1、海淀區高三年級第一學期期中練習數學(理科)2018.11本試卷共4頁,150分?？荚嚂r長120分鐘?？忌鷦毡貙⒋鸢复鹪诖痤}卡上，在試卷上作答無效。考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分(選擇題共40分)一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。已知集合A=xx2，B=x(x1)(x3)：:0，則AfB=A.xx1Bx2：:x：:3Cx1：:x：:3Dxx2或x：1已知向量a=(-1,2),b二(2,-4)，則與bA.垂直B.不垂直也不平行C.平行且同向D.平行且反向函數2x2的最小值為A.1B.2C.22D.4已知命題p：C0，方程x2

2、-xc=O有解，則-p為_C0，方程x2-xc=0無解_C1,若a=3，則函數f(x)的值域為；2若f(x)在r上是增函數，則a的取值范圍是.14.已知函數f(x)的定義域為R.-a,bR，若此函數同時滿足:當ab=0時，有f(a)f(b)=0；當ab0時，有f(a)f(b)0,則稱函數f(x)為l函數.在下列函數中:三、解答題共6小題，共80分。解答應寫出文字說明、演算步驟y=xsinx；y=3x-(3)x；0,x=0,y=1門,x=o或證明過程。15.(本小題滿分13分)bn滿足bn1-bn=an,已知數列an是公差為2的等差數列，數列且b2=一18,鳥二-24.(I)求數列%的通項公式；

3、(H)求bn取得最小值時n的值.16.(本小題滿分13分)已知函數f(x)=cos(2x-扌)-cos2x.(I)求f(n)的值；(H)求函數f(x)的最小正周期和單調遞增區間17.(本小題滿分13分)已知函數f(X)=X3_9x，函數g(x)=3x2a.(I)已知直線I是曲線y=f(x)在點(0,f(0)處的切線，且I與曲線y二g(x)相切，求a的值；(H)若方程f(x)=g(x)有三個不同實數解，求實數a的取值范圍.18.(本小題滿分13分)，點D在邊BC的延長線上，且如圖,ABC是等邊三角形BC=2CDAD=、7.(I)求CD的長；(H)求sin.BAD的值.佃.(本小題滿分14分)已知

4、函數f(x)=ex(x2axa).I)求f(x)的單調區間；(H)求證：當彳a4時，函數f(x)存在最小值.20.(本小題滿分14分)已知數列可是無窮數列，滿足Igan嚴|lgan-lgan|(n=2,3,4,(|l).(I)若a2,a3，求asi的值；(H)求證:“數列an中存在ak(kN*)使得Igak=0”是“數列an中有無數多項是1”的充要條件；(川)求證：在數列an中ak(kN),使得11）所1以=0+G+的+他+小=2+2+角+%1理科參考答案第2頁，共9頁理科參考答案第2頁，共9頁=W2-11/7乂因為bx=b2-ax=-10符合上式,所以=”2_】1”=(一)-()(”gn).

5、當力=5或力=6時,bK取得最小值b、=b&=-30.法二：因為brl-bn=a,所以勺二勺，bqb、=y.所以=_+a”_=仏+.2+%=切+q+勺+“3+兔一1，所以氏=f+O+。2+。3+勺7(1)弋+他十+%_bI(勺+。小)(一2)_22=?2-1In,乂因為儀二勺-勺=-10符合上式,所以4=於_”=（”_）_（）當力=5或”二6時，取得最小值6=6=-30法三：因為4“-=2“-10,所以，當w5時，有“一4勺勺勺$；當力=5時，有.4=0,即4=：當力5時,有戈即b6b7b3.所以n=5或”=6時，乞取得放小值b、=b&=-30.(本小題滿分13分)解：(I)因為f(x)=co

6、s(2x-)-cos2.v所以/()=COS2兀cos3丄2理科參考答案第 #頁，共9頁理科參考答案第 頁，共9頁(】I)因為/(jv)=cos(2x-扌)-cos2x=cos2a*cos+sin2x$in一cos2x=sin2x一cos2x3322=sin(2-v-iJ-所以/(X)的故小止周期r=y=JT.函數y=sinx的唱調增區間為2kn-2kn+(AtgZ).?9Il2Zt7t2a*V2Att+9kwZ,262得kn-xaa一-+丄？9且2丿4a2+5e(3,+c)；-2)(a+7a2+lj-a-a2-tf2_2w(-0廠1),(或者：岡為當*T4*o,當X時，F(x)-YO)所以方

7、程f(x)=g(x)有上個不同實數解的條件為-5-a0-27-a0解得-27vav5綜l，實數d的取值范國為-27a2-2ACCDcosZACD,所以7二4CD2+少-4CDCDcos120。,解得CD.法二：因為X4BC等邊三和形，I1BC=2CD9所以AB=2CD.BD=3CD、ZABC=60在AISZ)1!1,山余弦定理得/ID2=AB+BD22ABBDcos乙4BC,所以7=4CD2+9CD2-12CDCDcos60,解得CD=1.法三,取中點連接AE.在等邊三角形SABC中，AE二BC,.4EAE二BC,.4E理科參考答案第 #頁，共9頁理科參考答案第 頁，共9頁設=貝IJBC=2.

