1、等腰直角三角形難題一、選擇題（共8小題）1.如圖，在等腰直角 4ABC中AC=AB , BD AH于D, CHXAH于H, HE、DF分別平分/ AHC和/ ADB ,則 下列結(jié)論中AHCA BDA ;DFLHE;DF=HE ;AE=BF其中，正確的結(jié)論有（）（只需填寫序號）CA .C.D.2. （2012?黃埔區(qū)一模）將一個斜邊長為 近的一個等腰直角三角形紙片（如圖 1）,沿它的對稱軸折疊1次后得到另一個等腰直角三角形（如圖2）,再將圖2的等腰直角三角形沿它的對稱軸折疊后得到又一個等腰直角三角形（如圖3）,若連續(xù)將圖1的等腰直角三角形折疊 n次后所得到的等腰直角三角形（如圖 n+1）的斜邊長

2、為（）.如圖：4ABC 中，/ ACB=90 , / CAD=30 , AC=BC=AD , CEXCD,且 CE=CD ,連接 BD, DE, BE,則下*_ CP ,一一列結(jié)論：ZECA=165 ,BE=BC ;AD，BE; =1.其中正確的是（）BDBA , B,C,D . .如圖，在2刈矩形方格紙上，各個小正方形的頂點稱為格點，則以格點為頂點的等腰直角三角形的個數(shù)為A . 24B. 38C. 46.如圖，4ABC 中，AC=BC , / ACB=90 , AE 平分/ BAC 交 BC 于 E, BD AE 于 D , DM AC 于 M ,連 CD.下 列結(jié)論：AC+CE=AB ;C

3、DAE；/CDA=45 ; 旦型四=定值.其中正確的有（C. 3個.如圖，在等腰 RtAABC的斜邊 AB上取兩點 M , N ,使/ MCN=45 ,記AM=m , MN=n , BN=x ,則以線段 x、 m、n為邊長的三角形的形狀是（）A .銳角三角形C.鈍角三角形B.直角三角形D.隨x、m、n的變化而改變. （2006?防城港）如圖，在五邊形 ABCDE 中，/ A=/B, Z C=ZD= ZE=90 , DE=DC=4 , AB= &,則五邊形B.C. （2010?鼓樓區(qū)二模）小明將一張正方形包裝紙，剪成圖1所示形狀，用它包在一個棱長為 10的正方體的表面（不考慮接縫），如圖2所示.

4、小明所用正方形包裝紙的邊長至少為（圖1C. 20 三B. 30+2 三二、填空題（共12小題）（除非特別說明，請?zhí)顪?zhǔn)確值）9.下列說法：如圖1, AABC中，AB=AC , / A=45 ,則4ABC能被一條直線分成兩個小等腰三角形.如圖2, 4ABC中，AB=AC , / A=36 , BD , CE分別為/ ABC , / ACB的角平分線，且相交于點 F,則圖中 等腰三角形有6個.如圖3, AABC是等邊三角形，CD LAD,且AD / BC,則AD=AB .如圖4, AABC中，點E是AC上一點，且 AE=AB ,連接BE并延長至點 D,使AD=AC , / DAC= / CAB ,則

5、/DBC=/DAB其中，正確的有（請寫序號，錯選少選均不得分）2已知4ABC中，AB=AC , Z BAC=90 ,直角/ EPF的頂點P是BC中點，兩邊PE、PF分別交AB、AC于點F、F,若FC=3厘米，BE=4厘米，則AEFP的面積為 平方厘米.BP C一個三角形三個內(nèi)角之比為 1: 1 : 2,則這個三角形的三邊比為 .一個三角形不同頂點的三個外角的度數(shù)比是3: 3: 2,則這個三角形是 三角形.（2003?黃浦區(qū)一模）已知第一個等月直角三角形的面積為1,以第一個等腰直角三角形的斜邊為直角邊畫第二個等腰直角三角形，又以第二個等腰直角三角形的斜邊為直角邊畫第三個等腰直角三角形，以此類推，

6、第13個等腰直角三角形的面積是 .（2007?天水）如圖，AD是4ABC的一條中線，/ ADC=45度.沿AD所在直線把 4ADC翻折，使點 C落在點C的位置.則里，=.BC 如圖，在等腰 RtAABC中，Z C=90 , AC=8 , F是AB邊上的中點，點 D、E分別在 AC、BC邊上運動，且保 持AD=CE .連接DE、DF、EF.在此運動變化過程中，有下列五個結(jié)論：4DFE是等腰直角三角形；四邊形CDFE不可能為正方形；DE長度的最小值為4;四邊形CDFE的面積保持不變；4CDE面積的最大值為 8.其中正確結(jié)論是_ 一 .C（2011?貴陽）如圖，已知等腰RtABC的直角邊長為1,以R

7、tABC的斜邊AC為直角邊，畫第二個等腰 RtAACD , 再以RtAACD的斜邊AD為直角邊，畫第三個等腰RtAADE ,，依此類推到第五個等腰 RtAAFG ,則由這五個等腰直角三角形所構(gòu)成的圖形的面積為 .已知4ABC的三邊長a、b、c滿足右=|匕-1 |42=0,則 ABC 一定是 三角形.（2010?廈門）如圖，以第 個等腰直角三角形的斜邊長作為第個等腰直角三角形的腰，以第 個等腰直角三角形的斜邊長做為第 個等腰直角三角形的腰，依此類推，若第 個等腰直角三角形的斜邊長為 1a用厘米， 則第個等腰直角三角形的斜邊長為 厘米.（2010?丹東）已知4ABC是直角邊長為1的等腰直角三角形，

