1+AG2AAG1AG2G1AG1+AG2AG21G2等效2方框圖的等效變換（5）其它一些簡化規則 相加點在后時，可按圖將并聯方框圖化為單位并聯方框圖2.3 系統的傳遞函數方框圖及其簡化等效G1G2AAG11+G1G22方框圖的等效變換（5）其它一些簡化規則 相加點在前時，可按圖將反饋方框圖化為單位反饋方框圖1G2G1G2AG11+G1G2A2.3 系統的傳遞函數方框圖及其簡化2方框圖的等效變換（6）方框圖簡化過程中的兩條原則 各反饋回路開環傳遞

24、函數的乘積必須保持不變。 前向通道中傳遞函數的乘積必須保持不變。舉例：系統傳遞函數方框圖如下，試進行等效變換后求系統傳遞函數。 2.3 系統的傳遞函數方框圖及其簡化E(s)G2G1XiG3H1H2B(s)Xo2方框圖的等效變換分支點后移 2.3 系統的傳遞函數方框圖及其簡化2方框圖的等效變換E(s)G2G1XiG3H1H2B(s)Xo1/G3E(s)G1XiH1/G3B(s)XoG2 G31+G2G3H2反饋回路簡化 2.3 系統的傳遞函數方框圖及其簡化2方框圖的等效變換反饋回路簡化 E(s)XiB(s)XoG1G2 G31+G2G3H2-G1G2H1反饋回路簡化 XiXoG1G2 G31+G

25、2G3H2-G1G2H1+G1G2G3當整個系統方框圖具備兩個條件： 整個系統方框圖只有一條前向通道； 各局部反饋回路間存在公共的傳遞函數方框圖； 2.3 系統的傳遞函數方框圖及其簡化注意：在相加點處，對反饋信號相加時取負號；對反饋信號相減時取正號。 2方框圖的等效變換則含有多個局部反饋的系統閉環傳遞函數為 2.3 系統的傳遞函數方框圖及其簡化舉例1：系統傳遞函數方框圖如下，求系統傳遞函數。 2方框圖的等效變換G1XiG2H1XoH22.3 系統的傳遞函數方框圖及其簡化2方框圖的等效變換G2G1XiH1H2Xo舉例2：系統傳遞函數方框圖如下，求系統傳遞函數。 2.3 系統的傳遞函數方框圖及其簡化2方框圖的等效