1、第三章 點、直線、平面的投影吉林建筑工程學院畫法幾何及建筑工程制圖3-1 點的投影3-2 直線的投影3-4 兩直線的相對位置3-5 平面的投影3-3 一般位置直線的實長及其與投影面的傾角Yababab 3-1 點的投影 一、點的三面投影（立體圖） 點是構成立體的最小幾何元素。 畫法幾何及建筑工程制圖a 點A的水平投影a 點A的正面投影a 點A的側面投影OYXZWVHaa AaYaZaXa 展開YHWOXZVHYWa a aa Xa Za Y一、點的三面投影（投影圖）畫法幾何及建筑工程制圖點的三面投影特性：1.點的正面投影和水平投影連線必垂直于OX軸，即aaOX軸。展開后點的三面投影:a Xa

2、Ya Za Yaa a YHYWOXZ2.點的正面投影和側面投影連線必垂直于OZ軸，即aaOZ軸。 3.點的水平投影到OX軸的距離等于該點的側面投影到OZ軸的距離，即aa X aa Z 。a YYHYWOXZVWHaa Xa Za a a Y一、點的三面投影畫法幾何及建筑工程制圖b bb YHYWOXZ【例31】已知點B的兩面投影，求第三面投影。45bbXZYHYWOb方法一： 利用45輔助線方法二： 利用特性3：bbXbbZbXbZOYXZWVHA(X,Y,Z)aaaayaxa Z畫法幾何及建筑工程制圖二、點的投影與直角坐標的關系 把三面投影體系看成是直角坐標系，則點A的空間位置可由它到三個

3、投影面的距離，也就是它的三個坐標來確定。記為A(X,Y,Z)，三個投影的坐標分別為a(x,y)，a(x,z)，a(y,z)，坐標值單位為mm。如下圖：XYZ立體圖XYZ XA =|A W|=aaY=aaZ ；投影與坐標的關系 YA =|A V|=aax=aaz； ZA =|A H|=aaX=aaY。 a Z投影圖aa Xa a Ya Ya YHYWOXZ(x,y)(x,z)(y,z)畫法幾何及建筑工程制圖二、點的投影與直角坐標的關系立體圖投影圖【例32】 空間點的坐標A（10，5，20）、B（20，0，5）、 C（ 0, 10 ,0，），求作三點的立體圖和三面投影圖。OYXZWVHaaaA(1

4、0,5,20)bbbB(20,0,5)cccC(0,10,0)a aa 投影面上的點投影軸上的點空間一般點YWYHOXZbbbccc三、兩點的相對位置和重影點畫法幾何及建筑工程制圖1點與點的相對位置 指空間點之間的左右、前后、上下的位置關系。上下左右左右前后上下前后 H投影反映左右、前后關系； V投影反映左右、上下關系； W投影反映前后、上下關系。見右圖： A點在 S點之左、后、下方； B點在A點之右、前方； B點在S點之前、下方； C點在A點的正右方！A點與C點的相對位置如何？OYXZWVH畫法幾何及建筑工程制圖三、兩點的相對位置和重影點請分析下圖中A、B、C、D的相對位置，并標出重影點的投

5、影。YHYWOXZA、B為H面重影點，a在上、b在下，記為 a(b)。 A、C為V面重影點，a在前、c在后，記為 a(c)。A、B為W面重影點，a在左、b在右，記為 a(b)。(c)(d)投影圖YHXOZYWAa (c)a(b)CBba(d)cbcDdda(b)cababdcdabcdabcdabc(d)XZY畫法幾何及建筑工程制圖 3-2 直線的投影ABCDOYHYWXZaaabbbc(d)ccdd立體圖投影圖立體上的直線 請分析AB、BC、CD這三段直線的空間位置和投影特點有何不同？展開畫法幾何及建筑工程制圖直線的投影一、直線的分類直線一般位置直線特殊位置直線與三個投影面都傾斜的直線(簡稱

6、一般線)。投影面平行線投影面垂直線僅平行于一個投影面的直線。垂直于一個投影面的直線。( H：水平線；V：正平線；W：側平線)( H：鉛垂線；V：正垂線；W：側垂線)abcdabcdabc(d)XZYABCD一般線 側平線側垂線立體表面上何種位置直線？畫法幾何及建筑工程制圖1. 投影面的平行線立體上的投影面平行線OYXZWVHABCabcabc正平線 ABV 面水平線 BCH 面側平線 ACW 面abc它們的投影有何特性？二、直線的投影特性水平線投影特性：（1）直線的水平投影反映直線的實長，且反映、角的實形；（2）直線的V投影（ab）平行OX軸，W投影（ab ）平行OYW軸,均小于實長。畫法幾何

