1、第十二章機械振動一、選擇題（在下列各題中，均給出了4個5個答案，其中有的只有1個是正確答案，有的則有幾個是正確答案，請把正確答案的英文字母序號填在題后的括號內）在關于簡諧運動的下列說法中，正確的是：（）質點受到回復力（恒指向平衡位置的力）的作用，則該質點一定作簡諧運動；小球在半徑很大的光滑凹球面上來回滑動，如果它滑過的弧線相對凹球面的半徑很短，則小球作簡諧運動；物體在某一位置附近來回往復的運動是簡諧運動；d2Q若一物理量Q隨時間的變化滿足微分方程+32Q=0，則此物理量Q作簡dt2諧運動（3是由振動系統本身的性質決定的常量）；籃球運動員運球過程中，籃球作簡諧運動。解：選（B、D）。因為一質點作

2、簡諧運動必須受到一個恒指向平衡位置，且與位移成正比的彈性力（或準彈性力）的作用。根據牛頓第二定律，小球在運動時受到F二-mgsinO回復力的作用，依題意，TsinOtanO=（式中r為凹球面半徑），即回復力為F=-mgy，滿足簡諧運動動力RTR學判據。簡諧運動不僅是來回往復運動，而且應滿足位移隨時間是按正弦（或余弦）規律變化的。d2yd2Q簡諧運動的運動學特征是+2y=0，所以，物理量Q的微分方程+32Q=0dt2dt2滿足簡諧運動運動學判據。籃球運動員運球過程中，籃球除在拍打和地面反彈有瞬間碰撞力外，只受到始終向下的重力作用，不滿足簡諧運動動力學判據。一個沿y軸作簡諧運動的彈簧振子，振幅為A

3、,周期為T其運動方程用余弦函數表示。下面左側是振子的初始狀態，右側列出了一些初相位值，試用連線的方法確定它們的對應關系：3A.過y=AA處向y軸正方向運動B/.初相位為土nA/.初相位為-4n/.初相位為一3兀D/.初相位為-2nA一B.過y=-亍處向y軸正方向運動C.過平衡位置處向y軸正方向運動D.過y0一A解：由題意可畫出各種條件下的旋轉矢量。如圖12-2所示的彈簧振子，當振動到最大位移處恰有一質量為m0的爛泥小球從正上方落到質量為m的物塊上，并與物塊粘在一起運動。則下述結論中正確的是：（）A振幅變小，周期變小;B振幅變小，周期不變;C.振幅不變，周期變大;D.振幅不變，周期變小；圖12-

4、2解：選（C）。當振子正好在最大位移處時，爛泥小球落在物塊上，根據動量守恒定律，在y方向有mv=（m+m）v二00所以，小球不會影響振子在y方向上的狀態，即不會影響振幅變化，有A=A。由于周期是由振動系統自身性質所確定的，即T二2n”節爛泥小球落在物塊前后，振子的質量由m變化為（m+m0），因此相應的周期將發生變化，即Ifcim泥球落下前：T二2、m+m“泥球落下后：T=2兀0Tk已知彈簧振子的彈性系數為1.3N/cm,振幅為2.4cm.這一彈簧振子的機械能為（）7.48xl0-2JB.1.87x10-2JC.3.74xlO-2JD.1.8XI2J2解：選（C）。由機械能守恒定律得E=2kA2

5、=2x1.3x102X2-4x10_3.74x10r一質點做諧振動，周期為T,它由平衡位置沿x軸負方向運動到離最大負位移1/2處所需要的最短時間為（）A.T/4B.T/12C.T/6D.T/8兀/6解：選（B）。找旋轉矢量轉過的最小角度！At=巴2m2兀/T12n6.一質點作簡諧運動，其振動方程為y=Acos（+y，則該物體在t=0時刻與t=（T為振動周期）時刻的動能之比為：（）8A1:4；B1:2；C1:1；D2:1。解：選（D）。已知振動方程為y=Acos（t+亍，則振動速度方程為v=-Asin(t+)dt2t=0時，v=-A,E=丄mv2=m2A2=kA20k02022T4.2nTn、邁

6、人廠1t=時，v=Asin(x+)=A,E=mv281T822k121則動能之比為E20=E117.一振動系統的振動曲線如圖12-3所示，則其振動方程為：（A.y=b.y=t+2）；t一2）；C.y=6cos(2nt+2).nD.y=6cos(2nt-)。)解：選（A）。從圖12-3所示曲線得A=6m,T=4s,2nnT2還可知，當t=0時，y0=0，“00,則由（SI）SI）SI）SI）SI）（SI）y=Acose=0和v=-wAsin000得初相位為ne=2則振動方程為nn、y=6cos(t+)22一質點同時參與了兩個方向同頻率的簡諧運動，其振動方程分別為：ny=5x10-2cos(4t+

