1、浙江大學橋梁與隧道專業研究生學位課程橋梁設計理論二00二年九月第- PAGE I 頁目 錄第一講 概 述1第二講 薄壁箱形梁的結構與受力特點2第三講 薄壁箱形梁的彎曲6第四講 薄壁箱梁剪力滯的變分解法20第五講 薄壁箱形梁的自由扭轉38第六講 薄壁箱形梁的約束扭轉56第七講 薄壁箱形梁的組合扭轉72第八講 薄壁箱形梁的畸變87第九講 曲線梁橋計算理論105第十講 斜橋計算理論113第一講 概 述本課程是橋隧專業碩士研究生的專業課，它是在本科橋梁工程的基礎上對內容進行深化，著重介紹一些設計公式和規范條文的理論依據。使研究生能從原理上和從問題的本質上去認識橋梁結構的受力特性和性能，為今后從事橋梁工

2、程研究工作打下基礎，并掌握基本的研究方法。橋梁工程的重點是簡支梁橋，計算理論是以橫向分布為基礎，形式以空心板梁和梁為重點，其中橫向分布概念的引入，將橋梁空間結構問題簡化為平面問題，極大地簡化了梁橋的計算。但是該方法在其他體系的橋梁如連續梁橋、懸臂梁橋、剛架橋、斜拉橋、懸索橋及拱橋等，應用很不成功。其主要原因是這些體系的橋梁的主梁常采用箱形截面。在利用橫向分布技術處理箱形梁計算時，通常將箱梁腹板近似看作等截面的梁肋，按修正偏壓法求出活載作用下邊腹板的荷載分配系數，再乘以腹板總數，得到箱梁截面活載內力增大系數，然后求得箱梁內力姚玲森橋梁工程P.198，這種方法有時會引起很大的誤差，因為箱梁是一種閉

3、合截面，看作等截面梁肋的做法，是將閉合截面處理成開口截面，與實際不符。因此，本課程將研究箱梁計算理論，包括箱梁的彎曲、扭轉、畸變等方面設計計算分析方法。橋梁工程中介紹了斜橋的受力特點，但并沒有討論其計算理論，還有隨著城市高速路的發展，立交橋日益增多，為增添城市景觀，使橋梁服從線路的平面布置和提高交通樞紐的使用功能，曲線橋梁應運而生，因此，本課程將斜、彎橋列入。針對我校本科教學的特點，鋼筋混凝土尤其是預應力混凝土橋梁計算理論是薄弱點，本課程也將這部分內容列入。第二講 箱形梁的結構與受力特點第一節 箱形梁的結構特點及其應用一、箱形結構的廣泛應用得益于它的眾多優點：（一）截面抗扭剛度大，結構在施工與

4、使用過程中都具有良好的穩定性；（二）頂板和底板都具有較大的混凝土面積，能有效地抵抗正負彎矩，并滿足配筋的要求。適應具有正負彎矩的結構，如連續梁、斜拉橋、拱橋的拱肋和懸索橋加勁梁等；（三）適應現代化施工方法的要求，如懸臂施工法、頂推法等；（四）承重結構與傳力結構相結合，使各部件共同受力，經濟效果良好，同時截面效率高，適合預應力混凝土結構空間布束，更加收到經濟效果；（五）適合于修建曲線橋；顯然，箱形截面也存在一些不足之處，需要引起設計者的充分重視。如箱形截面屬薄壁結構，除受力鋼筋外，還需配置大量構造鋼筋，這對于中等跨徑的橋梁，有時會導致用鋼量比工字形或T形截面增多。而對于大跨徑橋梁，由于箱形截面乃

5、實腹式梁，比起空腹式的桁架式結構自重大。而減輕自重是大跨徑橋梁的重要課題，因而在設計時必須采取措施減輕自重，以節省材料，使造價經濟。近年來由于三向（即縱向、橫向、豎向）預應力的應用，可采用薄壁、少肋的所謂寬箱截面，以收到良好的經濟效果。二、箱形截面在各類橋梁上的應用箱形截面早期應用于普通鋼筋混凝土懸壁梁橋和連續梁橋，一般采用在支架上現澆施工。近代由于預應力混凝土的發展，同時由于現代施工技術的進步，箱形截面更加廣泛應用于各種現代橋梁，而且一般采用無支架施工。據統計，當跨徑大于60m后，除極少數外，其橫截面大多為箱形截面，其結構形式有簡支、懸臂、T形剛構、連續梁等。截面形式如圖2-1。1、簡支梁一

