1、第1章隨機(jī)事件及其概率(1)排列組合公式m!Pn=-從m個(gè)人中挑出n個(gè)人進(jìn)行排列的可能數(shù)m(mn)!m!Cn從m個(gè)人中挑出n個(gè)人進(jìn)行組合的可能數(shù)mn!(mn)!(2)加法和乘法原理加法原理(兩種方法均能完成此事)：m+n某件事由兩種方法來完成，第一種方法可由m種方法完成，第二種方法可由n種方法來完成，則這件事可由m+n種方法來完成。乘法原理(兩個(gè)步驟分別不能完成這件事)：mxn某件事由兩個(gè)步驟來完成，第一個(gè)步驟可由m種方法完成，第二個(gè)步驟可由n種方法來完成，則這件事可由mxn種方法來完成。(3)些常見排列重復(fù)排列和非重復(fù)排列(有序)對立事件(至少有一個(gè))順序問題(4)隨機(jī)試驗(yàn)和隨機(jī)事件如果一個(gè)

2、試驗(yàn)在相同條件下可以重復(fù)進(jìn)行，而每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè)，但在進(jìn)行一次試驗(yàn)之前卻不能斷言它出現(xiàn)哪個(gè)結(jié)果，則稱這種試驗(yàn)為隨機(jī)試驗(yàn)。試驗(yàn)的可能結(jié)果稱為隨機(jī)事件。(5)基本事件、樣本空間和事件在一個(gè)試驗(yàn)下，不管事件有多少個(gè)，總可以從其中找出這樣一組事件，它具有如下性質(zhì)：每進(jìn)行一次試驗(yàn)，必須發(fā)生且只能發(fā)生這一組中的一個(gè)事件；任何事件，都是由這一組中的部分事件組成的。這樣一組事件中的每一個(gè)事件稱為基本事件，用來表示?；臼录娜w，稱為試驗(yàn)的樣本空間，用0表示。一個(gè)事件就是由0中的部分點(diǎn)(基本事件)組成的集合。通常用大寫字母A，B，C，.表示事件，它們是0的子集。0為必然事件，0為不可能事件。不可能事

3、件(0)的概率為零，而概率為零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件(Q)的概率為1,而概率為1的事件也不一定是必然事件。(6)事件的關(guān)系與運(yùn)算關(guān)系：如果事件A的組成部分也是事件B的組成部分(A發(fā)生必有事件B發(fā)生)：AuB如果同時(shí)有AuB,B二A，則稱事件A與事件B等價(jià)，或稱A等于B:A=BOA、B中至少有一個(gè)發(fā)生的事件：AUB,或者A+Bo屬于A而不屬于B的部分所構(gòu)成的事件，稱為A與B的差，記為A-B,也口表示為A-AB或者AB，匕表示A發(fā)生而B不發(fā)生的事件。A、B同時(shí)發(fā)生：AAB,或者AB。AAB=0,則表示A與B不可能同時(shí)發(fā)生，稱事件A與事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。0

4、-A稱為事件A的逆事件，或稱A的對立事件，記為A。它表示A不發(fā)生的事件。互斥未必對立。運(yùn)算：結(jié)合率：A(BC)=(AB)CAU(BUC)=(AUB)UC分配率：(AB)UC=(AUC)A(BUC)(AUB)AC=(AC)U(BC)AA.=UA德摩根率：-JAUB二AAB,AAB二AUB(7)概率設(shè)0為樣本空間，A為事件，對每一個(gè)事件A都有一個(gè)實(shí)數(shù)P(A)，若滿足下列二個(gè)條件：的公理化定義10P(A)0,則稱P(AB)為事件A發(fā)生條件下，P(A)事件B發(fā)生的條件概率，記為P(B/A)=P(AB)。P(A)條件概率是概率的一種，所有概率的性質(zhì)都適合于條件概率。例如P(Q/B)=1=P(b/A)=1

5、-P(B/A)(NTV-KCslP翁字1KS卍乂g0,則有P(B1A)=P3嘰尸(宀(嘰pP(A)P(A)若事件A、B相互獨(dú)立，則可得到刀與月、A與、忑與也都相互獨(dú)立。必然事件和不可能事件0與任何事件都相互獨(dú)立。0與任何事件都互斥。多個(gè)事件的沁性設(shè)ABC是_個(gè)事件,如果滿足兩兩獨(dú)立的條件,P(AB)二P(A)P(B);P(BC)二P(B)P(C);P(CA)二P(C)P(A)并且同時(shí)滿足P(ABC)二P(A)P(B)P(C)那么A、BsC相互獨(dú)az。對于n個(gè)事件類似。0+ul-R1rTlITH，k-1，2,，(2)k-i。(2)連續(xù)設(shè)F(x)是隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，若存在非負(fù)函數(shù)f(x)，對任