8、以 RtAABC的斜邊AC為直角邊，畫第二個等 腰RtAACD ,再以RtAACD的斜邊AD為直角邊，畫第三個等腰 RtAADE ,，依此類推，第 n個等腰直角三角 形的斜邊長是.已知4ABC是軸對稱圖形，且三條高的交點恰好是C點，則AABC的形狀是 三、解答題（共6小題）（選答題，不自動判卷）（2010?唐山一模）（1）如圖1,以等腰直角4ABC的直角邊AB、AC為直角邊向外作等腰直角 4ABE和 ACD , M是BC的中點，則 DE與AM之間的數(shù)量關(guān)系為 ;（2）如圖2,以任意直角 4ABC的直角邊AB、AC為直角邊向外作等腰直角 4ABE和4ACD , M是BC的中點， 則DE與AM之間

9、的數(shù)量關(guān)系為 ;（3）如圖3,以任意非直角 4ABC的邊AB、AC為直角邊向外作等腰直角 4ABE和4ACD , M是BC的中點，試 判斷DE與AM之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（4）如圖4,若以4ABC的邊AB、AC為直角邊，向內(nèi)作等腰直角 4ABE和4ACD ,其它條件不變，請直接寫出 線段DE與AM之間的數(shù)量關(guān)系.圖I圖二圖3圖1（2010?平房區(qū)一模）如圖1,在4ABC中，AC=BC ,/ACB=90。，點D為AB邊中點，以點D為頂點作/ PDQ=90 , DP、DQ分別交直線 AC、BC于E、F,分另過E、F作AB的垂線，垂足分別為 M、N.(1)求證：EM+FN= 逛AC;2(2)把

10、/ PDQ繞點D旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點E在線段AC的延長線上時(如圖 2),則線段EM、FN、AC之間滿足的關(guān)系式(3)在/ PDQ繞點D由圖1到圖2的旋轉(zhuǎn)的過程中，設(shè) DP交直線BC于點G,連接BE,若FG=10, AE=3CE , 求BE的長.(2009?莆田二模)已知在 4ABC中，/ A=90, AB=AC , D為BC的中點.(1)如圖，E、F分別是AB, AC上的動點，且 BE=AF ,求證：4DEF為等腰直角三角形；(2)在(1)的條件下，四邊形 AEDF的面積是否變化，證明你的結(jié)論；(3)若E、F分別為AB , CA延長線上的點，仍有BE=AF ,其他條件不變，那么 DEF是否仍為等腰直角

11、三角形? 證明你的結(jié)論.(2007?大連)兩個全等的 RtAABC和RtAEDA如圖放置，點 B、A、D在同一條直線上.操作：在圖中，作/ ABC的平分線BF,過點D作DFLBF,垂足為F,連接CE,證明BFXCE.探究：線段BF、CE的關(guān)系，并證明你的結(jié)論.說明：如果你無法證明探究所得的結(jié)論，可以將 兩個全等的RtABC和RtEDA”改為 兩個全等的等腰直角 4ABC和等腰直角4EDA (點C、A、E在同一條直線上)”，其他條件不變，完成你的證明，此證明過程最多得2分.(2009?德城區(qū))一位同學(xué)拿了兩塊 45的三角尺4MNK、AACB做了一個探究活動：將 AMNK的直角頂點 M 放在4AB

12、C的斜邊 AB的中點處，設(shè) AC=BC=a .A圖1圖2圖3(1)如圖1,兩個三角尺的重疊部分為 4ACM ,則重疊部分的面積為 ,周長為;(2)將圖1中的4MNK繞頂點M逆時針旋轉(zhuǎn)45,得到圖2,此時重疊部分的面積為 ,周長為；(3)如果將4MNK繞M旋轉(zhuǎn)到不同于圖1,圖2的位置，如圖3所示，猜想此時重疊部分的面積為多少？并試著 加以驗證.(2007?自貢)已知：三角形 ABC中，/ A=90 , AB=AC , D為BC的中點，(1)如圖，E, F分別是AB, AC上的點，且BE=AF ,求證： DEF為等腰直角三角形；(2)若 巳F分別為AB, CA延長線上的點，仍有 BE=AF ,其他

13、條件不變，那么， DEF是否仍為等腰直角三角 形？證明你的結(jié)論.BDC等腰直角三角形難題參考答案與試題解析一、選擇題（共8小題）1.如圖，在等腰直角 4ABC中AC=AB , BD AH于D, CHXAH于H, HE、DF分別平分/ AHC和/ ADB ,則 下列結(jié)論中AHCA BDA ;DFLHE;DF=HE ;AE=BF其中，正確的結(jié)論有（）（只需填寫序號）A.B.C.D. 考點：等腰直角三角形；全等三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的性質(zhì).分析： 利用同角的余角相等，得/ CAH= / ABD ,再利用AAS判定AHC BDA ;如圖，延長BD與AC相交于點 M,延長FD、HE,兩延長線交于點

14、 G,證明CH/ BM ,同旁內(nèi)角/ CHD 與/ MDH互補，兩角的平分線互相垂直；利用角平分線的定義，得/EHA=/FDB,又EAH=/FBD, AH=BD ,得出EHAFDB,進而得出結(jié)論；根據(jù) EHAFDB ,得 AE=BF .解答： 解：. / CAH+ Z BAD=90 , / ABD+ / BAD=90 / CAH= / ABD又. / CHA= Z ADB=90 , AC=ABAHCA BDA (AAS);如圖，延長 BD與AC相交于點 M,延長FD、HE,兩延長線交于點 G1. Z CHD+ / HDM=90 +90 =180 CH / BM DF 平分/ ADBDG 平分/

15、 HDM又 HE平分/ AHC/ HGD=90 DFXHE; / EHA=1 / CHA -w/ FDB=-Z ADB2又. / CHA= Z ADB/ EHA= / FDB又. / EAH= / FBD, AH=BD . EHAA FDBDF=HE ; EHAA FDBAE=BF ;故選D.8圖2A . 1B.三三次擰m 圖AlC.D .n考點：等腰直角三角形.專題：壓軸題；規(guī)律型.分析：通過分別計算折疊兩次后的等腰三角形的腰長，歸納總結(jié)得到折疊n次的等腰三角形的腰長等于_2方，然后根據(jù)等腰直角三角形的斜邊為腰長的加倍，即可表示出圖1的等腰直角三角形折疊 n次后所得到的等腰直角三角形的斜邊長

