1、 模糊集合及其運算 確定性 經典數學量 隨機性 隨機數學 不確定性 模糊性 模糊數學隨機性：事件本身的狀態是清楚的，但是否發生 不確定 。 （事件是否發生不確定）明天有雨，擲一枚骰子出現6點模糊性：事件本身的狀態不很分明，不在于事件 發生與否。（事件本身的狀態不確定）青年人，高個子模糊數學也是由于實踐的需要而產生的，模糊概念（或現象）處處存在。 有時使用模糊性比使用精確性還要好 。 例如，“大胡子高個子長頭發戴寬邊黑色眼鏡的中年男人” 模糊數學決不是把數學變成模模糊糊的東西，它也具有數學的共性：條理分明、一絲不茍。即使描述模糊概念（或現象），也會描述得清清楚楚。 一般來說，隨機性是一種外在因果

2、的不確定性， 模糊性是一種內在結構的不確定性。一、經典集合與特征函數 集合：具有某種特定屬性的對象集體。通常用大寫字母A、B、C等表示。論域：對局限于一定范圍內進行討論的對象的全體。通常用大寫字母U、V、X、Y等表示。論域U中的每個對象u稱為U的元素。在論域U中任意給定一個元素u及任意給定一個經典集合A，則必有 或者 ，用函數表示為：其中函數 稱為集合A的特征函數。二、模糊集合及其運算美國控制論專家Zadeh教授正視了經典集合描述的“非此即彼”的清晰現象，提示了現實生活中的絕大多數概念并非都是“非此即彼”那么簡單，而概念的差異常以中介過渡的形式出現，表現為“亦此亦彼”的模糊現象。基于此，196

3、5年， Zadeh教授在Information and Control雜志上發表了一篇開創性論文“Fuzzy Sets”,標志著模糊數學的誕生。1、模糊子集定義：設U是論域，稱映射確定了一個U上的模糊子集 。映射 稱為 隸屬函數， 稱為 對 的隸屬程度，簡稱隸屬度。模糊子集 由隸屬函數 唯一確定，故認為二者是等同的。為簡單見，通常用A來表示 和 。U “高個子”1.80高個子，1.79可以略低于1（99%）的程度屬于高個.模糊子集通常簡稱模糊集，其表示方法有：（1）Zadeh表示法這里 表示 對模糊集A的隸屬度是 。如（3）向量表示法（2）序偶表示法若論域U為無限集，其上的模糊集表示為：2、模

4、糊集的運算定義：設A，B是論域U的兩個模糊子集，定義相等：包含：并：交：余： 表示取大；表示取小。 例 設論域U = x1, x2, x3, x4, x5(商品集)，在U上定義兩個模糊集： A =“商品質量好” B =“商品質量壞”，并設A = (0.8, 0.55, 0, 0.3, 1).B = (0.1, 0.21, 0.86, 0.6, 0).則Ac=“商品質量不好”, Bc=“商品質量不壞”.Ac= (0.2, 0.45, 1, 0.7, 0).Bc= (0.9, 0.79, 0.14, 0.4, 1).可見Ac B, Bc A. 商品質量不好商品質量壞又 AAc = (0.8, 0.

5、55, 1, 0.7, 1) U, AAc = (0.2, 0.45, 0, 0.3, 0) .模糊集合的截集定義：設 AF ( X ) ， 0，1，記(A) = xX | A(x) , 稱 (A) 為 A 的 截集，簡記為 A 。例 取則有幾個常用的算子：（1）Zadeh算子（2）取大、乘積算子（3）環和、乘積算子（4）有界和、取小算子（5）有界和、乘積算子（6）Einstain算子3、模糊矩陣定義：設 稱R為模糊矩陣。當 只取0或1時，稱R為布爾（Boole）矩陣。當模糊方陣 的對角線上的元素 都為1時，稱R為模糊自反矩陣。（1）模糊矩陣間的關系及運算定義：設 都是模糊矩陣，定義相等：包含

6、：并：交：余：例：取大運算 取小運算 （2）模糊矩陣的合成定義：設 稱模糊矩陣為A與B的合成，其中 。例：模糊矩陣的冪（3）模糊矩陣的轉置定義：設 稱 為A的轉置矩陣。（4）模糊矩陣的 截矩陣定義：設 對任意的 稱為模糊矩陣A的 截矩陣，其中例：三、隸屬函數的確定1、模糊統計法模糊統計試驗的四個要素：（1）論域U；（2）U中的一個固定元素（3）U中的一個隨機運動集合（4）U中的一個以 作為彈性邊界的模糊子集A，制約著 的運動。 可以覆蓋 也可以不覆蓋致使 對A的隸屬關系是不確定的。特點：在各次試驗中， 是固定的，而 在隨機變動。模糊統計試驗過程：（1）做n次試驗，計算出（2）隨著n的增大，頻率

7、呈現穩定，此穩定值即為對A的隸屬度：例 取年齡作論域 X，通過模糊試驗確定 x0= 27(歲) 對模糊集“青年人” A 的隸屬度。 張南倫曾對 129 名學生進行了調查試驗，要求每個被調查者按自己的理解確定“年青人” (即 A) 的年齡范圍 (即 A*)，每一次確定的范圍都是一次試驗，共進行了 129 次試驗.統計的隸屬頻率見表1 。表 1 27歲對模糊集 “年青人” 的隸屬頻率由表 1可見，隸屬頻率隨試驗次數 n 的增加而呈現穩定性，穩定值為 0.78，故有 青年人 (27) = 0.78。n10203040506070隸屬次數6142331394753隸屬頻率0.600.700.770.7

8、80.780.780.76n8090100110120129隸屬次數6268768595101 隸屬頻率0.780.760.760.750.790.78 模糊統計與概率統計的區別：模糊統計：變動的圓蓋住不動的點概率統計：變動的點落在不動的圓內2、指派方法這是一種主觀的方法，但也是用得最普遍的一種方法。它是根據問題的性質套用現成的某些形式的模糊分布，然后根據測量數據確定分布中所含的參數。 (1) 偏大型（S 型）：這種類型的隸屬函數隨 x 的增大而增大，隨所選函數的形式不同又分為：描述“大”，“熱”、“老年”等偏向大的一方的模糊現象。越大越好（食品中營養物質的含量）1）升半矩形分布10axA(x

9、)2）升半 分布10axA(x)a+1/k圖 3.83）升半正態分布10axA(x)圖 3.94）升半柯西分布10axA(x)5）升半梯形分布10a1xA(x)a26）升嶺形分布10a1xA(x)a2(a1+a2)/2(2) 偏小型 (Z 型 )：這種類型的隸屬函數隨 x 的增大而減小，又可分為：描述“小”，“冷”、“青年”等偏向大的一方的模糊現象。越小越好（空氣中有害物質的含量）1）降半矩形分布01axA(x)2）降半分布01aa+1/kxA(x)3）降半正態分布 01axA(x)4）降半柯西分布 A(x)01ax5）降半梯形分布A(x)01a1xa26）降嶺形分布01/21a1a2xA(x)(3) 中間型（ 型）：這種類型的隸屬函數在 ( ，a) 上為偏大型，在 (a, +) 為偏小型，所以稱為中間型.描述“中”，“暖和”、“中年”等處于中間的模糊現象。越居中越好（人的體重）1）矩形分布01A(x)a-baa+bx2）尖分布01A(x)a-1/kaa+1/kx3）正態分布0ax1A(