7、及建筑工程制圖投影面平行線的投影：Za ababOXYWYHOYXZWVHababab水平線bOYXZWVHa bab畫法幾何及建筑工程制圖ba正平線正平行投影特性：（1）直線的正面投影反映直線的實長，且反映、角的實形； （2）直線的H投影（ab）平行ox軸，W投影（ab ）平行oz軸,均小于實長。abaABabb畫法幾何及建筑工程制圖OYXZWVHeeffefef側平線f側平行投影特性：（1） （ab ）側平面投影反映直線的實長，且反映、角的實形； （2）直線的V、H投影（ef、ef）都垂直ox軸，均小于實長。EFeef畫法幾何及建筑工程制圖2. 投影面的垂直線OYXZWVHABCDa(b)

8、ababcc(c)(d)dd立體上的投影面垂直線 鉛垂線 ABH 面正垂線 ACV 面側垂線 ADW 面它們的投影有何特性？畫法幾何及建筑工程制圖投影面垂直線的投影畫法幾何及建筑工程制圖投影面垂直線的兩面投影圖:c(d)cda(b)abe fe f鉛垂線正垂線側垂線投影特性：（1）在所垂直的投影面上的投影積聚為一點（積聚性）； （2）另外兩面投影同時平行于同一投影軸，且反映實長 （顯實性）。畫法幾何及建筑工程制圖3.一般位置直線YabababOYXZbabaab立體上的一般 位置直線一般線的投影和傾角直線與H面的傾角直線與V面的傾角直線與W面的傾角畫法幾何及建筑工程制圖abbaabXZYHYW

9、OYabababO一般位置直線的投影：投影特性：（1）三面投影均傾斜于投影軸； （2）投影長度都小于實長； （3）傾角的投影都不反映實形。 從直觀圖中分析投影長、實長、傾角之間有何聯系？畫法幾何及建筑工程制圖三、直線上的點YabababOCcccabbaabXZYHYWO投影特性：（1）點的投影必在直線的同面投影上（從屬性）； （2）點分直線所成的比例投影后保持不變（定比性）。 如下圖：AC/CB=ac/cb=ac/cb=ac/cb.ccc畫法幾何及建筑工程制圖【例33】 點K在側平線AB上,已知點K的正面投影k,求k。(教材21頁） 已知 作圖一 ababXOkababXOkababXOk作

10、圖二 k作圖步驟:作圖一：根據定比性 ak/kb=ak/kb, 在H面投影上用定比法作出;作圖二：先補出直線的側面投影,再根據從屬性，利用線上定點的方法求出。kkab任意位置平行畫法幾何及建筑工程制圖【例34】已知點K在水平線MN上,點K到V面的距離為15mm,求點K的 兩面投影。(教材21頁） m nmnm nmn已知 作圖 15kk作圖步驟:在H面上作與OX軸相距為15mm的平行線,該平行線與mn的交點為k；自k向上引投影線,在直線的正面投影mn上求出k。ZAB畫法幾何及建筑工程制圖 3-3 一般位置直線的實長及其與投影面的傾角OXZABababYABABababB1A1baabbZAB實

11、長YABab實長省略畫圖ZAB畫法幾何及建筑工程制圖35mmbaab【例35】已知AB=35mm及a和ab,求ab。ZABYAB畫法幾何及建筑工程制圖aa【例36】已知AB=35mm、30、 45及A點的投影，求AB的水平投影ab和正投影ab。ZAB35mmababbb畫法幾何及建筑工程制圖 3-4 兩直線的相對位置平行相交交錯一般相交垂直相交一般交錯垂直交錯立體表面相對位置不同的直線ABCDEFGHL平行(BF與LH)垂直交錯(BC與GE)相交(AB與AC)兩直線的相對位置OX畫法幾何及建筑工程制圖一、兩直線平行ababCDcdcdAabcYHYWXZOaabbccddd判別方法：若兩條直線

12、同面投影平行，則這兩條直線就 平行。 如果ABCD, 則 abcd, abcd, abcd； 畫法幾何及建筑工程制圖例1判斷圖中兩條直線是否平行。 對于一般位置直線，只要有兩個同面投影互相平行，空間兩直線就平行。AB/CDabcdcabdX畫法幾何及建筑工程制圖bdcacbaddbac 對于側平線，只有兩個同面投影互相平行，空間直線不一定平行。AB與CD不平行。例2判斷圖中兩條直線是否平行。XZoYHYW必須求出兩直線的側投影，看是否平行。畫法幾何及建筑工程制圖abcdbacdkkX二、兩直線相交判別方法：(1)若空間兩直線相交，則其同面投影必相交。 (2)交點的V投影與H投影連線必垂直ox軸