16、.解答：解：根據(jù)題意得出：第一次折疊后，如圖 2,腰長為 亞,2第二次折疊后，如圖 3,腰長為1=（9）點評：本題考查了全等三角形的判定及其性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，同角的余角相等等知識. （2012?黃埔區(qū)一模）將一個斜邊長為 加的一個等腰直角三角形紙片（如圖 1）,沿它的對稱軸折疊1次后得到另一個等腰直角三角形（如圖2）,再將圖2的等腰直角三角形沿它的對稱軸折疊后得到又一個等腰直角三角形（如圖3）,若連續(xù)將圖1的等腰直角三角形折疊 n次后所得到的等腰直角三角形（如圖 n+1）的斜邊長為（）,依此類推，將圖1的等腰直角三角形折疊n次后新等腰三角形的腰長為（ 立）n,2則將圖1的等腰直角三角形折疊n

17、次后所得到的等腰直角三角形的斜邊長為（ 當(dāng)、反=（當(dāng)n 1故選C點評：此題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，以及勾股定理的運用，解題的關(guān)鍵是利用勾股定理分別計算出折疊兩 次后的等腰三角形的腰長，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，此類題目難度較大，屬于難題.3.如圖：4ABC 中，/ ACB=90 , / CAD=30 , AC=BC=AD , CEXCD,且 CE=CD ,連接 BD, DE, BE,則下*_ CD ,一一列結(jié)論：ZECA=165 ,BE=BC ;AD，BE; =1,其中正確的是（ BDcBB.C.D.30度角的直角三角形.考點：等腰直角三角形；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)；含ECA=

18、165 ,分析： 根據(jù)：/ CAD=30 , AC=BC=AD ,利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可求出/ 從而得證結(jié)論正確； 根據(jù)CEXCD, / ECA=165 ,利用SAS求證ACDA BCE即可得出結(jié)論；根據(jù)/ ACB=90 , / CAD=30 , AC=BC ,利用等腰三角形的性質(zhì)和 ACDBCE,求出/ CBE=30, 然后即可得出結(jié)論；過 D 作 DM AC 于 M,過 D 作 DN，BC于N.由/ CAD=30 ,可得 CM= -AC ,求證CMDA CND , 2可得CN=DM= .1aC= 2bC ,從而得出CN=BN .然后即可得出結(jié)論.22解答： 解：.一/C

19、AD=30 , AC=BC=AD ,/ ACD= Z ADC= 1 (180 - 30) =75,2 CEXCD, DCE=90 ,丁./ ECA=165。， 正確； CEXCD, /ECA=165 (已證),.Z BCE= / ECA - / ACB=165 - 90=75,ACDA BCE (SAS),BE=BC , 正確；. / ACB=90 , / CAD=30 , AC=BC ,/ CAB= / ABC=45 / BAD= / BAC - / CAD=45 - 30=15 , ACDA BCE,./ CBE=30 ,./ ABF=45+30=75 ,./ AFB=180 - 15 -

20、75=90 , ADXBE.證明：如圖，過D作DM AC于M ,過D作DN，BC于N . / CAD=30 ,且 DM=AC,2 AC=AD , / CAD=30 , . . / ACD=75 ,/ NCD=90 - / ACD=15 , / MDC= / DMC - / ACD=15 ,在ACMD和ACND中，rZCMD=ZCND ZMDC=ZNCD ,I CD二CD. CMDA CND ,CN=DM= -AC=-BC,22CN=BN .DN BC ,BD=CD .正確.所以4個結(jié)論都正確.故選D.點評：此題主要考查等腰直角三角形，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，含 角形等知

21、識點的理解和掌握，此題有一定的拔高難度，屬于難題.30度角的直角三4.如圖，在2刈矩形方格紙上，各個小正方形的頂點稱為格點，則以格點為頂點的等腰直角三角形的個數(shù)為（）A . 243846考點：等腰直角三角形.專題：網(wǎng)格型；規(guī)律型.分析：以格點為端點的線段長度可取8個數(shù)值：1, 2, 2, 3.以這些線段組成的等腰直角三角形的斜邊有以下四種情況 加，2, 26, 限;然后按斜邊長分四類來進行計數(shù)即可.解答：解：（1）當(dāng)斜邊長為 血時，斜邊一定是小正方形的對角線，這樣的線段有12條，每條這樣的線段對應(yīng)著兩個等腰直角三角形，共有2X12=24 （個）.同理（2）當(dāng)斜邊長為2時，共有6+2 4=14

22、（個）.（3）當(dāng)斜邊長為2、歷時，共有2M=8 （個）.（4）當(dāng)斜邊長為。五時，共有4 （個）.綜上所述，滿足要求的等腰直角三角形共有24+14+8+4=50 （個）.故選D.點評：（1）利用分類討論的數(shù)學(xué)思想求解時，一定要做到分類既不重復(fù)，又不遺漏；（2）請讀者嘗試以下兩種思路解答本題：以等腰直角三角形的直角邊的不同情況來分類討論求解；利用軸對稱圖形的對稱性求解.5.如圖，4ABC 中，AC=BC , / ACB=90 , AE 平分/ BAC 交 BC 于 E, BD AE 于 D , DM AC 于 M ,連 CD.下列結(jié)論： AC+CE=AB ;CD,AE；/ CDA=45 ;逆回=定