6、般采用預制安裝，單箱或多箱截面形式，公路橋梁最大跨徑達76m；鐵路橋梁則采用單箱單室等高梁，跨徑在40m以內。2、懸臂梁橋、T形剛構橋以及連續梁橋一般采用懸臂施工法。連續梁橋還可采用項推法施工。這些施工方法都充分發揮箱形截面的優越性。大跨徑梁式橋多采用變高度梁，其最大跨徑已達270m。3、在城市高架橋中，采用梯形單箱單室截面與單柱墩配合，具有外形簡潔、美觀，橋下通視良好的優點，得到廣泛應用。圖2-2 城市高架橋箱形截面形式4、在現代斜拉橋中，也廣泛應用箱形截面，特別是采用單索面時，由于箱形截面的主梁抗扭剛度大，有利于承受偏心荷載，而且也便于拉索與主梁的連接。采用三角箱的斜拉橋具有風動力性能良好

7、的優點。5、在拱式橋梁中，大跨徑的鋼筋混凝土拱橋大都采用箱形截面。由于箱形截面中和軸居中，能抵抗相等的正負彎知，適應拱中各截面正負彎短的變化；抗扭剛度大，拱中應力分布較均勻；施工中穩定性好，有利于單片成拱，便于無支架施工。拱圈截面形式可以是多箱組合，也可以用單箱式。三、箱形截面的構造要點（一）外形：由頂板、底板、肋板及梗腋組成1、頂板：除承受結構正負彎矩外，還承受車輛荷載的直接作用。在以負彎矩為主的懸壁梁及T形剛構橋中，頂板中布置了數量眾多的預應力鋼束，要求頂板面積心須滿足布置鋼束的需要，厚度一般取1825cm。2、底板主要承受正負彎矩。當采用懸臂施工法時，梁下緣承受很大的壓應力，特別是靠近橋

8、墩的截面，要求提供的承壓面積更大；同時在施工時還承受掛籃底模板的吊點反力。在T形剛構橋和連續梁橋中，底板厚度隨梁的負彎矩塔大而逐漸加厚。底板最小厚度15cm。3、肋板承受截面剪應力及主位應力，并承受局部荷載產生的橫向彎矩，其厚度還須滿足布置預應力筋及澆筑混凝土的要求，以及錨固錨頭的需要，一般厚度為20-35cm，大跨徑橋梁可采用變厚度。4、梗腋頂板與肋板交接處設使梗液，其作用是；（1）提高截面抗扭剛度，減少畸變應力；（2）使橋面板支點加厚，減少橋面板跨中彎矩；（3）使力線過渡平緩，避免應力集中；（4）提供布置縱向預應力鋼束的面積。底板與助板交接處的梗腋，其作用不如上梗腋顯著，尺寸可較小，有的國

9、外橋梁甚至不設。尺寸：以提高截面的抗扭剛度為目的設置，其斜度可按1:1，也可1:2或2:1設計。注意：在大跨徑箱形梁橋中，結構自重占總荷載的比例較大（可達80以上），為減輕自重，宜采用寬箱薄壁截面。圖2-3 箱形截面配筋示意圖兩層鋼筋網橫向預應力筋縱向預應力筋豎向預應力筋兩層鋼筋網（二）箱形截面的配筋箱形截面的預應力混凝土結構一般配有預應力鋼筋和非預應力向普通鋼筋。1、縱向預應力鋼筋：結構的主要受力鋼筋，根據正負彎矩的需要一般布置在頂板和底板內。這些預應力鋼束部分上彎或下彎而錨于助板，以產生預剪力。近年來，由于大噸位預應力束的采用，使在大跨徑橋梁設計中，無需單純為了布置眾多的預應力束而增大頂板