8、V,所以AE=/3x9DE=2x,在直角三介形)中，AD2=.4E2+DE2=7x2=7,解得x=l,即CQ=1.(II)在4BC中，BD=3CD=3,由正弦定理,有BDsin/BADEDsinZB所以sinZBJD=BDsinZB-AD-15.(本小題滿分14分)解：(I)函數f(x)-ex(x2+ax+a)得fx)=er(x2+ax+a)+ex(2x+a)+(a2)x+2a=ex(A+2)(x+a)由/(x)=0解得x=-2,或x二一a.當-a=-2,即a二2時，加*(乂+2)亠0恒成立,所以函數/(x)的卩調增區間為(蟲,燉)；當一一2,即ov2時，/(x),/(x)的情況如下:X(F.

9、-2)-2(-2,-。)(一g+oo)/(X)+00+/(X)Z/當一v-2,即。2時,理科參考答案第 頁，共9頁理科參考答案第 #頁，共9頁/),/(X)的惜況如下:X（-00,-67）-a（7-2）-2（一2,+8）fXx）+00+/(X)/綜上，當0二2時，函數/(“)的單調增區間為(Y+x)；當a2時，函數/(x)的單調増區間為(-8,-a),(-2,+8),單調減區何為(-a,-2).II)法_:由(I)可知,當時，函數/(“)在X-a,+oo)上/(x)M/(_2),且/(-2)=r(4-a)W0.因為。鼻4,所以，當X6(-00,-a)Uhx(x+a)o9ex0t所以，當Xw(-

10、oo,-a)時，f二ex2+ax+a)=exx(.r+a)+a0,所以，當a$4時，函數/(x)存在最小值/(-2).法二：ih(I)可知，當時，函數/(A)/Exe-a,-Ho)上/(人)玄/(一2),K/(-2)=e-2(4-a)0.當xty時，x2+ax+a-,所以/(x)0.由(I)可知,函數/(X)在(-8,-4)上是增函數，所以當xe(YQ,-a)時，/(X)0.所以，當時，換數/(X)存在故小值/(-2).20.(本小題滿分14分)解：因為ax=2.a2=3,lgan+1=|lgan-lgan_t|(/?=2,3,4,).所以lg=|lg3-Ig2|=lg|,H|Ja3=|；所以

11、lga4=|lg-Ig3|=lg2,即44=2；344所以lga5=|lg2-lg1=lg-,KPo5=.（II）必要性:已知數列a“中有無數多項是1,則數列仇中存在agN*）使得叭=0-證明：因為數列%中有無數多項於1,所以數列%中存在a.CkelS*）使得勺=1,所以數列匕中存在咻曲使得lg=0.充分性:已知數列仇中存在條依eNj使得lg兔=0,則數列仇中有無數多項是1.（注：此丈1分是給衣“學生能紗將丸要性的證朗分成兩卜條件與結論請楚的兩個命題來證期”）法一:證明:假設數列仇中沒有無數多項於1,不妨設爲（加N）址數列a”中為1的最后一項,則a“Hl，若%1,則由lga”“=nga”-lg

12、a“J（”=2,3,4,）可得lga“iga“,所以lga”+3=|lga*2-lga+i|=0,所以am+3=1,這與假設矛盾;若01，則由lg的+i=1lga”一lga”.|=2,3,4,）可得lga*二-覽，所以lg%+3=1lga”+2-lg“M+i1=2lga*,所以lg%+4Hlgam+3一lga”+2l=l21ga”+lga”+i|=lga*】，所以lg%+5=l】ga”+4jga*冃jga*+21gG|=-lga*，所以嘰+6W】ga”+5-lga”+41=0,所以冷+6=1，這與假設矛盾綜上，可知假設不成立，所以原命題正確.山可知，“數列匕中存在（AreN*）使得lga嚴0”

13、是“數列”中有無數多項是1”的充要條件.法二：證明：設=lga”，則bxbn-bn_x（”=2,3,4,）,待證命題即:已知數列0中存在仇N）使得Q=0,則數列bn中有無數多項是0.若以=0（E2,3,4,），則bg=bz所以乩3=0,理科參考答案第7貝，共9處理科參考答仝第8頁，共9頁理科參考答仝第8頁，共9頁循此町推證4+環=0（WGN）；若勺=0,當$30時，b.=b29所以4=0,由證明可知儀.3鳳二0（7WGN）；當b22，所以坊=|Q-Q|=0,由證明可知$+3”=0（zweN）.所以數列中有無數多項是0.（III）法一：證明：假設在數列陽中，不存:在兔伙2）滿足1W兔2,則0兔0

14、(n二123,),所以當n2時，anl.所以aQ2（=3.4,5,）.若=$2,則冬=1與冬$2矛盾；若血工碼$2,設你二皿胃如“如（加=1，2,3,），則bm2.山（*）可得，%+3W“?。?*如，a2w+4|maxa2fl,+2.t2w+3所以m即gW釵（加=123,），對于婦顯然存在/使得2口冬勺2,理科參考答案第9頁，共9頁理科參考答案第9頁，共9頁所以勺+10號1,這與矛盾，所以假設不成龍，原命題正確.法二證明：設bn=lg7，則bn=bn-bn_x|（=2,3,4,）,還卿在數列仇中，存在侏（必2）滿足v2X即i正明“在數列您中，存在bgN）滿足0W$vlg2”.假設在數列0”中,