6、意實(shí)數(shù)X，有F(x)=Jxf(x)dx型隨機(jī)變g1則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量。f(x)稱為X的概率密度函數(shù)或密度函數(shù)，簡稱概量的分布率密度。密度密度函數(shù)具有下面4個(gè)性質(zhì)：1f(x)0。卜f(x)dx=1g。(3)離散P(X=x)P(xXx+dx)f(x)dx與連續(xù)型積分兀f(x)dx在連續(xù)型隨機(jī)變量理論中所起的作用與P(X=xk)=Pk在離隨機(jī)變量散型隨機(jī)變量理論中所起的作用相類似。的關(guān)系(4)分布函數(shù)設(shè)X為隨機(jī)變量，x是任意實(shí)數(shù)，則函數(shù)F(x)=P(Xx)稱為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，本質(zhì)上是一個(gè)累積函數(shù)。P(aXb)=F(b)-F(a)可以得到X落入?yún)^(qū)間(a,b的概率。分布函數(shù)F(x)表示隨機(jī)變量

7、落入?yún)^(qū)間(-8,x內(nèi)的概率。分布函數(shù)具有如下性質(zhì)：10F(x)1,一8x+8；2F(x)是單調(diào)不減的函數(shù)，即叫x2時(shí)，有F(叫)F(x2);3F(-8)二limF(x)二0,F(+Q二limF(x)二1；xT-8xT+84F(x+0)=F(x),即F(x)是右連續(xù)的；5P(X=x)=F(x)-F(x-0)。對于離散型隨機(jī)變量，F(xiàn)(x)=工p;kxQxx對于連續(xù)型隨機(jī)變量，F(xiàn)(x)=Jf(x)dx。-8(5)八大分布0-1分布p(X=1)=p,P(X=0)=q二項(xiàng)分布在n重貝努里試驗(yàn)中，設(shè)事件A發(fā)生的概率為P。事件A發(fā)生的次數(shù)是隨機(jī)變量，設(shè)為X，則X可能取值為0,1,2,n。P(X=k)=Pn(

8、k)=Ckpkqn-k，其中nq=1-p,0p0，k=0,1,2，k!則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為九的泊松分布，記為X兀(九)或者卩(九)。泊松分布為二項(xiàng)分布的極限分布(np二入，n-8)。超幾何分布CkCn-kk=0,1,2，lP(X=k)=MNM,Cnl=min(M,n)N隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n,N,M的超幾何分布，記為H(n,N,M)。幾何分布P(X=k)=qk-1p,k=1,2,3,，其中p0,q=1-p。隨機(jī)變量X服從參數(shù)為p的幾何分布，記為G(p)。0均勻分布設(shè)隨機(jī)變量X的值只落在a,b內(nèi)，其密度函數(shù)f（x）在a,b上為常數(shù)丄，即b-a1f(x)=b。當(dāng)ax1x2b時(shí)，X落在區(qū)間(S，

9、x2)內(nèi)的概率為x-xP(xX0 x0為常數(shù)，則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為卩、c的正態(tài)分布或高斯(Gauss)分布，記為XN(卩，c2)。f(x)具有如下性質(zhì)：1f(x)的圖形是關(guān)于x=卩對稱的；x=卩時(shí)，/(卩)=為最大值；2兀c2當(dāng)2ct2gx+8,若xn(，c2)，則罡的分布函數(shù)為F(x)二fxe2c2dt2兀c8參數(shù)卩二0、c=1時(shí)的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記為XN(0，1)1,其密度函數(shù)記為申(x)=e22兀分布函數(shù)為空x)=丄2兀(x)是不可求積函數(shù)，其函數(shù)值，已編制成表可供查用。e(-x)二i-e(x)且e(o)二-。如果xN(卩，c2)，則JiN(0,1)。(x卩)。IG丿。12