23、值.3 2如AN其中正確的有（）DAA . 1個B2個3個4個考點：等腰直角三角形；三角形內(nèi)角和定理；三角形的外角性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的性質(zhì);等腰三角形的判定與性質(zhì)；直角三角形斜邊上的中線.專題：證明題.分析： 過E作EQXAB于Q,作/ ACN= / BCD ,交AD于N ,過D作DH XAB于H,根據(jù)角平分線性質(zhì)求出 CE=EQ , DM=DH ,根據(jù)勾股定理求出 AC=AQ , AM=AH ,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和判定求出BQ=QE ,即可求出；根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出/ CND=45 , ffiAACN BCD ,推出CD=CN ,即可求出；證 DCM DBH ,得到

24、CM=BH , AM=AH ,即可求出.解答：解：過E作EQXAB于Q,/ ACB=90 , AE 平分/ CAB , CE=EQ,/ ACB=90 , AC=BC ,/ CBA= / CAB=45 , EQXAB ,./ EQA= Z EQB=90 ,由勾股定理得：AC=AQ ,./ QEB=45 = Z CBA , EQ=BQ ,. AB=AQ+BQ=AC+CE , . 正確；作/ ACN= / BCD ,交 AD 于 N ,/ CAD=CAB=22.5 = / BAD ,2./ DBA=90 22.5 =67.5,/ DBC=67.5 45 =22.5 = / CAD ,/ DBC= /

25、 CAD , AC=BC , / ACN= / DCB , ACNA BCD , CN=CD ,/ ACN+ / NCE=90 , / NCB+ / BCD=90 , ./ CND= Z CDN=45 ,./ ACN=45 - 22.5 =22.5 = Z CAN , AN=CN ,./ NCE= / AEC=67.5 , CN=NE ,CD=AN=EN= -AE ,2正確，正確；過D作DH AB于H ,. / MCD= Z CAD+ Z CDA=67.5 ,/ DBA=90 - / DAB=67.5 , / MCD= / DBA ,. AE 平分/CAB, DM LAC, DH AB , D

26、M=DH ,在ADCM和4DBH中/ M= / DHB=90 , / MCD= / DBA , DM=DH , . DCM DBH ,BH=CM ,由勾股定理得：AM=AH ,AC+AB AC+AfHBH AC+AMKM 2M o.=2 .Ml Ml AM AM正確;故選D.點評：本題主要考查對三角形的外角性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)和判定，直角三角形斜邊上 中線性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰直角三角形性質(zhì)等知識點的理解和掌握，能綜合運用這些性質(zhì) 進行推理是解此題的關(guān)鍵.6.如圖，在等腰 RtAABC的斜邊 AB上取兩點 M , N ,使/ MCN=45 ,記AM=m , M

27、N=n , BN=x ,則以線段 x、 m、n為邊長的三角形的形狀是（）CA .銳角三角形|B.直角三角形C.鈍角三角形D.隨x、m、n的變化而改變考點：等腰直角三角形；全等三角形的判定與性質(zhì).專題：幾何綜合題.分析： 把4ACN繞C點逆時針旋轉(zhuǎn)45,得CBD,這樣/ ACM+ / BCN=45。就集中成一個與/ MCN相等的角, 在一條直線上的 m、x、n集中為DNB,只需判定4DNB的形狀即可.解答：解：如圖：作ACMBCD,/ ACM= / BCD, CM=CD , / MCN= / NCD=45 ,又 CN=CN ,MNCA DNC , MN=ND , AM=BD=m ,又/ DBN=

28、45 +45 =90 ,. n2=m2+x2.故選B.點評：本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)，難度較大，注意掌握旋下列情形常實施旋轉(zhuǎn)變換：（1）圖形中出現(xiàn)等邊三角形或正方形，把旋轉(zhuǎn)角分別定為60。、90。；（2）圖形中有線段的中點，將圖形繞中點旋轉(zhuǎn)180。，構(gòu)造中心對稱全等三角形；（3）圖形中出現(xiàn)有公共端點的線段，將含有相等線段的圖形繞公共端點，旋轉(zhuǎn)兩相 等線段的夾角后與另一相等線段重合.（2006?防城港）如圖，在五邊形 ABCDE 中，/ A=/B, Z C=ZD= ZE=90, DE=DC=4 , AB=M,則五邊形ABCDE的周長是（）A . 16+V2B I .二C. 12+衣考點：等腰

29、直角三角形；多邊形內(nèi)角與外角.專題：壓軸題.分析:可連接CE,作AFLCE, BG，CE于F、G,根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理和等腰直角三角形的性質(zhì)即可求出 AB、AE+BC ,進而求出答案.解答： 解：連接 CE,作AFCE, BGLCE于F、G,根據(jù)五邊形的內(nèi)角和定理和已知條件，可得CDE, AAEF, BCG都是等腰直角三角形,貝U CE=4&,FG=AB=加，AE+BC=3 V2V2=6,所以五邊形的周長是 4+4+6+ 2=14+y.倍.點評：此題主要是作輔助線，發(fā)現(xiàn)等腰直角三角形.注意：等腰直角三角形的斜邊是直角邊的A . 40（2010?鼓樓區(qū)二模）小明將一張正方形包裝紙，剪成圖1所示

30、形狀，用它包在一個棱長為 10的正方體的表面（不考慮接縫），如圖2所示.小明所用正方形包裝紙的邊長至少為（C. 2072考點：等腰直角三角形.分析： 所求正方形的邊長即為 AB的長，在等腰 RtAACF ACDE中，已知了 CE、DE、CF的長均為10,根據(jù) 等腰直角三角形的性質(zhì)，即可求得 AC、CD的長，由AB=AC+CD+BD 即可得解.解答： 解：如圖；連接 AB ,則AB必過C、D;RtA ACF 中，AC=AF , CF=10;則 AC=AF=5 臟;同理可得BD=5加；RtACDE 中，DE=CE=10 ,貝U CD=10&;所以 AB=AC+CD+BD=20 貶;故選 C.國I圖

