1、函數(shù)的連續(xù)性(continuity) 氣溫的變化，河水的流動，植物的生長等都是連續(xù)地變化著，反映在函數(shù)關(guān)系上是函數(shù)的連續(xù)性。 當(dāng)時間變化很微小時，氣溫的變化也很微小，一般的，當(dāng)自變量改變很微小時，因變量也很微小，這個特性稱為連續(xù)性。 連續(xù)函數(shù)在圖像上是一條連續(xù)無間斷點(diǎn)的曲線。自變量的增量函數(shù)的增量增量的概念 定義1 設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的某一鄰域內(nèi)有定義，在區(qū)間(a , b)上每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù),叫做在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù),或者說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù),若在該區(qū)間左右端點(diǎn)處連續(xù),稱函數(shù)是閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)。xyo如果函數(shù)y=f(x)在x0點(diǎn)連續(xù), 則必須同時滿足下列三個條件：(1) f(x)在

2、x0的某個鄰域內(nèi)有定義 極限值 存在 極限值與函數(shù)值 相等定義2 設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的某一鄰域內(nèi)有定義，如果當(dāng)自變量的增量x=x-x0 趨于零時，對應(yīng)的函數(shù)的增量y=f(x0+x) - f(x0) 也趨于零，即那末就稱函數(shù) y=f(x)在點(diǎn)x0連續(xù).連續(xù)函數(shù)在幾何圖象上是一條連續(xù)不斷的曲線.函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)的本質(zhì)特征：當(dāng)自變量改變很微小時，函數(shù)值變化也很微小連續(xù)性舉例1. 討論絕對值函數(shù)在x=0處的連續(xù)性.解 因?yàn)樗运越^對值函數(shù)在 x=0 處連續(xù)2.作為例子我們來證明函數(shù)y=sinx在區(qū)間 內(nèi)是連續(xù)的由三角公式有 一般地, 證明一個函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)連續(xù)時, 宜使用等價定義式 ; 若

3、要證明函數(shù)在某點(diǎn)處連續(xù), 則宜使用原定義式 .3. 設(shè)有函數(shù), 問 為何值時, 函數(shù)在 點(diǎn)連續(xù)?解 因?yàn)橐购瘮?shù)在 點(diǎn)連續(xù),則應(yīng)有所以函數(shù)的間斷點(diǎn) discontinuityxyo123412Discontinuity at x =1 and x =2若函數(shù) 有下列三種情形之一：則稱函數(shù) 在點(diǎn) 處不連續(xù)，點(diǎn) 稱為函數(shù) 的間斷點(diǎn)。 不連續(xù)點(diǎn)即為間斷點(diǎn) 可去間斷點(diǎn)(1)第一類點(diǎn) x =1 是函數(shù) f (x) 的可去間斷點(diǎn)xyo11/21函數(shù)的間斷點(diǎn)的類型 可去間斷點(diǎn)(2)第一類函數(shù)的間斷點(diǎn)的類型例如但 不存在點(diǎn) 稱為函數(shù)的可去間斷點(diǎn)。1 跳躍間斷點(diǎn)第一類yxo點(diǎn) x =0是函數(shù) f (x) 的跳躍

4、間斷點(diǎn)。函數(shù)的間斷點(diǎn)的類型函數(shù)的間斷點(diǎn)的類型 無窮間斷點(diǎn)第二類 振蕩間斷點(diǎn)第二類 點(diǎn) x =0是函數(shù) f (x) 的振蕩間斷點(diǎn)。函數(shù)的間斷點(diǎn)的類型1-1解 這是一個初等函數(shù)，其定義域?yàn)檎页龊瘮?shù) 的間斷點(diǎn)，并判別其類型。例而 所以，x =1是函數(shù)的第一類的可去間斷點(diǎn)；x =2是函數(shù)的第二類的無窮間斷點(diǎn)。不存在而例題設(shè) 求函數(shù)的間斷點(diǎn)，并判別其類型。解由 的定義可知，函數(shù)在 內(nèi)連續(xù)而所以，x=1是函數(shù)的第二類間斷點(diǎn)(無窮間斷點(diǎn))， x=0是函數(shù)的第一類間斷點(diǎn)(跳躍間斷點(diǎn))。求 的值，使函數(shù)在點(diǎn) 處連續(xù)。例題解 由連續(xù)性的定義可知，要使函數(shù)在 x=0 點(diǎn)連續(xù)，則應(yīng)有而 連續(xù)函數(shù)在連續(xù)點(diǎn)處的極限值等于

5、函數(shù)在該點(diǎn)處的函數(shù)值，即極限號 lim 與函數(shù)號 f 可以交換次序。連續(xù)函數(shù)求極限法則例如,一、 連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商的連續(xù)性二、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性例反三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù).定理1 單調(diào)連續(xù)函數(shù)的反函數(shù)仍是單調(diào)連續(xù)函數(shù)。即例定理2 連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)仍是連續(xù)函數(shù)。即三、初等函數(shù)的連續(xù)性三角函數(shù)及反三角函數(shù)在它們的定義域內(nèi)是連續(xù)的.(均在其定義域內(nèi)連續(xù) )基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的.一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的.初等函數(shù)求極限的方法代入法.例1解例2解例3解例4 求解如果函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)連續(xù),在右端點(diǎn)b左連續(xù),在左端點(diǎn)a右連續(xù),那么函數(shù)f(x)就是在閉

6、區(qū)間a,b上連續(xù)的定義閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 最值定理（The max-min theorem）abxyo在區(qū)間內(nèi)部取得最大值和最小值yabxo在區(qū)間端點(diǎn)取得最大值在閉區(qū)間 a,b 上連續(xù)的函數(shù), 一定能取得它的最大值和最小值。說明：可在區(qū)間內(nèi)部取得最值，也可在區(qū)間端點(diǎn)取得最值。注意:1.若區(qū)間是開區(qū)間, 定理不一定成立; 2.若區(qū)間內(nèi)有間斷點(diǎn), 定理不一定成立. 介值定理 The intermediate value theorem設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，且在這區(qū)間的端點(diǎn)取不同的,為介于與之間的任意,則在開區(qū)間(a,b)， 函數(shù)值一個數(shù)，即內(nèi)至少有一點(diǎn)，使得 根的存在定理 設(shè)函數(shù) f (x) 在閉區(qū)間 a,