7、-3)ny=3x10-2sin(4t-)26則其合振動方程為：()nA.y=8x10-2cos(4t+)ny=8x10-2cos(4t一)6ny=2x10-2cos(4t+)y=2x10-2cos(4t-)6解：選（C）。質點的同方向同頻率的兩個簡諧運動方程分別為ny=5x10-2cos(4t+3)TOC o 1-5 h zn2n HYPERLINK l bookmark66 y=3x10-2sin(4t-)=3x10-2cos(4t-)263合振動仍為簡諧振動，其頻率仍為分振動的頻率=4。兩個簡諧振動的相位差為=申_申=_2-一=-n2133滿足相干減弱條件，則合振幅為A=A-A=2x10-

8、2m12可由圖12-8（c）的旋轉矢量得合振動的初相位為n=13n則合振動方程為y=2x10-2cos4(+3)(SI)一單擺的周期恰好為1s,它的擺長為（）A.0.99mB.0.25mC.0.78mD.0.5m（2）解：選（B）。直接帶公式T=2兀10.一質點作簡諧振動，頻率為f,則其振動動能的變化頻率為（）D.2f11E=mv2=m2A2sin2（t+申）解：選（D）。K220把上式寫成余弦函數，頻率變成原來的2倍。、填空1設質點沿X軸作簡諧振動，位移為X、x2時的速率分別為v1.v2，此質點振動的周期為.x2一x2.2n12v2v221解：由x=Acosgt+申）得v=-Asingt+申

9、），所以有下式成立:才=cos（t+申）魯=cos（t+申）1=sin（t+申）A1v=sint+申）A2x2=2-A2v2+2A222.如圖12-4所示，垂直懸掛的彈簧振子由兩根輕彈簧串接，則系統的振動周期T=m（k+k）2n丁；若物體m由平衡位置向下位移y,則系統勢能增量為AE二kkP12kky22（k+k）12解：兩根輕彈簧串接的系統可用一個等效彈簧振子來描述。設該等效彈簧振子伸長Ay，由于受力相同，而kk2不同，則兩彈簧的伸長量A和A就1212不相同，且Ay=Ay1+Ay2（1）圖12-4設兩彈簧受力為F,則F=kAy，F=kAy，F=kAy1122FFF將式(2)代入式(1)，得=廠

10、+kkk12則等效彈簧振子的勁度系數k應為所以，等效彈簧振子的振動周期為kkk=k+k12T=去彳=竺晉丫12當諧振子的振幅增大2倍時，它的周期不變，彈性系數不變，機械能增大4倍，速.度最大值增大2倍，加速度最大值增大2倍。一簡諧運動的振動方程用余弦函數表示，其yt曲線如圖12-5(a)所示，則此簡諧振動的三個特征量為：A=10cm；o=解：由圖12-5可知，A當t=0時，y=5cm，00當t1=1s時，y1=0，v而9=1=10cmvo0,可由如圖12-5(b)所示旋轉矢量圖得900，則有y0=I=Acosp又由v=-wAsin0，知sin00n則得P=3ny=Acow(t-3)n又由于速度

11、的初相位比位移初相位超前怎，即有2nnnn(p=+=+=v2326則運動方程為速度的初相位為速度的最大值為6.-彈簧振子振動頻率為v0，若將彈簧剪去一半，則此彈簧振子振動頻軒和原有頻率v0解：彈簧截去一半后剩余部分的勁度系數變為原來的2倍。彈簧振子的角頻率公式：=2兀v,所以在振子質量不變的條件下，彈簧的勁度系數變為原來的2倍后，振子的固有頻率變為原來的倍。7.如圖12-6所示，一彈簧振子置于光滑水平面上，靜止于彈簧原處，振子質量為m。現有一質量為m0的子彈以速度v0射入其中，并一起作簡諧運動。如以此時刻作為計時起點,則初相位申二振幅A=mv00+m)0解：由于子彈與振子的碰撞滿足動量守恒定律

12、，則有圖12-6hI-I/WAX%mmv=(m+m)v，即v=0一v00000m+m00式中v為系統作簡諧運動在t=0時的初速度，也是系統速度最大值的負值，即v=u。00m設速度方程為以=以cos（+9），貝y有mvnnn則位移的初相位為9=9v-2=n-込=2由于系統作簡諧運動時滿足機械能守恒定律，則有(m+m)v2=kA20212o系統的振幅、m+m=0_km0vm+m00mv-008.作簡諧運動的質點，t時刻的相位分別為（a）54n；(b)+n；k(m+m)n(c)3；(d)試在圖12-7中畫出對應的旋轉矢量圖。3n；若將這兩圖12-8圖12-7分析與解題各條件下的旋轉矢量圖如圖12-7所示。9.兩個質點平行于同一直線并排作同頻率、同振幅的簡諧運動。在振動過程中，每當它們經過振幅一半的地方時相遇，而運動方向相反。則它們的相位差為=n+9=時,132帖札叮=兀則相位差為x=Asin(et)Emv20.02*36*10-4k222合振幅為AA2+A2+2A2cosn=AI3圖12-8(b)用旋轉矢量表示的相位差