31、2點評:理清題意，熟練掌握直角三角形的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵.、填空題（共12小題）（除非特別說明，請?zhí)顪?zhǔn)確值）下列說法: 如圖1, AABC中，AB=AC , / A=45 ,則4ABC能被一條直線分成兩個小等腰三角形.如圖2, 4ABC中，AB=AC , / A=36 , BD , CE分別為/ ABC , Z ACB的角平分線，且相交于點 F,則圖中 等腰三角形有6個.如圖3, AABC是等邊三角形， CD LAD,且 AD / BC,則 AD=-AB .2D,使 AD=AC , / DAC= / CAB ,則如圖4, AABC中，點E是AC上一點，且 AE=AB ,連接BE并延長至點Z

32、DBC= A/ DAB其中，正確的有（請寫序號，錯選少選均不得分）2圖1卻郅圖4考點：等腰直角三角形；角平分線的定義；三角形內(nèi)角和定理；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的判定； 等腰三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；含30度角的直角三角形.專題：證明題.分析：不管過A （或過B或過C）作直線，都不能把三角形 ABC分成兩個等腰三角形，即可判斷 ；求出 / A= / ABD= / DBC= / ACE= / BCE=36 ,根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出三角形其余角的度數(shù)，根據(jù)等腰 三角形的判定定理推出邊相等，即可判斷；求出/ ACD=30 ,根據(jù)含30度角的直角三角形性質(zhì)求出AD= Jac

33、,即可判斷；過C作CF / BD交AB的延長線于 F,連接DC, EF,求出EF=BC ,證三角形全 等推出DE=EF , DC=CF ,推出CD=BC ,推出/ CDB= / CBD ,根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出/ CDB= / CAB 即可.解答： 解：若ABC中，AB=AC , Z A=45 ,不論過A作直線（或過 B作直線或過C作直線）都不能把三角形 ABC化成兩個等腰三角形，錯誤；圖中，有等腰三角形 7 個：AABD , ACBD, AACE, ACDE, BEF, ACDF, FBC, . 錯誤； 等邊 AABC ,AB=AC , / ACB=60 , AD / BC, CDXAD

34、 , ./ DCB= / D=90 ,/ ACD=30 ,AD= AC= -AB ,正確；22過C作CF / BD交AB的延長線于 F,連接DC , EF, - AE_ AB- 一 ,AC AF AE=AB , AD=AC ,AF=AC=AD ,CE=BF ,即 BE / CF, CE=BF ,四邊形BECF是等腰梯形，EF=BC ,在 DAC和 FAC中 ZDAC=ZFAC，心K. DACA FAC,CD=CF ,同理DE=EF , AD=AC , AE=AB ,/ ADC= / ACD , / AEB= / ABE ,. / DAC= / BAC , / DAC+ / ACD+ / ADC

35、=180 , / CAB+ / AEB+ ZABE=180 , / ACD= / AEB ,/ AEB= / DEC ,./ ACD= / DEC,DE=CD ,DC=CF=EF=ED , EF=CB ,DC=BC ,./ CBD= /CDE,/ DCA= / DEC= / AEB= / ABE ,由三角形的內(nèi)角和定理得：/ CDE= Z CAB= -D DAB ,2/ DBC=DAB , .正確.2故答案為：.點評：本題考查了等邊三角形性質(zhì)，含 30度角的直角三角形性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和判斷，角平分線定義，全 等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理等知識點的綜合運用，第 小題證明過程偏難

36、，對學(xué)生提出 較高的要求，熟練地運用性質(zhì)進行推理是解此題的關(guān)鍵.已知4ABC中，AB=AC , Z BAC=90 ,直角/ EPF的頂點P是BC中點，兩邊PE、PF分別交AB、AC于點F、,一，一，一 U耳一、一，F(xiàn),若FC=3厘米，BE=4厘米，則AEFP的面積為_仝_平萬厘米.BP C考點：等腰直角三角形；三角形的面積.專題：幾何綜合題.分析：根據(jù)題意4PCF可看作4PAE順時針旋轉(zhuǎn)90得到，然后利用等腰三角形的性質(zhì)及勾股定理可求出EF的長,進而可得出面積.解答：解：A、連接AP,.在 AABC 中，AB=AC , / BAC=90 , CP=BP,./ APC= ZEPF=90,/ AP

37、F=90 - / APE= / BPE,又 AP=BP, Z FAP=ZEBP=45 ,. FAPA EBP,PE=PF,可知 AF=BE ,又 AC=AB ,AE=CF , EF2=AC2+AF2=25, PE=PF=/ 厘米.加2.面積二公平方厘米.4BP C點評：本題結(jié)合等腰直角三角形考查了旋轉(zhuǎn)的基本性質(zhì)，難度較大，要學(xué)會運用旋轉(zhuǎn)的知識解答幾何問題.一個三角形三個內(nèi)角之比為1:1: 2,則這個三角形的三邊比為1: 1:血考點：等腰直角三角形.分析：根據(jù)角度的關(guān)系可以求出三角形的角的度數(shù)，進而就可以求出邊的比.解答：解：二一個三角形三個內(nèi)角之比為1: 1: 2.，三角分別為 180，=45

38、, 180i=45o, 180X=90.故三角形為等腰直角三角形，這個三角形的三邊比為1: 1:血.點評：本題考查了等腰直角三角形三邊及三角的關(guān)系，需同學(xué)們熟練掌握.一個三角形不同頂點的三個外角的度數(shù)比是3: 3: 2,則這個三角形是等腰直角三角形.考點：等腰直角三角形.分析：根據(jù)鄰補角互補的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理可知這個三角形的形狀.解答：解：由題意，設(shè)這三個外角的度數(shù)分別為：3X, 3X, 2X,則對應(yīng)的相鄰的內(nèi)角分別為：180 - 3X, 180 - 3X, 180-2X,則 180-3X+1803X+180 - 2X=180,解得X=45 ,則三角形的三個內(nèi)角分別為：45, 45, 9

