1、一、 變量可分離方程的求解當(dāng) 方程（2.2.1）兩邊同除以 得 這樣對(duì)上式兩邊積分得到例2.2.1求微分方程的通解。1注：求方程通解時(shí)，我們假設(shè) 若 時(shí)得 y 值也可能為方程的解。解：變量分離后得上式兩邊積分得整理得其中該解在無定義, 故通解在中有定義.所以要考慮 的情況， 該方程對(duì)應(yīng)的解我們稱為常數(shù)解.2例 2.2.2求微分方程的通解.解: 變形為積分得:求積分得:解得:3記則因?yàn)榭傻霉仕械慕鉃?4練習(xí)解通解：5二、 齊次方程齊次函數(shù): 函數(shù)稱為m次齊次函數(shù), 如果齊次方程:形如的方程稱為齊次方程。 引入一個(gè)新變量化為變量可分離方程。求解思想:6例2.2.3 求下面初始值問題解：方程為齊次

2、方程，令求導(dǎo)后得分離變量得事實(shí)上, 令則故有即7積分上式得用 代入得利用初始條件 可定出 代入上式解出 8 求解微分方程微分方程通解：解練習(xí)9 解方程解改寫方程： 齊次方程方程變?yōu)椋簝蛇叿e分：練習(xí)10分析解方程變?yōu)?齊次方程練習(xí)11兩邊積分通解：分離變量12三、 可化為齊次方程的方程形如的方程可化為齊次方程.其中都是常數(shù).1. 當(dāng)時(shí), 此方程就是齊次方程.2. 當(dāng)時(shí), 并且(1)13此時(shí)二元方程組有惟一解引入新變量此時(shí), 方程可化為齊次方程:14(2) 若則存在實(shí)數(shù)使得:或者有不妨是前者, 則方程可變?yōu)榱顒t153. 對(duì)特殊方程令則16例2.2.4求方程 的通解。 解：解方程組 得 令 代入原方

3、程可得到齊次方程令 得17還原后得原方程通解為變量分離后積分18解代入原方程得非齊次型方程.方程組齊次型方程.方程變?yōu)榫毩?xí)19分離變量法得原方程通解20例:雪球融化問題設(shè)雪球在融化時(shí)體積的變化率與表面積成比例，且融化過程中它始終為球體，該雪球在開始時(shí)的半徑為6cm ，經(jīng)過2小時(shí)后，其半徑縮小為3cm。求雪球的體積隨時(shí)間變化的關(guān)系。解:設(shè)t 時(shí)刻雪球的體積為 ，表面積為 球體與表面積的關(guān)系為 2.2.3變量可分離方程的應(yīng)用21引入新常數(shù) 再利用題中的條件得分離變量積分得方程得通解為再利用條件 確定出常數(shù)C和r代入關(guān)系式得 t的取值在 之間。 22游船上的傳染病人數(shù).一只游船上有800人,12小時(shí)后有3人發(fā)病.故感染者不能被及時(shí)隔離. 設(shè)傳染病的傳播速度與受感染的人數(shù)及未受感染的人數(shù)之積成正比.一名游客患了某種傳染病,由于這種傳染病沒有早期癥狀,直升機(jī)將在60至72小時(shí)將疫苗運(yùn)到,試估算疫苗運(yùn)到時(shí)患此傳染病的人數(shù).解 設(shè)y ( t )表示發(fā)現(xiàn)首例病人后 t 小時(shí)的感染人數(shù)。其中k 0為比例常數(shù).可分離變量微分方程初始條件:練習(xí)23兩邊積分,通解分離變量24直升機(jī)將在60至72小時(shí)將疫苗運(yùn)到,試估算疫苗運(yùn)到時(shí)患此傳染病的人數(shù)。25車燈的反射鏡面-旋轉(zhuǎn)拋物面解練習(xí)