10、或底板面積，使結構設計簡潔，而又便于施工。2、橫向預應力鋼筋：當箱梁肋板間距較大，或箱的懸臂板長度較長時，采用普通鋼筋混凝土的板面板，鋼筋用量過多，或需要較厚的橋面板。這時可考慮設置橫向預應力鋼筋，橫向預應力鋼筋一般為直線形，布置在頂板的上、下兩層鋼筋網間，錨固于懸臂板端。3、豎向預應力鋼筋：當肋板中的剪應力或主位應力較大，配置普通鋼筋不能滿足要求時，可布置豎向預應力鋼筋，避免采取加厚肋板增大自重帶來的不利影響。豎向預應力筋一般下端埋入脅板混凝土，上端錨于頂板項面。配有縱向、橫向、豎向預應力鋼筋的結構稱為三向預應力結構。近年來，大跨徑箱形截面橋梁都采用三向預應力。縱向彎曲剛性扭轉畸變橫向撓曲圖

11、2-4 箱形梁在偏心荷載 作用下的變形狀態4、普通鋼筋：箱形截面屬薄壁結構，因而在頂板、肋板和底板中，根據受力需要，或為防止和限制由于溫度變化及混凝土收縮而引起的混凝土裂縫等構造要求，一般都配置兩層鋼筋網。必須指出，這些普通鋼筋的用量占全橋鋼筋用量相當大的比例。根據已建成的同類橋梁同類橋梁的統計，這種普通鋼筋每平方米橋面用量相差很大，一般在40150kg之間，因此必須精心設計，做到既安全又經濟。第二節 箱形梁的受力特點作用在箱形梁上的主要荷載是恒載與活載。恒載一般是對稱作用的，活載可以是對稱作用，但更多的情況是偏心作用的，因此，作用于箱形梁的外力可綜合表達為偏心荷載來進行結構分析；在偏心荷載作

12、用下，箱形梁將產生縱向彎曲、扭轉、畸變及橫向撓曲四種基本變形狀態。詳見圖2-4。1、縱向彎曲產生豎向變位，在橫截面上起縱向正應力及剪應力。對于肋距不大的箱形梁，按初等梁理論計算，當肋距較大時，會出現所謂“剪力滯效應”。即翼板中的分布不均勻，近肋翼板處產生應力高峰，而遠肋翼板處則產生應力低谷，這稱為“正剪力滯”；反之，如果近肋翼板處產生應力低谷，而遠肋翼板處則產生應力高峰，則為“負剪力滯”。對于肋距較大的寬箱梁，這種應力高峰可達相當大比例，必須引起重視。2、剛性扭轉剛性扭轉即受扭時箱形的周邊不變形。扭轉產生扭轉角。分自由扭轉與約束扭轉。（1）自由扭轉：箱形梁受扭時，截面各纖維的縱向變形是自由的，

13、桿件端面雖出現凹凸，但縱向縱維無伸長縮短，能自由翹曲，因而不產生縱向正應力，只產生自由扭轉剪應力。（2）約束扭轉：受扭時縱向纖維變形不自由，受到拉伸或壓縮，截面不能自由翹曲。約束扭轉在截面上產生翹曲正應力和約束扭轉剪應力。產生約束扭轉的原因：支承條件的約束，如固端支承約束縱向纖維變形；受扭時截面形狀及其沿梁縱向的變化，使截面各點纖維變形不協調也將產生約束扭轉。如等厚壁的矩形箱梁、變截面梁、設橫隔板的箱梁等，即使不受支承約束，也將產生約束扭轉。3、畸變（即受扭時截面周邊變形）畸變的主要變形特征是畸變角。薄壁寬箱的矩形截面受扭變形后，無法保持截面的投影仍為矩形。畸變產生翹曲正應力和畸變剪應力。4、