39、0, 這個三角形是等腰直角三角形.點評：本題通過設(shè)適當(dāng)?shù)膮?shù)，根據(jù)鄰補角互補和三角形內(nèi)角和定理建立方程，求得三角形的各角的度數(shù)后判定 三角形的形狀.（2003?黃浦區(qū)一模）已知第一個等月直角三角形的面積為 1,以第一個等腰直角三角形的斜邊為直角邊畫第二 個等腰直角三角形，又以第二個等腰直角三角形的斜邊為直角邊畫第三個等腰直角三角形，以此類推，第13個等腰直角三角形的面積是4096 .考點：等腰直角三角形.專題：規(guī)律型.分析：由已知條件得出規(guī)律：每作一次圖，三角形面積變?yōu)樵瓉淼?2倍.利用規(guī)律推理即可求解.解答：解：根據(jù)題意：每作一次圖，三角形面積變?yōu)樵瓉淼?倍；且第一個等腰直角三角形的面積為1

40、,故第13個等腰直角三角形的面積是1 212=4096 .點評：本題是一道找規(guī)律的題目，要求學(xué)生通過觀察，分析、歸納發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并應(yīng)用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問題.（2007?天水）如圖，AD是4ABC的一條中線，/ ADC=45度.沿AD所在直線把 4ADC翻折，使點 C落在 點C的位置.則為二二吏 .BC 2-考點：等腰直角三角形.分析： 根據(jù)折疊的性質(zhì)可知 CD=C D, / CDA= / ADC =45。，易證明4CDB是等腰直角三角形，所以可求得 BC =gBD=&,BC,整理即可求得比值.解答： 解：CD=CD, Z CDA= Z ADC =45 . ./ CDC = Z BDC =90

41、 BD=CDBD=C D;即CDB是等腰直角三角形，bc = &bd=&4bc2 BC 2點評：本題利用了： 折疊的性質(zhì)：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的 形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等； 等腰直角三角形的性質(zhì)求解.15.如圖，在等腰 RtAABC中，Z C=90 , AC=8 , F是AB邊上的中點，點 D、E分別在 AC、BC邊上運動，且保 持AD=CE .連接DE、DF、EF.在此運動變化過程中，有下列五個結(jié)論：4DFE是等腰直角三角形；四邊形CDFE不可能為正方形；DE長度的最小值為4;四邊形CDFE的面積保持不變；4CDE面積的最大值為

42、8.其中正確結(jié)論是.C:等腰直角三角形；二次函數(shù)的最值；全等三角形的判定與性質(zhì).計算題；壓軸題.解答此題的關(guān)鍵是在于判斷 4DFE是否等腰直角三角形；做常規(guī)輔助線，連接 CF,由SAS定理可得 CFEA ADF ,從而可證/ DFE=90可得DF=EF ,可得 DFE是等腰直角三角形正確； ，再由補割 法可證 是正確的.判斷 與，4DFE是等腰直角三角形；可得 DE=、RdF,當(dāng)DFLBC時，DF 最小，DE取最小值4雙,故 錯誤，4CDE最大的面積等于四邊形 CDEF的面積減去4DEF的最小面積， 由可知 是正確的，個，故 正確.解答：解；連接CF.C. ABC為等腰直角三角形，./ FCB

43、=/A=45 , CF=AF=FB , AD=CE ,ADFA CEF,EF=DF , / CFE=/AFD,/ AFD+ / CFD=90 / CFE+ / CFD= / EFD=90 ,. EDF是等腰直角三角形，正確；當(dāng)D、E分別為AC, BC的中點時，四邊形 CDEF是正方形, 因此錯誤； ADFA CEF, sacef=Saadf,是正確的； DEF是等腰直角三角形，當(dāng)DE最小時，DF也最小，即當(dāng)DFLAC時，DE最小，此時 DF=-BC=4,2DE=*:，DF=4 ,錯誤；當(dāng)4CDE面積最大時，由 知，此時4DEF的面積最小，此時，SACDE=S 四邊形 CEFD SADEF=SA

44、AFC SADEF=16 8=8, .正確.綜上所述正確的有.故答案為：.點評:此題考查的知識點有等腰直角三角形，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識點，綜合性強，難度較大，是一道難題.16.（2011?貴陽）如圖，已知等腰 鼻 ABC的直角邊長為1,以RtABC的斜邊AC為直角邊，畫第二個等腰 RtAACD , 再以RtAACD的斜邊AD為直角邊，畫第三個等腰RtAADE ,，依此類推到第五個等腰RtAAFG ,則由這五個等腰直角三角形所構(gòu)成的圖形的面積為15.5 .考點：等腰直角三角形；三角形的面積；勾股定理.專題：計算題；壓軸題；規(guī)律型.分析： 根據(jù) ABC是邊長為L的等腰直角三角形，利用勾股定

45、理分別求出Rt ABC RtAACD RtAADE的斜邊長，然后利用三角形面積公式分別求出其面積，找出規(guī)律，再按照這個規(guī)律得出第四個、第五個等腰直 角三角形的面積，相加即可. TOC o 1-5 h z 解答：解：. ABC是邊長為1的等腰直角三角形， .-1112, , SAABC=,M M=,=2；ac=Vl+12=，AD=（衣）J 松 匕，-1 Saacd=x/2x/2=1=22 2;3 2Saade =- 22. 2=2=22，第n個等腰直角三角形的面積是2n 2-Saaef=2=4,Saafg=2=8,由這五個等腰直角三角形所構(gòu)成的圖形的面積為工+1+2+4+8=15.5 .2故答案

