1、0引言在物理學中，如何選擇適當的參照系是非常重要的，在力學中通常選用慣性系，但有時也可選 用非慣性系。功能原理在慣性系中成立，在非慣性系中作適當處理后也成立，有時用它解題很方便。 本文就給出這樣的例題。關于非慣性系參照系中，在理論力學中只是研究動力學方程，缺少的 是非慣性系中的功能原理。本文經過推導得出質點系非慣性系的功能原理。1功能原理的研究1.1質點系的動能定理質點系也是實際物體的一種理想模型，它可以當作有限個質點組成的一個系統。設一個質點系 有N個質點組成，其中第i個質點的質量為m，第j個質點作用在m上的力（內力）為f，這N個質 點以外的其他物體作用在m上的合力（外力）為f，則由牛頓運動

2、定律m 竺=f+尤G-8 )fi dt iij ij（1-1）j=1式中V,是m,的速度，而0,（1-2）當m的位移為dr時，以dr點乘上式便得if Ddr +i i尤(L-8 )f Hdr = dj=1（1-3）將上式對所有的N個質點求和，便得勺d, +尤以.i=1i=1 j=1)f Vdr = dij i+ mv 22 i i )dA = f Hdr，夕卜i ii=1=* N (1-8ddA內 i=1 j=1ij ij i分別代表外力和內力作的功，則（1-4）可寫作:dA外 + dA內 = d(1-4)(1-5)(1-6)(1-7)這就是質點系的動能定理。1.2質點系統的功能原理質點系的內

3、力可以分為保守內力和非保守內力。例如，質點系內各質點的萬有引力是保守內力; 質點間的摩擦力是非保守內力。因而質點系內力的功人內可以寫成保守內力的功（用符號七保表示）和非保守內力的功（用符號A 表示）之和內非保內保+七非保（18）由系統內保守內力所作的功，數量上等于相應勢能增量的負值（或相應勢能的減少量）。（李乃伯， 1994）A =一（E -E）（1-9）內保P2 p把（1-9）代入上式，得A =-（E -E）+ A（1-10）再有在有限的路程上，一切外力和內力作功的代數和，在數量上等于質點系動能的增量。用符號A外 表示所有外力作的功的代數和，A內表示所有內力作功的代數和，則：A + A =

4、E - E（1-11） TOC o 1-5 h z 把（1-10）代入（1-11）并整理得：21A + A=（E +E）-（E +E）（1-12）外 內非保K2 P2K1 P1在上式中，Ek和Ek表示質點系初、末兩狀態的動能；Ep和Ep表示質點系初、末兩狀態的勢能。 系統內有幾種保守力2 Ep就包含有幾種勢能。12動能和勢能是力學意義下的能量。通常把系統中所有動能和勢能之和稱為質點系的機械能，用 符號E表示：E = Ek +Ep（1-13）于是，式（1-12）可表示為：1 +A內非保=%-%（1-14）式（1-12）和（1-14）表明，質點系中，所有外力和保守內力作功的代數和，在數量上等于質點

5、系機 械能的增量。這就是質點系的功能原理。功能原理指出，質點系力學的范疇的能量一一機械能的增多或減少，取決于系統外物體作功和 系統中非保守力作功的代數和。外力作功，系統內機械能和系統外物體的某種能量發生相應的轉換； 非保守內力作功，在系統內則產生機械能和非機械能的轉換。1.3系統在動慣性系中的功能原理設地面參照系（靜參照系）為s，相對于s以恒速U（UC）運動的動慣性系為s，物體在s , s 兩系中的位矢分別r,r，礦系的坐標原點在s系中的位矢為r，則：0r = r + rd r = d r + d r（1-15）（dr可稱為動慣性系的位移）設物體與地球這一系統內保守力為F內保，非保守內力F內非

6、保并不受外力。 在s，s兩系中分別運用有定理得到： 在s系中有內保守力和非內保守力做功的下式：內保內非保k2 k1在s系中有內保守力和非內保守力做功的下式：J F Cd r +J F Cd r = E - E(1-16)(1-17)(1-18)(1-19)J F cd r +J F ud r = E E內保內非保k2k1（1-15）式代入（1-16）式并考慮到（1-17）式得到：J F cd r +J Fcd r = （ E - E ） - （ E，- E）內保 0 內非保 0k2k1k2k1討論（1-16）式；若在s系中非保守內力不做功，J Fcd r = 0內非保即由保守內力作的功等于勢能

7、的減少，（程守洙、江之永，1998）即J F cd r = E - E考慮到s，s兩系中系統勢能變化相同，（程守洙、江之永，1998）E - E = E - E(1-20)P , 一 P.2P1P2將(1-19) (1-20)兩式綜合代入(1-17)式得到：J F cdr +J Fadr = (E + E )-(E + E ) = E-E(1-21)內保 0 內非保 0P1kP2%12即我們推導得到的動慣性的功能原理，可敘述為：如果系統在靜慣性系中僅有保守內力對物體作功， 那么，內力在動慣性系的位移上作的功等于系統在動慣性系中的機械能的減少。(鄭理，2002)顯然，如此在靜，動慣性系中結合研究

8、，結論簡明，應用也就自然簡便。最主要的是要弄清內 保守力，內力，靜慣性中物體的位移dr動慣性的位移dr，動慣性系物體的位移dr。、力在動慣性系 的位移上作的功等概念。1.4系統在非慣性系中的功能原理如圖所示，如果參照系K是以勻加速直線運動的非慣性系,在此參照系上選一點0為坐標原點， 水平向右為X軸正向，使OX軸方向與a的方向一致，在此坐標系中有一質量為m的物體，在外力F 作用下，沿曲線從A運動到B。要在此坐標中沿用牛頓運動定律處理運動物體的運動問題 必須假想 物體除受真實力F作用外，還受一個慣性力f的作用：|f I (即f的大小)=ma ,其方向與非慣性參照 系加速度a的方向相反,因此在此坐標