10、e2dt。P(xXx)二12(6)分位下分位表：P(X卩)=a。a(7)函數(shù)分布離散型XVv.v.x2，%P(X=x)P1，“2,，P”，已知X的分布列為Y=g(X)的分布列(y,二g(xj互不相等)如下:YP(Y=y)g(X1),g(x2),lg(x”),若有某些g(xz)相等，則應(yīng)將対應(yīng)的pi相加作為g(x)的概率。連續(xù)型i先利用X的概率密度fX(x)寫出Y的分布函數(shù)FY(y)二P(g(X)y),再利用變上下限積分的求導(dǎo)公式求出fY(y)。i/第三章二維隨機(jī)變量及其分布(1)聯(lián)合離散型分布如果二維隨機(jī)向量E(X,Y)的所有可能取值為至多可列個(gè)有序?qū)?x,y),則稱E為離散型隨機(jī)量。設(shè)2=(

11、X，Y)的所有可能取值為(x,y)(i,j二1,2,)，ij且事件2=(x，y)啲概率為Pi”稱P(X,Y)二(x,y)二p(i,j二1,2,)ijij為2=(X，Y)的分布律或稱為X和Y的聯(lián)合分布律。聯(lián)合分布有時(shí)也用下面的概率分布表來表示:Xyjx1P11P12P1jX2P21P22P2jxiPi1pij這里卩口具有下面兩個(gè)性質(zhì):連續(xù)型對于二維隨機(jī)向量(X,Y),如果存在非負(fù)函數(shù)f(x,y)(sx+s,y+s)，使對任意一個(gè)其鄰邊分別平行于坐標(biāo)軸的矩形區(qū)域D,即D二(X,Y)|axb,cy0;(2)J+寸+8f(x,y)dxdy=1.88(2)二維隨機(jī)變量的本質(zhì)g(X=x,Y=y)=g(X=

12、xY=y)(3)聯(lián)合分布函數(shù)設(shè)(X，Y)為_維隨機(jī)變量，對于任意實(shí)數(shù)x,y,二兀函數(shù)F(x,y)=PXx,Yy稱為二維隨機(jī)向量(X,Y)的分布函數(shù)，或稱為隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)。分布函數(shù)是一個(gè)以全平面為其定義域,以事件(,)1一8X()x,gY()y的概率為函數(shù)值的一個(gè)實(shí)值函1212數(shù)。分布函數(shù)F(x,y)具有以下的基本性質(zhì)：0F(x,y)x評寸，有F(x2,y)F(xx,y);當(dāng)y2yx時(shí)，有F(x,y2)F(x,yx);F(x,y)分別對x和y是右連續(xù)的，即F(x,y)=F(x+0,y),F(x,y)=F(x,y+0)；(4)F(8,g)=F(一8,y)=F(x,s)=0,F(+8,

13、+s)=1.(5)對于xx，y0.22211211(4)離散型與連續(xù)型的關(guān)系P(X=x,Y=y)qP(xXx+dx,yY0,。0,1pl1是5個(gè)參數(shù)，則稱（X，Y）服從二維正態(tài)分布，記為（X,Y）N（卩，卩。2,。2,p）12,12由邊緣密度的計(jì)算公式，可以推出維正態(tài)分布的兩個(gè)邊緣分布仍為正態(tài)分布，即XN（卩，。2）,YN（卩。2）.112,2但是右XN（卩，。2）,YN（卩。2）,（X，丫）未必是二維正態(tài)分布。（10）函數(shù)分布Z=X+Y根據(jù)定義計(jì)算：F（z）-P（Zz）-P（X+Y0,/、f(u)=i22r-12丿0,u0.我們稱隨機(jī)變量W服從自由度為n的x2分布，記為WX2(n),其中(n

14、、r-=宀x2_1e-xdx.12丿0所謂自由度是指獨(dú)立正態(tài)隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)，它是隨機(jī)變量分布中的個(gè)重要參數(shù)。X2分布滿足可加性：設(shè)Y-x2(n),ii則Z=丈Yx2(n+nH卜n)i12ki=1t分布F分布設(shè)X,Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且可以證明函數(shù)的概率密度為rf(t)=XN(0,1),Yx2(n),T=JY/nn+12(一8t+8).我們稱隨機(jī)變量T服從自由度為n的t分布，記為Tt(n)。(n)二-t(n)1-aa設(shè)Xx2(n),Yx2(n)，且X與Y獨(dú)立，可以證明12X/nF=1的概率密度函數(shù)為Y/n2n+n12丿I2丿I2(nrrI2丿(、牛、n2專-1n1y21+亠y1n丿1n丿