46、為：15.5.點評：此題主要考查學(xué)生對等腰直角三角形、三角形面積公式和勾股定理的理解和掌握，解答此題的關(guān)鍵是根據(jù) ABC是邊長為1的等腰直角三角形分別求出 RtAABC RtAACD RtADE的面積，找出規(guī)律.已知ABC的三邊長a、b、c滿足正二f+|b-1 |斗（c-&）之二0,則ABC 一定是 等腰直角 三角形.考點：等腰直角三角形；非負數(shù)的性質(zhì)：絕對值；非負數(shù)的性質(zhì)：偶次方；非負數(shù)的性質(zhì)：算術(shù)平方根；勾股定 理的逆定理.分析：先根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)求出 a、b、c的值，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系進行判斷即可.解答：解：. ABC的三邊長a、b、c滿足孤（c-6）2二0， a- 1=0 , b

47、- 1=0, c- V=0, a=1 , b=1, c= V2.a2+b2=c2,. .ABC 一定是等腰直角三角形.點評：本題考查的知識點是：一個數(shù)的算術(shù)平方根與某個數(shù)的絕對值以及另一數(shù)的平方的和等于0,那么算術(shù)平方根的被開方數(shù)為 0,絕對值里面的代數(shù)式的值為0,平方數(shù)的底數(shù)為 0及勾股定理的逆定理.（2010?廈門）如圖，以第 個等腰直角三角形的斜邊長作為第 個等腰直角三角形的腰，以第 個等腰直角 三角形的斜邊長做為第 個等腰直角三角形的腰，依此類推，若第 個等腰直角三角形的斜邊長為 18R厘米， 則第個等腰直角三角形的斜邊長為 _英_厘米.考點：等腰直角三角形；勾股定理.專題：壓軸題；規(guī)

48、律型.分析：先設(shè)第個等腰直角三角形的斜邊是 x,第個的等腰直角三角形的斜邊是 血x,那么第 個等腰直角三 角形的斜邊是2x,從而有第n個等腰直角三角形的斜邊是（ 臟）n1x,根據(jù)題意可得（ 加）9 1x=16V3, 解即可.解答：解：設(shè)第個等腰直角三角形斜邊長是x,根據(jù)題意得：（1）9 1x=16/3,16x=16/3, x=b.點評：此題關(guān)鍵是找出規(guī)律，然后才可以得出關(guān)于x的方程，解出x.（2010?丹東）已知4ABC是直角邊長為1的等腰直角三角形，以 RtAABC的斜邊AC為直角邊，畫第二個等 腰RtAACD ,再以RtAACD的斜邊AD為直角邊，畫第三個等腰 RtAADE ,，依此類推，

49、第 n個等腰直角三角形的斜邊長是_n_.E F考點：等腰直角三角形.專題：壓軸題；規(guī)律型.分析：依次、反復(fù)運用勾股定理計算，根據(jù)計算結(jié)果即可得到結(jié)論.解答：解：根據(jù)勾股定理，第1個等腰直角三角形的斜邊長是 加，第2個等腰直角三角形的斜邊長是 2=（五）2, 第3個等腰直角三角形的斜邊長是 2M = 電）3,第n個等腰直角三角形的斜邊長是（二/）n.點評：根據(jù)勾股定理一步一步計算，找出規(guī)律，解答.已知4ABC是軸對稱圖形，且三條高的交點恰好是C點，則AABC的形狀是 等腰直角三角形.考點：等腰直角三角形.分析：已知4ABC是軸對稱圖形，則 4ABC是等腰三角形，且三條高的交點恰好是C點，故4AB

50、C是直角三角形；故4ABC的形狀是等腰直角三角形.解答：解： ABC是軸對稱圖形，且三條高的交點恰好是C點，則4ABC的形狀是等腰直角三角形.點評： 本題考查軸對稱的性質(zhì).對應(yīng)點的連線與對稱軸的位置關(guān)系是互相垂直，對應(yīng)點所連的線段被對稱軸垂直平分，對稱軸上的任何一點到兩個對應(yīng)點之間的距離相等，對應(yīng)的角、線段都相等.三、解答題(共6小題)(選答題，不自動判卷)(2010?唐山一模)(1)如圖1,以等腰直角4ABC的直角邊AB、AC為直角邊向外作等腰直角 4ABE和 ACD , M是BC的中點，則 DE與AM之間的數(shù)量關(guān)系為DE=2AM ;(2)如圖2,以任意直角 4ABC的直角邊AB、AC為直角

51、邊向外作等腰直角 4ABE和4ACD , M是BC的中點， 則DE與AM 之間的數(shù)量關(guān)系為DE=2AM ;(3)如圖3,以任意非直角 4ABC的邊AB、AC為直角邊向外作等腰直角 4ABE和4ACD , M是BC的中點，試 判斷DE與AM之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(4)如圖4,若以4ABC的邊AB、AC為直角邊，向內(nèi)作等腰直角 4ABE和4ACD ,其它條件不變，請直接寫出 線段DE與AM之間的數(shù)量關(guān)系.圖I圖二圖3圖1考點：等腰直角三角形；全等三角形的判定與性質(zhì)；三角形中位線定理.分析： (1)易知四邊形 BCDE是正方形，那么 ED=BC ,且4ABC是等腰直角三角形，由此可得ED=BC

52、=2AM .(2)解法與(1)類似，由于 ABE、AACD都是等腰直角三角形， 可證得 RtAABC RtAAED ,則BC=DE , 而AM是斜邊BC上的中線，即可得到 ED=BC=2AM .(3)與(1) (2)的結(jié)論相同，仍然要用全等三角形來求解.延長 BA到F,使得BA=AF ,連接FC,易知AM是4BCF的中位線，即 CF=2AM ,因此只需證得 ED=CF即可.由于/ EAF、/ CAD都是直角，減去同一個角/ DAF后，得到/ EAD= /CAF,而AF=AE、CA=AD ,由此可得 4ADEACF ,由此得證.(4)思路和解法與(3)完全相同.解答： 解：(1)由于ABC、AA

