1、 靜電場(chǎng)和恒定電場(chǎng)的邊值問題，可歸結(jié)為在給定邊界條件下求解拉普拉斯方程或泊松方程。 常用的方法有 本章在解析法中將介紹分離變量法；數(shù)值法中將介紹有限差分法；而間接法中將介紹鏡像法。直接法間接法解析法數(shù)值法靜態(tài)場(chǎng)邊值問題的解法3.5 鏡像法 待求區(qū)域的電位由其電荷分布與邊界條件共同決定。 鏡像法則是在研究區(qū)域之外，用一些假想的電荷分布代替場(chǎng)問題的邊界。 這些假想的電荷稱為像電荷，大多是一些點(diǎn)電荷或線電荷。 鏡像法只適用于一些特殊邊界。 鏡像法求解電位問題的理論依據(jù)是惟一性定理。 本節(jié)將分別討論平面鏡像、球面鏡像和柱面鏡像。3.5.1 接地導(dǎo)體平面的鏡像 設(shè)無限大接地導(dǎo)體平面（z=0）附近有一點(diǎn)電

2、荷q，與導(dǎo)體平面的距離為z=h，求上半空間的電位。 假設(shè)導(dǎo)體平面不存在，在z=0平面下面與點(diǎn)電荷q 對(duì)稱地放置一個(gè)電量為-q 的點(diǎn)電荷，仍能保證z=0的平面電位為零。則在z0區(qū)域中任意一點(diǎn)P 的電位3.5.2 導(dǎo)體球面的鏡像 球外區(qū)域任意一點(diǎn)的電位由點(diǎn)電荷 和導(dǎo)體球表面的感應(yīng)電荷決定。 像電荷的位置及大小由以下原則決定:點(diǎn)電荷與像電荷的共同作用應(yīng)使球面的電位為零。 一半徑為a的接地導(dǎo)體球，在與球心O 相距 的 點(diǎn)有一點(diǎn)電荷 ，求球外的電位分布。 在求解區(qū)域外（球內(nèi)）用一點(diǎn)電荷 （像電荷）代替球面上感應(yīng)電荷的影響。球外任意一點(diǎn)P 的電位 為確定像電荷的位置及大小，可在球面上取兩個(gè)特殊點(diǎn) 、 。它

3、們的電位均為零。聯(lián)立求解得于是球外任意點(diǎn)的電位3.5.3 導(dǎo)體圓柱面的鏡像于是圓柱外任意點(diǎn)的電位 采用球坐標(biāo)系，取原點(diǎn)為球心 O 點(diǎn)，Z 軸與 重合，則球外任意點(diǎn) 處有 如圖，半徑為 的接地導(dǎo)體圓柱外有一根和它平行的線電荷，密度為 ，與圓柱軸線相距為 。求空間的電位函數(shù)。代入解得 分析方法與球面鏡像相同，并用的關(guān)系進(jìn)行試探求解。同樣在圓周上取兩個(gè)特殊點(diǎn) 、 ，因?yàn)閳A柱接地，它們的電位為零。3.6 分離變量法 如果問題的邊界面與直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)面吻合，則可采用直角坐標(biāo)系中的分離變量法。下面通過例子具體說明該方法。例3.6.1 求如圖所示二維長(zhǎng)方形內(nèi)的電位函數(shù)。解：根據(jù)題意，所求區(qū)域的電位函數(shù)滿足

4、的方程及邊界條件為xayb3.6.1 直角坐標(biāo)系中的分離變量法只與x有關(guān)只與y有關(guān) 直角坐標(biāo)系中方程 可寫為（二維問題，與z無關(guān)） 分離變量法的前提即假設(shè)待求函數(shù)有分離變量形式的解：上式兩端同除以因此該式成立的條件：且 為實(shí)數(shù)為虛數(shù)為虛數(shù)為實(shí)數(shù) 為零為零 為實(shí)數(shù)為虛數(shù)為零或同樣的討論適用于函數(shù) 。為滿足x=0和x=a的邊界條件，應(yīng)選取則因?yàn)橛蛇吔鐥l件由邊界條件于是稱為邊值問題的本征值。它的意義是：在上述邊界條件下，分離常數(shù) 只有取這些特定值時(shí)，方程才有非零解。其解的函數(shù)形式 稱為本征函數(shù)。對(duì)于因?yàn)橛蛇吔鐥l件于是得由于 故 的一般形式 將邊界條件 這實(shí)際上是將一已知函數(shù)展為傅里葉級(jí)數(shù)。利用傅里葉