15、0,y0我們稱隨機(jī)變量F月服從第一個(gè)自由度為n1，第二個(gè)自由度為n2的F分布，記為Ff(nn2).仁叫n2)=卅萬a21第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征(1)離散型連續(xù)型-維期望設(shè)X是離散型隨機(jī)變量，其分設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率隨機(jī)期望就是平均值布律為P（X二x）二Pk，k密度為f（x）,變量k=1,2,.n,E(X)-Jxf(x)dx的數(shù)E(X)二工xpkkg（要求絕對收斂）字特k-1征（要求絕對收斂）函數(shù)的期望Y=g(X)Y=g(X)E(Y)-工g(x)pkkE(Y)-fg(x)f(x)dxk-1g方差D(X)-丁xE(X)2f(x)dxD(X)二EX-E(X)2,D(X)-工x-E(X)2p

16、kkkg標(biāo)準(zhǔn)差&（x），矩對于正整數(shù)k,稱隨機(jī)變量X的k次幕的數(shù)學(xué)期望為X的k階原點(diǎn)矩，記為vk,即vk=E(Xk)=工xkp,iiik=1,2,.對于正整數(shù)k,稱隨機(jī)變量X與E(X)差的k次幕的數(shù)學(xué)期望為X的k階中心矩記為卩,k即卩二E(X-E(X)kk=工(x-E(X)kp,iiik=1,2,.對于正整數(shù)k，稱隨機(jī)變量X的k次幕的數(shù)學(xué)期望為X的k階原點(diǎn)矩，記為vk,即vk=E(Xk)二J+8xkf(x)dx,gk=1,2,.對于正整數(shù)k，稱隨機(jī)變量X與E(X)差的k次幕的數(shù)學(xué)期望為X的k階中心矩，記為卩，即k卩二E(XE(X)kk=J+8(xE(X)kf(x)dx,8k=1,2,.切比雪夫

17、不等式設(shè)隨機(jī)變量X具有數(shù)學(xué)期望E(X)=m，方差D(X)=O2,則對于任意正數(shù)有下列切比雪夫不等式.C2P(X-8)8)的一種估計(jì)，匕在理論上有重要意義。M冰君盜曲自刖吉63H?-刖吉盜乙H?WS-11百！tuz5sssss54321s“S“S“S“S/sSsS4321*“*“*“*“emmmW+VII二IIcyffl瓷0t1IM廿-qxXX-Hj2j二YII吻IM盤時(shí)、.c來、.貝上、丿2a+0NP11AnppN廠11M丿、Ni30211PA屯Z1pZ1指數(shù)分布e（九）1九1九2正態(tài)分布N（卩，Q2）b2X2分布n2nt分布0n(n2)n2(5)期望E(X)=xpiiE(X)=fxf(x)d

18、xX二維i=1g隨機(jī)E(Y)=ypjjj=1E(Y)=Jyf(y)dyYg變量函數(shù)的期望EG(X,Y)二EG(X,Y)二的數(shù)MG(x,y)pijijij+g+gJJG(x,y)f(x,y)dxdy字特征gg方差D(X)=x-E(X)2piiD(X)=fxE(X)2f(x)dxXgiD(Y)=Yx-E(Y)2pjj/+gD(Y)=JyE(Y)2f(y)dyYg協(xié)方差對于隨機(jī)變量X與Y,稱它們的二階混合中心矩卩為X與Y的協(xié)方差或相關(guān)矩，記為b或cov（X,I），即XYb=卩=E(X-E(X)(Y-E(Y).XY11與記號b相對應(yīng)，X與Y的方差D（X）與。（丫）也可分別記為XYbXX與bYY。相關(guān)系

19、數(shù)對于隨機(jī)變量X與Y，如果D(X)0,D(Y)0，則稱aXY4D(x)D(y)為X與Y的相關(guān)系數(shù)，記作p(有時(shí)可簡記為p)XY|p|0),負(fù)相關(guān)，當(dāng)p=1時(shí)(a0),而當(dāng)p=0時(shí)，稱X與Y不相關(guān)。以下五個(gè)命題是等價(jià)的：p=0；XYcov(X,Y)=0;E(XY)=E(X)E(Y);D(X+Y)=D(X)+D(Y);D(X-Y)=D(X)+D(Y).協(xié)方差矩陣XXXY&aJvYXYYy混合矩對于隨機(jī)變量X與Y，如果有E(XkYi)存在，則稱之為X與丫的k+l階混合原點(diǎn)矩，記為v；k+l階混合中心矩記為：klu二E(XE(X)k(YE(Y)1.ki(6)(i)cov(X,Y)=cov(Y,X);協(xié)

