1、第19講 利用傳統方法找幾何關系建系一解答題（共20小題）1如圖：長為3的線段與邊長為2的正方形垂直相交于其中心（1）若二面角的正切值為，試確定在線段的位置；（2）在（1）的前提下，以，為頂點的幾何體是否存在內切球？若存在，試確定其內切球心的具體位置；若不存在，請說明理由【解答】解：（1）取線段的中點為點，連接，由于四邊形是正方形，為其中心，所以，又面面，所以，而，所以面，面，所以，同理可以證出，為二面角的平面角，設，則且在中，同理在中，由，得：故在線段上的靠近點的三分點位置；（2）幾何體存在內切球，令球心為，若設線段的中點為點，內切球的半徑為，由對稱性可知：平面四邊形的內切圓的圓心為，半徑即

2、為，故，而，所以，得由三角形相似有：所以故其內切球心在點距離為的位置上（注：也可用分割體積法求2在四棱錐中，為棱的中點，平面，為棱的中點（）求證：平面；（）若二面角為，求直線與平面所成角的正切值【解答】解：（） 證明：連接交于點，連接，且，又，線段是的中位線，面，面，面；（），四邊形是平行四邊形，又，四邊形是矩形，；又平面，；以為坐標原點，為，軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，設，則，0，0，0，2，1，0，1，；設平面的一個法向量為，由，得；令，得，取平面的一個法向量為，0，；，由二面角為，得，解得；平面，就是直線與平面所成角，在中，直線與平面所成角的正切值為3如圖（1），在等腰梯形中，是梯

3、形的高，現將梯形沿，折起，使且，得一簡單組合體如圖（2）示，已知，分別為，的中點（）求證：平面；（）若直線與平面所成角的正切值為，則求平面與平面所成的銳二面角大小【解答】證明：（）連，四邊形是矩形，為中點，為中點在中，為中點，故平面，平面，平面（）依題意知，且平面，在面上的射影是就是與平面所成的角故在中：設且，分別以，所在的直線為，軸建立空間直角坐標系，則設分別是平面與平面的法向量令，即取則平面與平面所成銳二面角的大小為4三棱柱中，側面為矩形，二面角的正切值為（）求側棱的長；（）側棱上是否存在點，使得直線與平面所成角的正切值為，若存在，判斷點的位置并證明；若不存在，說明理由【解答】解：（）取的

4、中點，的中點，則四邊形為平行四邊形，側面為矩形，平面，則，則 是二面角的平面角，則，則，設，又，在中，即，平方整理得，得或（舍，即側棱的長為2；（）建立以為坐標原點，分別為，軸的空間直角坐標系如圖：過作底面，則，則，則，0，0，則，設平面的法向量為，由，則，令，則，即，0，0，設，0，0，與平面所成角的正切值，即，平方得，得，即在處即在側棱上存在點，使得直線與平面所成角的正切值為5如圖，在四棱錐中，底面四邊形內接于圓，是圓的一條直徑，平面，是的中點，（1）求證：平面；（2）若二面角的正切值為2，求直線與平面所成角的正弦值【解答】（1）證明：，是的中點，是的中點，是的中位線，平面平面，平面，平面

5、，平面；（2）是圓的一條直徑，平面，則平面，則，則是二面角的平面角，若二面角的正切值為2，則，即，建立以為坐標原點，垂直于平面的直線分別為，軸的空間直角坐標系如圖：則，0，0，則，0，設平面的法向量為，則，即，令，則，即，0，則直線與平面所成角的正弦值，6如圖，四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，且，平面平面，點，為棱，中點，二面角的平面角的余弦值為（1）求棱的長；（2）求與平面所成角的正切值【解答】解：（1）如圖，取中點，連接，底面是邊長為2的菱形，且，平面，為的中點，平面平面，平面，建立如圖所示的坐標系，設，平面的法向量為，則，1，取，取平面的法向量為，0，則，；（2）平面的法向量為，0，設與