9、系里，由m與地球組成的系統，其功能原理就寫成圖1-2非慣性系J F Cd s +J f Cd s +J fCd s = E，- E = ( E + E ) - ( E + E )(1-22)慣內非保B APB KBPA KA式子中EJ、Ea為系統在非慣性系中,末初兩態的機械能。EJ、Epa為系統在非慣性系中末初兩態的勢能，EJ、EJ為系統在非慣性系中未初兩態的動能。(許艷，2002)2應用舉例例1 一汽車的速度v0= 36km/h，駛至一斜率為0.01的斜坡時，關閉油門。設車與路面間的摩 擦力為車重G的0.05倍，問汽車能沖上斜坡多遠？解：取汽車和地球這一系統為研究對象，則系統內只有汽車受到f

10、且和N兩個外力的作用，斜 面與地面的夾角為a。運用系統的功能原理有：阻-f s = (0+Gssina ) -(4mv2+0)即日G s = + mv2 - G ssina2上式說明，汽車在上坡前動能和勢能(設為零)的總和大于上坡后動能(為零)和勢能的總和，汽 車在上坡中機械能減少了，它所減小的能量等于反抗摩擦力所作的功。代入已知數字，解得s = 85m。例2.如右圖所示，質量為M的斜面裝置，可在水平桌面上無摩擦地滑動，斜面傾角為a，斜面受一 水平向右的力FJ的作用，斜面上放一質量為m的木塊，與斜面之間的滑動摩擦系數為p，求:木塊從 斜面頂點以初速度為v。下滑到斜面底部的瞬時速率。圖 2 -1

11、(a)圖 2-1(b)解:選m和地球為一系統，并選斜面為參考系，因斜面向右以a =F/(m + M)作勻加速運動，所以斜 面參考系為一非慣性系。系統受的外力有摩擦力f、支持力N。重力屬保守內力。質量為m的木塊 共受三個真實力:支持力N、摩擦力f、重力mg和一個虛擬力f慣的作用(如圖(b),因支持力不做功, 重力是保守內力,做功不必考慮，所1以系統只有和f慣做功/系統在A 態時的機械能：Ea= m v 2/2+ mgh ( vA= vO, h = Lsin a )系統在B態時的機械能：E = m v2/2 (選B點為勢能O點) 由非慣性系中的功能原理有:Af+Af慣= B W即：-pmgcosa

12、EL - mF HOB / (M+ m) = m v2 /2- m v2 /2- mgh式中：OB = Lcosa , vB 為所求，vA = v0 有：-pmgcosa EL - mF oLcosa / (M+ m) = m v2/2- m v2 /2- mgLsina 解得:v = .v 2 + 2 gL sin a - 2pL cos a 一 孔cos0CB k oM + m即為所求.例3如下圖所示，一物體質量為2kg，以速度3.0m/s從斜面A點滑下。它與斜面間的摩擦力為 8N，到達B點時，壓縮彈簧20厘米至C處，然后再被彈送上去，求彈簧的屈強系數K和物體最后能 回到多高處。圖2-2

13、(a)圖2-2 (b)圖2-2 (c)解：選擇物體口、地球、彈簧三個物體為系統，則此系統受外力有斜面支持力N、摩擦力和(將 斜面看成是地球的一部份時為非保守內力)，而重力mg和m與彈簧接觸時受到的彈性力均為保 守內力。物體A的受力情況如圖2-2( b)所示。因支持力N不做功，保守內力做功不必考慮，只有摩擦 力對系統做功A =- f A，選擇C點為重力勢能零點,系統在A態的機械能：廠 1E = 2 mv 2 + mgh (式中 h = AC Esin 0 = 5sin 0 )11,1, 一.系統在C態的機械能：Ec = 2mv2 + 2kx2 = 2kx2 (因為v =0)系統從A-C的過程中，

14、由功能原理得：11A + A = E E，即 A = kx2 (一 mv 2 + mgh ) = - f EAC外 非內 C Af 22 A & A， 七代入數據計算得K=1390Nn-1若再求物體的回彈高度時，系統和中立勢能零點的選取仍與前面相同。但運動過程可選為由C點開始彈出至物體能回到的高度h止。則在此過程中(見圖2-2 (C).h摩擦力f做功：Af =-匕X =-匕而1 ,C處的(始態)機械能：E0=3kx2D處的(終態)機械能：E= mgh對系統在C-D過程中列出功能關系式為：h1A = E E 即：一f 口 = mgh - kx 2f 。 R sin 02得：7i kx2h = 2

15、mg +僉sin0h = 0.85 m將已知量 X = 0.2m, k = 1390N / m, f = 8N,0 = 36.9。, m = 2kg 代入可求得:3.結語通過本文對功能原理的研究，使我們對功能原理有了更進一步的認識。同時我們也可以看出功 能原理在求解問題中的應用。參考文獻許艷.功能原理和機械能守恒及轉換定律J.保山師專報.2002, 21 (5)鄭理.動慣性系中的功能原理及機械能守恒定律J.河北能源職業技術學院學報.2002, 3周衍柏編.理力學教程第二版M.北京:高等教育出版社，1987程守洙、江之永.普通物理學第一冊第五版M.高等教育出版社.1999, 110曾令宏.動能定理與功能原理的關系及其有關問題J.柳州師專報2002, 17 (4)李乃伯主編.物理學.高等教育出版社.1994 3135復旦大學上海師范大學物理系編.物理學，上海科學技術出版社.1982 202203致謝半