20、方(ii)cov(aX,bY)=abcov(X,Y);差的(iii)cov(X+X2,Y)二cov(X,Y)+cov(X2,Y);性質(zhì)(iv)cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).(7)(i)若隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，則P-0；反之不直。XY獨(dú)立(ii)若(X,Y)N(卩,卩Q2Q2,P),1212和不則X與Y相互獨(dú)立的充要條件是X和Y不相關(guān)。相關(guān)第五章大數(shù)定律和中心極限定理(1)大數(shù)定律XT卩切比雪夫大數(shù)定律設(shè)隨機(jī)變量X，X2，相互獨(dú)立，均具有有限方差，且被同一常數(shù)C所界：D(X)C(i=1,2,),則對于任意的正數(shù)有-工X-工E(X)sl=1.nini/i=1i=1丿limPns

21、特殊情形：若X,X2,具有相同的數(shù)學(xué)期望E(Xi)=m，limP則上式成為=1.丿伯努利設(shè)P是n次獨(dú)立試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A在大數(shù)定每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率，則對于任意的正數(shù)有(-Pn丿二1.limPns伯努利大數(shù)定律說明，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n很大時(shí)，事件A發(fā)生的頻率與概率有較大判別的可能性很小，即limPns這就以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式描述了頻率的穩(wěn)定性。辛欽大數(shù)定律設(shè)X1,XE(Xn)什limP-nT8切，Xn，疋,二P,則對于任意(Ip)X|L1&ni丿i-1丿相互獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，且的正數(shù)有-1.(2)中心極限定理CJ2XTN(卩,)n列維-林德伯格定理設(shè)隨機(jī)變量X,X2，相互獨(dú)立，服

22、從同一分布，且具有相同的數(shù)學(xué)期望和方差：E(X)二卩,D(X)=2豐0(k二1,2,)，則隨機(jī)變量kkXnykY-in4n的分布函數(shù)Fn(x)對任意的實(shí)數(shù)x,有X-nyr2k1rt2limF(x)-limP十Jxe2dt.nT8nnT8nd屮2兀8此疋理也稱為獨(dú)立同分布的中心極限定理。棣莫弗-拉普拉斯定理設(shè)隨機(jī)變?nèi)我鈱?shí)數(shù)-limPnT8量X為具有參婁n攵X,有rXnpnX*np(1p)攵n,p(0p:Jxe2dt.v2兀8(3)_項(xiàng)定理若當(dāng)NT8時(shí),MtP(n,k不變)貝gN人CkCn-kMN-MTCkpk(1-p)nk(NT8).CnnN超幾何分布的極限分布為二項(xiàng)分布。(4)泊松定理若當(dāng)nT

23、8時(shí),npT九0，貝Q九kCkpk(1-p)n-kte_九(nth).nk!其中k=0,1,2,.,n,.。二項(xiàng)分布的極限分布為泊松分布。第六章樣本及抽樣分布(1)數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念總體在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，常把被考察對象的某一個(gè)(或多個(gè))指標(biāo)的全體稱為總體(或母體)我們總是把總體看成一個(gè)具有分布的隨機(jī)變量(或隨機(jī)向量)個(gè)體總體中的每一個(gè)單元稱為樣品(或個(gè)體)樣本我們把從總體中抽取的部分樣品x,x,x稱為樣本。樣本12n中所含的樣品數(shù)稱為樣本容量,一般用n表示。在一般情況下，總是把樣本看成是n個(gè)相互獨(dú)立的且與總體有相同分布的隨機(jī)變量，這樣的樣本稱為簡單隨機(jī)樣本。在泛指任一次抽取的結(jié)果時(shí)，x,x,，x表

24、示n個(gè)隨機(jī)變量(樣本)；在具體的一次12n抽取之后，x,x,x表示n個(gè)具體的數(shù)值(樣本值)我們12n稱之為樣本的兩重性。樣本函數(shù)和統(tǒng)計(jì)量設(shè)x,x,x為總體的一個(gè)樣本，稱12nP=p(x,x,x)12n為樣本函數(shù)，其中p為一個(gè)連續(xù)函數(shù)。如果p中不包含任何未知參數(shù)，則稱p(x,x,x)為一統(tǒng)計(jì)量。12n常見統(tǒng)計(jì)量及其性質(zhì)樣本均值樣本方差x=1工x.nii=1S2=1刃(x；-x)2.in-1i=1樣本標(biāo)準(zhǔn)差S=11Y(xx)2.Fn1i“i=1樣本k階原點(diǎn)矩M=工xk,k=1,2,.knii=1樣本k階中心矩M=-!-工(x-x)k,k=knii=12,3,.b2E(X)=r，D(X)=nfn1E