14、橫向彎曲：畸變還會引起箱形截面各板的橫向彎曲，在板內產生橫向彎曲應力 （縱截面上）。圖2-5 局部荷載作用下 橫向彎矩圖5、局部荷載的影響：箱形梁承受偏心荷載作用，除了按彎扭桿件進行整體分析外，還應考慮局部荷載的影響。車輛荷載作用于頂板，除直接受荷載部分產生橫向彎曲外，由于整個截面形成超靜定結構，因而引起其它各部分也產生橫向彎曲。圖2-5表示箱形截面在頂板上作用車輛荷載，在各板中產生橫向彎矩圖。這些彎矩在各板的縱截面上產生橫向彎曲正應力及剪應力。綜合箱形梁在偏心荷載作用下產生的應力有：在橫截面上：縱向正應力： 剪應力：在縱截面上；橫向彎曲正應力：在預應力混凝土梁中，跨徑越大，恒載占總荷載比例就

15、越大。一般地，由于恒載產生的對稱彎曲應力是主要的，而由于活載偏心所產生的扭轉應力是次要的。如果箱壁較厚，或沿梁的縱向布置一定數量的橫隔板，限制箱形梁的畸變，則畸變應力也是不大的。但對于少設或不設橫隔板的寬箱薄壁梁，畸變應力不可忽視。板的橫向應力對于頂板、肋板及底板的配筋具有重要意義，必須引起重視。第三講 薄壁箱梁的彎曲剪應力現代工程結構廣泛使用薄壁結構，特別是橋梁工程，從特大跨徑的懸索橋、大跨徑斜拉橋，到中小跨徑的連續梁橋，甚至簡支梁橋等，多采用箱形截面的薄壁結構或桁架形式的薄壁桿件。如杭州灣跨海大橋，建設方采用設計施工總承包的招標方式，各投標單位均采用了鋼箱梁斜拉橋和箱形截面混凝土連續梁橋形

16、式。1、懸索橋：主要有美國式和英國式兩種形式懸索橋。美國式懸索橋采用鋼桁架加勁梁（如Golden Gate bridge，Verrazano bridge，日本的明石海峽大橋等）；英國式懸索橋采用鋼箱梁（如Severn bridge， Humber bridge，我國的江陰長江大橋，在建的潤揚長江大橋南汊橋等）。2、斜拉橋：主梁多采用預應力混凝土或鋼結構箱形截面。如日本多多羅大橋、南京長江二橋、等采用鋼箱梁；而錢江三橋、招寶山大橋等采用預應力混凝土箱形梁。3、懸壁梁橋、T型剛構橋、連續梁橋：多采用預應力混凝土箱梁作主梁。如虎門大橋輔航道橋、南京長江二橋北汊橋、錢江二橋、錢江五橋、錢江六橋等。薄

17、壁桿件在彎扭變形時，其正應力和剪應力分布及大小與通常的實體截面桿件差別很大，且開口截面與閉合截面桿件在相同受力情況下其正應力和剪應力也大不相同。因此，有必要對開口截面和閉合截面桿件分別加以討論。第一節 坐標系的建立薄壁桿件分析中，常取桿件的中面（到兩縱向表面距離相等的面）來表示桿件，取橫截面的中線表示橫截面。應用的坐標系有兩種，如圖3-1所示。其一是以截面某一特定點為原點（如形心）的固定坐標系，取桿件軸線為軸，坐標軸正向符合右手法則；或者為了運算方便，采用曲線坐標，即在截面上選定一原點，以自原點量取的截面中線（曲線）長為坐標量值，取逆時針方向為正，于是截面上任意點的位置可表示為或。其二是以截面

18、上任意點為原點的動坐標系，軸平行于桿件軸線，為點處截面中線的切線，為相應的外法線，三者之間也符合右手法則。圖3-1 二種形式坐標系在第二節 薄壁桿件彎曲基本假定薄壁桿件尺寸限制：桿件的寬度與長度之比（）和壁厚與寬度之比（）均小于（或等于）0.1。薄壁桿件彎曲分析中采用以下基本假定：1、平面假定。即假定桿件變形后橫截面仍保持為平面，據此，截面上任一點的縱向應變為： （3-1）式中。、為待定常數。2、線性假定。即應力與應變呈線性關系，滿足虎克定律。 （3-2）其中、為彈性常數。將式（3-1）代入上式便有： （3-3）表明桿件橫截面上的正應力也呈線性分布。3、小變形假定。即忽略桿件變形引起的二次力的