5、級(jí)數(shù)的系數(shù)公式得原問題的解僅是 的函數(shù)僅是r的函數(shù)3.6.2 圓柱坐標(biāo)系中的分離變量法圓柱坐標(biāo)系中的拉普拉斯方程為對(duì)于二維平面場(chǎng)，即 與z無關(guān)，這時(shí)拉普拉斯方程變?yōu)樵O(shè) 具有分離變量形式的解為用同乘以上式，得上式若成立，必須（歐拉方程）其解為 如果研究的區(qū)域是 ，因?yàn)楹瘮?shù) 必須滿足單值性要求，即 則 （整數(shù)）即其解為圓柱坐標(biāo)系中，二維場(chǎng) 的通解 例：3.6.3 一根半徑為 ，介電常數(shù)為 的無限長(zhǎng)介質(zhì)圓柱體置于均勻外電場(chǎng) 中，且與 垂直。設(shè)外電場(chǎng)方向?yàn)?軸方向，圓柱軸與 軸重合，求圓柱內(nèi)外的電位函數(shù)。(教材例4.2.1)解：在圓柱坐標(biāo)系中外電場(chǎng)對(duì)應(yīng)的電位 設(shè)圓柱外和圓柱內(nèi)內(nèi)的電位分別為，其滿足的方

6、程和邊界條件為有限得由條件得且有限,得由條件:因?yàn)閯t有又由得于是圓柱體外和圓柱體內(nèi)的電位分布3.6.3 球坐標(biāo)系中的分離變量法球坐標(biāo)系中的拉普拉斯方程為設(shè) 具有分離變量形式的解為用同乘以上式，得設(shè)問題與 無關(guān)，這時(shí)拉普拉斯方程變?yōu)閮H是 的函數(shù)僅是r 的函數(shù)上式若成立，必須引入新自變量該方程變?yōu)槔兆尩路匠唐浣饫兆尩露囗?xiàng)式:關(guān)于該方程而方程的解球坐標(biāo)系中拉氏方程的通解 例：3.6.5 一半徑為 ，介電常數(shù)為 的介質(zhì)球置于均勻外電場(chǎng) 中，設(shè)外電場(chǎng)方向?yàn)?軸方向，求球內(nèi)外的電位函數(shù)。（教材例4.3.1)外電場(chǎng)對(duì)應(yīng)的電位 設(shè)圓柱外和圓柱內(nèi)的電位分別為，滿足的方程和邊界條件解：在球坐標(biāo)系中有限由條件得且通

7、解有限,得由條件:通解又由和得于是球外、內(nèi)電位分布由條件得3.7 有限差分法 有限差分法是求解電磁場(chǎng)問題的數(shù)值方法。 對(duì)于邊界條件過于復(fù)雜的電磁場(chǎng)問題，無法求得解析解。 有限差分法是將求解區(qū)域劃分成網(wǎng)格，把區(qū)域內(nèi)連續(xù)的場(chǎng)分布用網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上的離散的數(shù)值解代替。 應(yīng)用有限差分法計(jì)算靜態(tài)場(chǎng)邊值問題，需要把微分方程用差分方程代替。 網(wǎng)格的劃分有不同的方法，我們只討論正方形網(wǎng)格劃分。故點(diǎn)1的電位點(diǎn)3的電位設(shè)x軸上鄰近O點(diǎn)的一點(diǎn)的電位為 ，用泰勒公式展開為于是同理將以上二式相加得若所求區(qū)域電荷分布為零，則二維拉氏方程的有限差分形式 上式表示任意一點(diǎn)的電位等于圍繞它的4個(gè)點(diǎn)的電位的平均值。對(duì)每一網(wǎng)格點(diǎn)寫出類似的式子，得到方程數(shù)與未知電位的網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)相等的線性方程組。將邊界條件離散化，作為邊界上節(jié)點(diǎn)的已知電位。考慮，4階以上的高階小量可以忽略，得將電位滿足的二維泊松方程式中 已知一正方形截面的無限長(zhǎng)金屬盒。盒子兩側(cè)及底部電位為零，頂部電位為100V，求盒內(nèi)的電位分布。根據(jù)二維拉氏方程的有限差分形式得點(diǎn)5的電位為一、簡(jiǎn)單迭代法 對(duì)每一網(wǎng)格點(diǎn)賦初值:點(diǎn)1、3電位為點(diǎn)7、9電位為點(diǎn)4、6電位為點(diǎn)2電位為點(diǎn)8電位為 初值給定后，按一固定順序，利用拉氏方程的差分形式，用圍繞它的4個(gè)點(diǎn)的電位的平均值作為其新值，依次計(jì)算每點(diǎn)的電位。當(dāng)所有點(diǎn)計(jì)算完后，用新值代替舊值，即完成一次迭代。然后再進(jìn)行下一次