25、(S2)=b2，E(S*2)=b2,n其中s*2=-工(X-X)2，為二階中心矩。n1i=1(2)正態(tài)正態(tài)分布設(shè)x,x,x為來自正態(tài)總體N(UQ2)的一個(gè)樣本，則樣12n總體下的本函數(shù)四大分布u苗x-UN(0,1).bhjnt分布設(shè)x,x,x為來自正態(tài)總體N(PQ2)的個(gè)樣本，則樣12n本函數(shù)廿一二t(n-1),s/屯;n其中t(n-1)表示自由度為n-1的t分布。X2分布設(shè)x,x,x為來自正態(tài)總體N(RQ2)的一個(gè)樣本，則樣12n本函數(shù)w塑(n-1)S2X2(n-1),Q2其中X2(n-1)表示自由度為n-1的X2分布。F分布設(shè)x,x,x為來自正態(tài)總體N(卩Q2)的個(gè)樣本，而12n1y,y,

26、y為來自正態(tài)總體N卩q2)的一個(gè)樣本，則樣本2n2函數(shù)F塑Sj/o1f(n1,n-1),S2/o21222其中S2=-5(xx)2,S2二-藝(y-y)2；1n1i2n1z*1i=12i=1F(化-n2-1)表示第一自由度為n1-1，第二自由度為121n1的F分布。2(3)正態(tài)總體下分布的性質(zhì)X與S2獨(dú)立。第七章參數(shù)估計(jì)(1)點(diǎn)矩估計(jì)估計(jì)設(shè)總體x的分布中包含有未知數(shù)e,0，,0，則其分布函數(shù)可以表TOC o 1-5 h z12m成F(x；0，0，0)它的k階原點(diǎn)矩v二E(Xk)(k二1,2,m)中12mk也包含了未知參數(shù)0,0，,0，即v=v(0,0,0)。又設(shè)12mkk12mx,x,x為總體

27、X的n個(gè)樣本值，其樣本的k階原點(diǎn)矩為12nXk(k=1,2,m).nii=1這樣，我們按照當(dāng)參數(shù)等于其估計(jì)量時(shí)，總體矩等于相應(yīng)的樣本矩的原則建立方程，即有v(0Q，,0A)=1Hx,TOC o 1-5 h z112mnii=1v(0A,0A，,0A)=1Hx2,212mniv(0,0，,0)=丄工xm.m12mnii=1由上面的m個(gè)方程中，解出的m個(gè)未知參數(shù)(&,0A,0A)即為參數(shù)12m(0,0,0)的矩估計(jì)量。12m若宀為0的矩估計(jì)，g(x)為連續(xù)函數(shù)，則g(0)為g(0)的矩估計(jì)。極大似當(dāng)總體X為連續(xù)型隨機(jī)變量時(shí),設(shè)其分布密度為然估計(jì)f(x；e,0,月)，其中0,0,&為未知參數(shù)。又設(shè)1

28、2m12mx,x,x為總體的一個(gè)樣本，稱12nL(0,0,0)=Hf(x;0,0,0)i=1為樣本的似然函數(shù)，間記為Ln.當(dāng)總體X為離型隨機(jī)變量時(shí)，設(shè)其分布律為PX=x=p(X；01,02,0)，則稱mL(x,x,x;0,0,0)=Hp(x;0,0，,0)i=1為樣本的似然函數(shù)。若似然函數(shù)L(x,x,-12,x；0,0,0)在01,02,，0處取n12m1m到最大值，則稱0丿2，0m分別為Ge,0的最大似然估計(jì)值，1m12m相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)量稱為最大似然估計(jì)量。dlnL=0,i=1,2,m0=0.iin00i若$為0的極大似然估計(jì)，g(x)為單調(diào)函數(shù)，則g(0)為g(0)的極大似然估計(jì)。(2)估無偏性設(shè)q,叮,叮為未知參數(shù)0的估計(jì)量。若E(0)=0，則計(jì)量的稱0為0的無偏估計(jì)量。評選標(biāo)E(X)=E(X)E(S2)=D(X)準(zhǔn)有效性設(shè)011(x,x,，x)和e22(x,