19、影響，與假定“2”相聯系，表明本書的討論限干線彈性分析，因此適用疊加原理。4、假定彎曲剪應力沿壁厚均勻分布。據此，單位周邊中線長度上的剪力流可用剪應力與壁厚的乘積來表示。即= 或： （3-4）在研究彎曲變形時，假定無扭矩作用，且軸向力沿桿軸無變化（=常數）或等于零。第三節 不考慮剪力滯彎曲正應力及慣性主軸一、彎曲正應力取截面形心為原點，建立坐標系如圖3-2所示，現以靜力學條件確定式（3-1）中的待定常數、。圖3-2 （3-5）上述各式中的積分僅與截面形狀和尺寸有關，分別表示截面的幾何特性。其中： 截面積 截面對軸的靜矩 截面對軸的靜矩 截面對軸的慣性矩 （3-6） 截面對軸的慣性矩 截面對軸的

20、慣性矩 注意到坐標系以截面形心為原點，因此有，。將以上各式代入式（3-5），解方程組得： （3-7）式（3-7）代入式（3-3），有： （3-8）為分別表達、的作用，上式可改寫為： （3-9）二、幾種特例1、=0 （3-10）或 （3-11）令式（3-10）中=0，則得到、的作用下的中性軸方程： （3-12）2、僅有豎向彎矩作用時，、=0， （3-13）3、同理當、=0時 （3-14）可見，一般情況下，作用在平面的彎矩產生的彎曲正應力不僅與有關，同時也與有關。即正應力不對稱于軸。可以證明其撓曲線為一空間曲線，不僅有平面的彎曲變形，而且也有平面的彎曲變形。因此稱為非對稱彎曲或廣義彎曲。（三）慣性

21、主軸如果、軸的選擇使得截面對其慣性積為零時，則正應力公式（3-9）簡化為人們熟知的偏心受壓（受拉）公式。即 （3-15）此時，坐標軸、稱為慣性主軸，簡稱主軸。通過截面形心的主軸，稱為形心主軸。圖3-3顯然，形心主軸可根據=0確定。對于任一截面，經過截面形心任選一參考坐標系，設形心主軸與該參考坐標系間的夾角為（逆時針轉為正），根據坐標轉換關系有： （3-16）代入=0，化簡后得到： （3-17）這樣就求得了形心主軸相對于參考坐標系的夾角，即確定了形心主軸，此后的計算，便可基于形心主軸，按簡化公式（3-15）進行計算。工程實際中常采用對稱截面，若以對稱軸為軸，則截面的對稱軸就是形心主軸。注意：只有

22、當、軸為形心主軸（對稱軸為特例）時，平面彎曲公式（3-15）才適用，否則應采用廣義彎曲公式（3-9）計算，平面彎曲與廣義彎曲二者不可混淆。第四節 開口薄壁桿件的彎曲剪應力及剪力中心一、彎曲剪應力觀察圖3-2薄壁單元的平衡，根據本章假定“4”，引入剪力流表達式（3-4）后，由，可得 （3-18）即：，則得到正應力與剪力流間的關系方程： （3-19）將其移項后積分得： （3-20）式中為積分常數，其物理含義為曲線坐標=0點處的初始剪力流（見圖3-2）。對于開口薄壁截面，當取自由邊緣作為=0點時，便有=0，這時開口截面彎曲剪力流公式可簡化為： （3-21）將正應力一般表達式（3-8）代入式（3-20

23、），注意到截面幾何特性的定義并引用彎短、剪力間的微分關系便有：（假定=常數） （3-22）則開口薄壁截面的彎曲剪力流表達式為： （3-23）注：式（3-23）推導如下：由式（3-9）得： （A）注意到式（3-22），（A）式成為 （B）將式（B）代入式（3-21）得： （C）由定義：，代入式（C）即得到式（23）。討論：（1）當、軸為截面主軸時，則式（3-23）可簡化為 （3-24）（2）式（3-23）中先后令及，則得到由、方向剪力及引起的剪力流。, （3-25）（3）若以和表示=1及=1單獨作用時的剪力流，則： （3-26）顯然 （3-27）二、剪力中心薄壁（桿件）截面剪力流的合力（，）作用