53、BE和AACD都是全等的等腰直角三角形，所以 AE=AB=AC=AD ,且ECXBD , 則四邊形ABCD是正方形，故 DE=BC=2AM .ABE和AACD都是等腰直角三角形，/ BAE= / CAD= / BAC= / EAD=90 ,且 AE=AB , AC=AD , . EADA BAC ,DE=BC ;而AM 是RtABC斜邊上的中線，則 DE=BC=2AM .DE=2AM ;理由如下：延長BA至F,使得 BA=AF ;則AM 是4BCF的中位線，CF=2AM ./ BAE= / EAF= / CAD=90 ,/ EAD= / FAC=90 - / DAF ,又 AE=AF=AB ,

54、 AD=AC ,AEDA AFC ,得 DE=CF,故 DE=2AM .DE=2AM ,解法和(3)完全相同.點評：此題主要考查了直角三角形的性質(zhì)、三角形中位線定理以及全等三角形的判定和性質(zhì)，難度較大.(2010?平房區(qū)一模)如圖1,在4ABC中，AC=BC ,/ACB=90。，點D為AB邊中點，以點D為頂點作/ PDQ=90 , DP、DQ分別交直線 AC、BC于E、F,分另過E、F作AB的垂線，垂足分別為 M、N.(1)求證：EM+FN= 逛AC;2(2)把/ PDQ繞點D旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點E在線段AC的延長線上時(如圖 2),則線段EM、FN、AC之間滿足的關(guān)系式是 EM - FN=21aC ;

55、2(3)在/ PDQ繞點D由圖1到圖2的旋轉(zhuǎn)的過程中，設(shè) DP交直線BC于點G,連接BE,若FG=10, AE=3CE , 求BE的長.考點：等腰直角三角形；全等三角形的判定與性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).專題：綜合題.分析：(1)連接CD,由D為等腰直角三角形斜邊 AB的中點，根據(jù)三線合一得到 CD垂直于AB, CD為角平分 線，從而得到/ ECD=/B=45,根據(jù)斜邊上的中線等于斜邊的一半得到CD=DB ,再由/ EDC與/ CDF互余，且/ CDF與/ FDB互余，根據(jù)同角的余角相等得到/EDC=/FDB,根據(jù)ASA可得三角形 CED與三角形FBD全等，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等可得ED=FD ,再

56、根據(jù)同角的余角相等得到一對角相等，一對直角相等，且 DE=DF ,根據(jù)AAS得到三角形 EDM與三角形FND全等，可得 MD=FN ,又三角形 AEM 為等腰直角三角形，故 EM=AM ,所以EM+FN等量代換為AD ,而在等腰直角三角形 ACD中，根據(jù)45 的余弦函數(shù)定義可得 AD=立AC ,從而得證；(2)連接CD,同理可得 EM-FN=F!aC;2(3)過D作DH垂直于AC ,又BC垂直于AC,得到DH與BC平行，根據(jù) D為AB中點，得到H也為 AC中點，得到DH為三角形ABC的中位線，根據(jù)中位線的性質(zhì)得到 DH等于BC的一半，即為AC的一半， 又 AE=3EC ,得至ij AC=2EC

57、 ,從而得至U BC=2EC ,可得 HD=EC ,設(shè) CE=x ,貝U AE=3x , AC=AE - CE=2x , 可得 AH=HC=CE=x ,且 AC=BC=EH=2EC=2x ,由/ HAD=45 , / AHD=90 ,得至U AAHD 為等腰直角三角 形，同理4AEM和4FND都為等腰直角三角形，可表示出 AM=EM= AE=-x,進而得到 HD=AH=x ,22由 EC=CH=x ,得到C為HE的中點，即CG為中位線，根據(jù)三角形中位線定理得到CG=,HD=)x,用GB=BC - CG ,表示出GB,由第二問得到 EM-FN=Y2aC,將表示出的EM及AC代入表示出FN,即為D

58、N ,利用勾股定2理表示出BF,由GF=GB+BF ,將GF=10代入，列出關(guān)于 x的方程，求出方程的解得到 x的值，進而確定 出EM及BM的長，在直角三角形 BEM中，由EM及BM的長，利用勾股定理即可求出EB的值.解答：(1)證明：連接CD,AC=BC , / ACB=90，點 D 為 AB 邊中點，.Z ACD= Z DCB=Az ACB=45 , CDXAB ,2又/ A= Z B=45 , / ECD= / FBD , 又D為RtAABC斜邊AB的中點，CD=BD= -IaB ,2. / PDQ=90 ,./ EDC+ Z CDF=90 ,又 CD LAB, CDF+Z FDB=90

59、 , / EDC= / FDB ,在ACED和 FBD中，rZEDC=ZFBD CD二BD ，lzedc=zfdbCEDA FBD (ASA), ed=fd , 又/ MED+ Z EDM=90 , / EDM+ / FDN=90 , ./ MED= / NDF, 在EDM 和4DFN中， 2MED = NNDF -ZEMD-ZDNF-9Q, led=fd . EDMA DFN (AAS),md=fn , 又/ A=45 , / EMA=90 , ./ AEM= / A=45 , AM=EM , em+fn=am+md=ad ,在 RtAACD 中，cosA=cos45 =立，即 AD=AC,

60、AC 22EM+FN=登AC ;2(2)連接CD,AC=BC , / ACB=90，點 D 為 AB 邊中點，/ ACD= / DCB=45 , CDXAB , 又/ A= Z ABC=45 , ./ ECD= Z FBD=135 , 又D為RtAABC斜邊AB的中點，CD=BD= -AB ,2. / PDQ=90 ,FDB+ /EDN=90 ,又 CD LAB, ./ EDC+/ EDN=90 ,/ EDC= / FDB , 在ACED和 FBD中， rZECD=ZFBD CD=DD ，lZEDC=ZFDBCEDA FBD (ASA), ED=FD ,又 / MED+ Z EDM=90 ,