6、平面所成角為，則，7在如圖所示的幾何體中，平面平面，四邊形為平行四邊形，（）求證：；（）求平面與平面所成的銳二面角的正切值；（）若點在線段上，求直線與平面所成的角的正弦值的取值范圍；并求該正弦值取最大值時，多面體的體積【解答】證明：平面平面，平面平面，平面，平面，結合平面，得，中，即，平面；平面，建立如圖空間直角坐標系，則，則由題意得，0，0，0，2，2，2，4，1，設平面的法向量為，由，得，令，則，即，1，設平面的法向量為，由，得，則，則，即，1，則，即平面與平面所成的銳二面角的正切值為（3）由題設則，由（2）知平面的法向量，1，設與平面所成的角為，則，當時，當時，直線與平面所成的角的正弦值

7、的取值范圍為，當時，此時與重合平面，四邊形為平行四邊形，故平面，多面體的體積8如圖，在多面體中，側面底面，四邊形是矩形，（1）求證：；（2）當二面角的正切值為2時，求的值【解答】解：（1）證：由題意，取的中點為，連接，由于，可得出，且，所以， 又在多面體中，側面底面，四邊形是矩形，面，又面，即是矩形，所以，即可得，連接，由于，是中點，故，由線面垂直的判定定理可以得出面，又面，故可得；（2）設，平面的一個法向量為，則，取，1，設平面的一個法向量為，所以，則，取，二面角的正切值為2，二面角的余弦值為，即，解得：，9如圖，已知五面體，其中內接于圓，是圓的直徑，四邊形為平行四邊形，且平面（）證明：（）

8、若，且二面角所成角的正切值是2，試求該幾何體的體積【解答】（）證明：是圓的直徑，又平面，又，平面，又平面，（）解：設，以，所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，如圖所示則，0，0，0，由（）可得，平面，平面的一個法向量是，設，為平面的一個法向量，由條件得，0， 即， 不妨令，則，又二面角所成角的正切值是2，解得該幾何體的體積是810如圖所示，平面，為等邊三角形，為中點（）證明：平面；（）若與平面所成角的正切值為，求二面角的正切值【解答】（）證明：因為為等邊的邊的中點，所以依題意，且、四點共面，所以 分又因為平面，平面，所以平面 分（）解：因為，所以平面，故與平面所成的角即為分不妨設，則

9、由于，所以分（方法一）在等腰中，過點作于點，再在中作于點（圖1所示）因為，所以平面，可得又，所以即為二面角的平面角 分由題意知，所以，即二面角的正切值是分（方法二）以點為坐標原點，為軸，建立如圖2所示的空間直角坐標系則，0，0，0，則，若設，和，分別是平面和平面的法向量，則，可取同理，得，分所以，故二面角的余弦值是，其正切值是分11在等腰梯形中，分別是，的中點，現將梯形沿折起，并記平面與平面所成二面角的平面角為，中點為（1）當時，求證：平面；（2）當三棱錐的體積取得最大值時，求與平面所成角的正切值【解答】解：（），是二面角與平面的平面角，即，為等邊三角形又為的中點，所以在等腰梯形中，、分別是、

10、的中點，于是，則平面，又與交于一點，平面（2）的面積是個常數，要使三棱錐的體積取得最大，則只需到平面的距離最大，即平面即可，此時平面平面，平面，就是與平面所成的角，則，則，即12已知直角三角形，分別是，上的動點，且，將沿折起到位置，使平面與平面所成的二面角的大小為，設，（1）若且與平面所成的角的正切值為，求二面角的大小的正切值；（2）已知，為的中點，若，求的取值【解答】解：（1）由題意，平面，為直線與平面所成的角，設，與平面所成的角的正切值為，即為的中點，在圖1中，設在上的射影為，則，為二面角的平面角，二面角的大小的正切值為；（2），為的中點，又為的中點，又，故是等邊三角形，故13已知和是兩個

11、有公共斜邊的直角三角形，并且，（1）若是邊上的一點，當的面積最小時，求二面角的平面角的正切值；（2）能否找到一個球，使，都在該球面上，若不能，請說明理由；若能，求該球的內接圓柱的表面積的最大值【解答】解：（1）取之中點為，連接，則，又，則，在中，則，且，在中，則，又，且，平面，則平面作于，于，連，平面，得，則是二面角的平面角，設，時，最小，此時，則，過點做于，連接，得，則是二面角的平面角，因為之中點，且，則，設二面角的平面角為，則，即二面角的平面角的正切值為（2）取中點，和是兩個有公共斜邊的直角三角形，則，則存在以為球心，半徑的球，設該球的內接圓柱的底面半徑為，高為，則有令，所以該球的內接圓柱