13、。HVABCDKabcdkabckdX交點是兩直線的共有點交點連線垂直OX軸畫法幾何及建筑工程制圖 三、兩直線交錯OXababcdc3 (4)dCDA43121(2)bacdbacdH面重影點投影特性：（1）既不平行，又不相交。 （2）同面投影有時相交，但投影的交點連線不垂直投影軸。1(2)12343 (4)V面重影點畫法幾何及建筑工程制圖ababcdcd【例36】 判斷下圖中直線AB、CD是否相交。同面投影相交交點的投影連線垂直于OX軸結論 ： AB與CD相交判斷方法： 將兩直線的同面投影延長后，檢查是否相交。畫法幾何及建筑工程制圖【例37】 判斷下圖中直線AB、CD是否相交。aabbcdc

14、daabbcdcd方法一：補W投影方法二：定比法acdb結論 ： AB與CD不相交畫法幾何及建筑工程制圖【例38】 作一水平線MN與H面相距15mm，并與AB、CD相交。15mmabcdmnamdcbn畫法幾何及建筑工程制圖 四、兩直線垂直OXababccCABOXababccCAB 1. 垂直兩直線同時平行于某投影面時，它們在該投影面的投影反映直角實形。 2. 垂直兩直線中有一條直線平行于某投影面時，它們在該投影面的投影也反映直角實形。問題：空間兩直線垂直，其投影是否還垂直？畫法幾何及建筑工程制圖兩直線垂直 垂直兩直線中有一條直線平行于水平面，它們在該投影面的投影也反映直角實形。ababcc

15、OXababccCAB證明：BCAB BCBb(BC是水平線） BC平面Abba, 又BCbc bc平面Abba, bcab 畫法幾何及建筑工程制圖 垂直兩直線中有一條直線平行于某投影面時，它們在該投影面的投影反映直角實形。(a)與水平線垂直相交(b)與水平線垂直交錯(c)與正平線垂直相交(d)與正平線垂直交錯acabbc(a)(b)a(c)abbcdd(c)abbcacddabbcac(d)直角投影定理:畫法幾何及建筑工程制圖練習：判斷下圖中兩直線AB與CD的相對位置。（習題集19頁） dabcabc(1)dabcabcd(2)abcdabc(3)垂直相交垂直相交相交(不垂直)畫法幾何及建筑

16、工程制圖練習：判斷下圖中兩直線AB與CD的相對位置。（習題集19頁） abcabc(4)ddcabcab(5)(6)aabcdbcd垂直交錯相交(不垂直)垂直相交畫法幾何及建筑工程制圖作圖練習1.求點M到直線AB的距離。abmmbann距離的投影2.求兩直線AB、CD之間的距離。abanmbcC (d)dm(n)距離的實長畫法幾何及建筑工程制圖 3-5 平面的投影一、 平面的表示法不在同一直線上的三個點直線及線外一點兩平行直線平面圖形兩相交直線畫法幾何及建筑工程制圖一般位置平面特殊位置平面與三個投影面都傾斜的平面(簡稱一般面)。投影面平行面投影面垂直面平行于一個投影面的平面。僅垂直于一個投影面

17、的平面。( H：水平面；V：正平面；W：側平面)( H：鉛垂面；V：正垂面；W：側垂面)二、平面的分類根據平面對于三投影面的位置不同可分為兩大類：畫法幾何及建筑工程制圖三、平面的投影特性1.水平面OYZpppPYHYWOXZppp投影特性：（1）水平投影p反映實形；（2）正投影p積聚成直線，且平行于OX軸；側投影p積聚成直線，且平行于OYW軸。畫法幾何及建筑工程制圖2.正平面 YZpppPYHYWOXZppp投影特性：（1）正面投影p反映實形；（2）水平投影p積聚成直線，且平行于OX軸；側投影p積聚成直線，且平行于OZ軸。畫法幾何及建筑工程制圖3.側平面 YZpppP投影特性：（1）側面投影p

18、反映實形；（2）水平投影p積聚成直線，且垂直于OX軸；正投影p積聚成直線，且平行于OZ軸。YHYWOXZppp畫法幾何及建筑工程制圖【例題1】已知等邊ABCH面，求ABC的三面投影。 （習題集22頁328題）ababcc解題：1.作ab的垂直平分線；2.截取bc=ab得c點；3.連接ac。畫法幾何及建筑工程制圖4.正垂面YZYHYWOXZpppP投影特性：（1）正投影p積聚成直線，并反映平面的傾角和；（2）水平投影p和側投影p不反映實形，為變小的類似形。畫法幾何及建筑工程制圖YZ5.鉛垂面YHYWOXZ投影特性：（1）水平投影p積聚成直線，并反映平面的傾角和；（2）正投影p和側投影p不反映實形，為變小的類似形。pppPppp畫法幾何及建筑工程制圖6.側垂面 YZ投影特性：（1）側投影p積聚成直線，并反映平面的傾角和；（2）水平投影p和正投影p不反映實形，為變小的類似形。YHYWOXZpppPppp畫法幾何及建筑工程制圖【例題1】已知正方形ABCDH面，