24、點稱為剪力中心。各截面剪力中心的連線稱為剪力中心線。對于等截面直桿，它為與桿軸線平行的直線。當橫向力作用于剪力中心線上時，由剪力中心的定義可知，該橫向力產生的彎曲剪應力的合力將與此橫向力相應的截面剪力平衡，桿件僅發生彎曲而無扭轉（和方向的位移、不等于零，扭轉角=0），因此剪力中心又稱為彎曲中心。本章研究的薄壁桿件彎曲問題，就是指在通過剪力中心線的橫向荷載作用下的“只彎不扭”問題。根據位移互等定理（見圖3-4a），當桿件僅承受扭矩作用時，其橫截面只產生繞剪力中心的轉動（0），而剪力中心處無橫向位移（=0），即“只扭不彎”，此時剪力中心線為桿件扭轉變形的轉動軸線，故截面的剪力中心也稱扭轉中心。(a

25、)(b)圖3-4在薄壁桿件分析中，常取剪力中心線為坐標系的縱向坐標軸，其后將截面內力分解到坐標軸上，即以、以及、來表示，這樣就將問題分解為平面彎曲與純扭轉的組合，分別按“只彎不扭”和“只扭不彎”計算，而后疊加。現討論剪力中心的計算。如圖3-4b所示開口薄壁截面，先取以形心為原點的參考坐標系，設截面的剪力中心為，以和分別表示和單獨作用引起的剪力流，根據剪力中心的定義知，、作用點應滿足（合力矩定理）條件 式中為截面中線全長，為截面形心至截面上任一點的切線的距離，將剪力流表達式（3-26）引入便有： （3-28）再將式（3-26）代入得： （3-29）現定義：，則： （3-30-1）并定義： （3-

26、30-2）表示截面上任一點的曲線坐標與點（稱極點）組成的扇性面積（）的二倍。當點與點一定時，點的位置由唯一確定，故稱為點的扇性坐標，而及則稱為截面的扇性慣積。將式（3-30）代入式（3-29），并進行分部積分，即得到剪力中心的坐標為： （3-31）式（3-31）推導如下：式（3-29）中的積分： （A）應用分部積分公式，則式（A）變為 （B）由于軸以形心為原點，故無論曲線在坐標=0或=，對于開口截面均有，而為有限值，故式（B）中，根據定義，有 （C）因此，式（B）可改寫為： （D）再將式（D）代入（A）及式（3-29）即可得到剪力中心坐標式（3-31）。當軸為形心主軸時，有，式（3-31）便簡

27、化為： （3-32）式（3-31）表明，剪力中心只與截面有關，與荷載無關，故屬于截面固有的幾何特性。根據剪力中心的定義及其計算公式（3-31），不難得出確定剪力中心的下列規律（圖3-5）：1、對于雙軸對稱截面，對稱中心即為剪力中心（圖3-5d）；2、對于僅有一個對稱軸的截面，剪力中心必位于該對稱軸上（圖3-5C）；3、對于由兩個矩形狹條組成的截面，剪力中心位于此二矩形狹條中線的交點上（圖 3-5a、b）。(a)(b)(c)(d)圖3-5第五節 閉口薄壁桿件的彎曲剪應力及剪力中心一、閉口薄壁截面的彎曲剪應力1、單室閉口截面的彎曲應力回顧式（3-20）可以發現，它也適用于閉口薄壁截面的計算。對于開

28、口截面，由于取在截面的自由邊緣，故，對于閉口截面（圖2-5），當曲線坐標原點（）任意取定時，在一般情況下，因此閉口截面剪力流（以表示）應為： （3-33）將式（3-20）代人便有： （3-34）可見，閉口截面的剪力流歸結為相應開口截面剪力流加上坐標原點處的初始剪力流。以下討論的計算：(a)(b)圖3-6設想在閉口截面的周邊上任選=0的點處將截面“切開”，使其成為開口截面，按力法原理，在切口處去掉約束后應代之以贅余力（設為）的作用。首先按式（3-20）求得此開口截面的剪力流，然后利用相應的閉口截面在及作用下切口處的變形連續條件建立方程，求解。切口處變形連續條件為、間相對縱向位移為零（圖2-5）。