12、的表面積的最大值為14如圖，已知四棱錐，底面為菱形，平面，分別是，的中點（）證明：平面；（）若為上的動點，與平面所成最大角的正切值為，求二面角的余弦值【解答】（）證明：由四邊形為菱形，可得，為正三角形因為為的中點，所以（2分）又，因此因為平面，平面，所以（4分）而，所以平面（5分）（）解：設為上任意一點，連接、由（）知：平面則為與平面所成的角（7分）在中，所以當最短時，最大，（8分）即當時，最大，此時因此又，所以，于是（10分）因為平面，平面，所以平面平面過作于，則由面面垂直的性質定理可知：平面，所以，過作于，連接，平面，所以，則為二面角的平面角（12分）在中，又是的中點，且在中，又（13分）

13、在中，即二面角的余弦值為（14分）15在三棱錐中，平面，點在棱上，且（1）試證明：面；（2）若，過直線任作一個平面與直線相交于點，得到三棱錐的一個截面，求面積的最小值；（3）若，求二面角的正弦值【解答】（1）證明：平面，平面，又，平面，平面，面（2）解：當時，面積最小，此時設，以為原點，過在平面內作有垂線為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，0，解得，面積的最小值為（3），設平面的法向量，則，取，得，1，又平面的法向量，0，設二面角的平面角為，則，二面角的正弦值為16如圖1所示，在邊長為12的正方形中，點，在線段上，且，作，分別交，于點，作，分別交，于點，將該正方形沿，折疊，使得與重合，構成如

14、圖2所示的三棱柱（1）求證：平面；（2）若點為四邊形內一動點，且二面角的余弦值為，求的最小值【解答】解：（1）在正方形中，三棱柱的底面三角形的邊，四邊形為正方形，而，平面（4分）（2），兩兩互相垂直以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，0，0，0，3，7，設平面的一個法向量為，則由，令，得所以設點，則，設平面的法向量，由，得，二面角的余弦值為，得：的最小值為點，到線段： 的距離（13分）17如圖，在邊長為4的菱形中，點、分別在邊、上，點與點、不重合，沿將翻折到的位置，使平面平面，點滿足（1）求證：平面；（2）求的最小值，并探究此時直線與平面所成的角是否一定大于？【解答】（1）證明：菱形的

15、對角線互相垂直，平面平面，平面平面，且平面，平面，平面，平面（2）如圖，以為原點，建立空間直角坐標系設，因為，所以為等邊三角形，故，又設，則，所以，0，0，2，故，2，所以當時，此時，設平面的法向量為，則，取，解得：，所以設點的坐標為，0，則，0，0，所以，設直線與平面所成的角，又，因此直線與平面所成的角大于，即結論成立18在中，分別為，邊上的點，且，沿將折起（記為，使二面角為直二面角（1）當點在何處時，的長度最小，并求出最小值；（2）當的長度最小時，求二面角的大小【解答】解：（1），為二面角的平面角，設，則當時，即為中點，此時為中點時，有最小值（2）過 作于，連接，是二面角的平面角，二面角的大小為19如圖，在四棱錐中，面，四邊形是菱形，是上任意一點（1）求證：；（2）當面積的最小值是9時，求的長（3）在（2）的條件下，在線段上是否存在點，使與面所成角的正切值為2？若存在，求出的值，若不存在，說明理由【解答】解：（1）面，四邊形是菱形，面（2）設與交點為，由（1）知，當面積的最小值是9時，取得最小值3在中，當時，最小，此時由得，解得（3）以點為坐標原點，所在直線分別為軸、軸，建立空間直角坐標系，則而而面的法向量由已知得，解得存在靠近點的三等分點滿足題意20如圖，在四棱錐中，底面為菱形，平面，分別是，的中點（）證明：；（）設為線段上的動點，若線段長的最