29、根據圖2-5 b所示微元的剪切變形為： 則 （3-35）于是，、間相對縱向位移為零的條件可表達為： 將虎克定律及剪力流的定義式（3-4）引入，則上式變為： （3-36）再將式（3-34）代入便有： 注意到與無關，于是上式移項后得到： （3-37）再將和相應的（由式（3-21）求得）代入式（3-34），即得閉口截面的彎曲剪力流。若以和分別表示單獨作用引起的剪力流，以和分別表示單獨作用引起的剪力流，則由式（3-37）可得： （3-38）同理仿照式（3-27），令 或 （3-39）將此式及式（3-27）代入式（3-38）得到 （3-40）2、多室閉口截面的彎曲剪應力對于多室截面，仍采用力法原理，先將

30、各室切開（如圖3-7），在切口處作用以相應的贅余剪力流（），它們由各切口處的變形連續條件所給出的準則方程式求解。由于在各室交界（腹壁）板上，存在著相鄰箱室贅余剪力流的共同作用，因此，對于第室切口處的變形連續條件仿照式（3-36）有：圖3-7 式中表示沿室和室交界板壁的積分。由于及均與曲線坐標無關，故上式可進一步簡寫成：（） （3-41）對于室截面，上式為一階線性方程組，解此方程組，即可求得（），于是根據式（3-34），多室閉口截面的總剪力流為： 必須注意，對于交界腹板上的剪力流，應計及鄰室的共同作用。即 （3-42）顯然，一個腹壁往往只是二室的交界，則以上公式中的不復存在，而對于非交界壁，式中

31、最后一項應為零。二、閉口薄壁截面的剪力中心1、單室閉口截面根據剪力中心的定義，閉口截面的剪力中心坐標不難仿照式（3-28）寫出，即 式中和為閉口截面的單位剪力流，對于單室截面，根據式（3-34）、式（3-39）及式（3-37）可以得到。即 （3-43）將其代入、的表達式有 （3-44）將式中右邊第一項與式（3-28）比較可知，它就是開口截面（計算基本體系）的剪力中心坐標。注意到 于是，式（3-44）簡化為 （3-45）在求得、及后，便可按式（3-45）計算單室閉口截面的剪力中心。顯然，上式未能給出剪力中心坐標的顯式表達，只是作為多室截面剪力中心的基礎。為了實際應用的方便，對于單室截面可進一步導

32、出剪力中心的直接計算公式。將式（3-26）及式（3-40）中的及表達式代入式（3-44）進行分部積分并定義： （3-46）便可得到單室截面剪力中心的計算公式為 （3-47）它與開口截面剪力中心計算公式（3-31）具有相同的表達式，僅其中的扇性坐標及其相應的扇性幾何特性（、）定義不同，如式（3-30）及式（3-46）所示。式（3-47）推導如下：在式（3-44）中引入后，有 （A）將式（3-26）及式（3-39）中的及代入，則可得到如下的表達式： （B）對式中各積分項應用分部積分便有： （C）式中項，在圖3-6中，無論取點（）或點（），因坐標系以形心為原點，且其乘數又為有限值，故=0。將式（C）

33、代入式（B）得到：上式合并后得到：引用定義式（3-46），上式中項分別為和，于是，便得到剪力中心的計算公式（3-47）。2、多室閉口截面多室閉口截面剪力中心的計算，從剪力中心的定義出發，即以式（3-42）為基礎，其中應為各箱室的剪力流值，根據式（3-39）、（3-40）及式（3-34）改寫得到： （3-48）將其代入式（3-28），注意到這時系沿各閉室求后再求和，交界壁的影響已包含在中，故式中項不復出現，于是有 （3-49）將上式右邊第一項與式（3-28）比較可知，它表示多室箱切口為開口截面后的中心坐標。即 （3-50）又，將此式及式（3-50）代入式（3-49），得到多室閉口截面剪力中心坐標的最后表達式為： （3-51）于是，多室截面剪力中心的計算步驟是：（1）將各室切開成為開口截面，分別計算和 作用下的剪力流、以及；（2）按式（