1、徐州專版第 21 課時相似三角形第四單元三角形考點一比例的基本性質考點聚焦如果ab=cd,那么ad=bc.反過來,如果ad=bc(b0,d0),那么ab=cd.考點二成比例的線段線段的比是指線段長度的比比例尺比例尺=圖上距離實際距離成比例線段對于四條線段a,b,c,d,如果其中兩條線段的長度的比與另兩條線段的長度的比相等,即 ,那么,這四條線段叫做成比例線段,簡稱比例線段ab=cd(續表)黃金分割平行線分線段成比例兩條直線被一組平行線所截,所得的對應線段成0.618比例考點三相似圖形的有關概念圖形的相似形狀的圖形稱為相似圖形相似多邊形定義如果兩個多邊形滿足對應角,對應邊 ,那么這兩個多邊形相似

2、相似比相似多邊形的比稱為相似比相似三角形的定義兩個三角形的對應角相等,對應線段成比例,則這兩個三角形相似.當相似比為時,兩個三角形全等相同相等成比例對應邊1考點四相似三角形的判定1.相似三角形的判定方法判定定理1平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交,所構成的三角形與原三角形判定定理2如果兩個三角形的三組對應邊的相等,那么這兩個三角形相似判定定理3如果兩個三角形的兩組對應邊的比相等,并且相應的相等,那么這兩個三角形相似相似比夾角(續表)判定定理4如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應 ,那么這兩個三角形相似拓展直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形與原直角三角形相似相等2.相似三角

3、形的基本圖形考點五相似三角形及相似多邊形的性質相似三角形(1)周長的比等于 (2)面積的比等于相似比的(3)對應高、對應角平分線、對應中線的比等于 相似多邊形(1)周長的比等于 (2)面積的比等于相似比的相似比平方相似比相似比平方考點六位似位似圖形的定義兩個多邊形不僅相似,而且對應頂點間連線相交于一點,對應邊互相平行(或在同一條直線上),像這樣的兩個圖形叫做位似圖形,這個點叫做位似 基本圖形中心(續表)位似與相似的關系位似是一種特殊的相似,構成位似的兩個圖形不僅相似,而且對應點的連線相交于一點,對應邊互相平行或在一條直線上位似圖形的性質(1)位似圖形上的任意一對對應點到位似中心的距離的比等于;

4、(2)位似圖形對應點的連線或延長線相交于點;(3)位似圖形對應邊平行或在同一條直線上;(4)位似圖形對應角相等相似比一(續表)以坐標原點為中心的位似變換在平面直角坐標系中,如果位似是以原點為位似中心,相似比為k,那么位似圖形對應點的坐標的比等于位似作圖(1)確定位似中心O;(2)連接圖形各頂點與位似中心O的線段(或延長線);(3)按照相似比取點;(4)順次連接各點,所得圖形就是所求的圖形k或-k題組一必會題對點演練1.下列四組圖形中,一定相似的是()A.正方形與矩形B.正方形與菱形C.菱形與菱形D.正五邊形與正五邊形D2.ABC與ABC是位似圖形,且ABC與ABC的位似比是12.已知ABC的面

5、積是3,則ABC的面積是.3. 九下P59練習第2題改編如圖21-1,1=2.要使ABCADE,還需要添加條件 .圖21-1124.如圖21-2,RtABC中,CD是斜邊AB上的高,寫出圖中的相似三角形 .圖21-2ABCACDCBD5.如圖21-3,一塊材料的形狀是銳角三角形ABC,邊BC=120 mm,高AD=80 mm.把它加工成正方形零件,使正方形的一邊在BC上,其余兩個頂點分別在AB,AC上,則這個正方形零件的邊長是mm.圖21-348【失分點】混淆相似三角形中的面積比與相似比.題組二易錯題6. 2018連云港如圖21-4,ABC中,點D,E分別在AB,AC上,DEBC,ADDB=1

6、2,則ADE與ABC的面積比為.圖21-4答案 19考向一比例線段圖21-5圖21-6例1 (2)如果一等腰三角形的底邊與腰的比等于黃金比,那么這個等腰三角形就叫做黃金三角形.請以圖21-6中的線段AB為腰,用直尺和圓規作一個黃金三角形ABC.(注:直尺沒有刻度!作圖不要求寫作法,但要保留作圖痕跡,并對作圖中涉及的點用字母進行標注)解: (2)如圖所示:| 考向精練 |答案 C2.若x是3,12的比例中項,則x=.答案 6解析由x是3,12的比例中項,得x2=312,解得x=6.3. 2016常州在比例尺為140000的地圖上,某條道路的長為7 cm,則該道路的實際長度是km.2.8考向二平行

7、線分線段成比例答案C圖21-7| 考向精練 |D圖21-8考向三相似三角形的判定與性質例3 2019長春教材呈現:下圖是華師版九年級上冊數學教材第78頁的部分內容.請根據教材提示,結合圖,寫出完整的證明過程.圖21-9圖21-9答案6| 考向精練 |141. 2016徐州13題在ABC中,若D,E分別是AB,AC的中點,則ADE與ABC的面積之比是.圖21-1043. 2017宿遷如圖21-11,在ABC中,AB=AC,點E在邊BC上移動(點E不與點B,C重合),滿足DEF=B,且點D,F分別在邊AB,AC上.(1)求證:BDECEF;(2)當點E移動到BC的中點時,求證:FE平分DFC.圖2

8、1-11圖21-12解:(1)證明:AB是O的直徑,ACB=90.PA是O的切線,OAP=90,ACB=OAP.BCOP,AOP=CBA,ABCPOA.5. 2013徐州26題如圖21-13,在RtABC中,C=90,翻折C,使點C落在斜邊AB上某一點D處,折痕為EF(點E,F分別在邊AC,BC上).(1)若CEF與ABC相似,當AC=BC=2時,AD的長為;當AC=3,BC=4時,AD的長為.(2)當點D是AB的中點時,CEF與ABC相似嗎?請說明理由.圖21-135. 2013徐州26題如圖21-13,在RtABC中,C=90,翻折C,使點C落在斜邊AB上某一點D處,折痕為EF(點E,F分

9、別在邊AC,BC上).(1)若CEF與ABC相似,當AC=3,BC=4時,AD的長為.圖21-135. 2013徐州26題如圖21-13,在RtABC中,C=90,翻折C,使點C落在斜邊AB上某一點D處,折痕為EF(點E,F分別在邊AC,BC上).(2)當點D是AB的中點時,CEF與ABC相似嗎?請說明理由.圖21-13解: (2)當點D是AB的中點時,CEF與ABC相似,理由如下:如圖所示,設CD與EF交于點Q.CD是RtABC的中線,CD=DB=AD,DCB=B.由折疊性質可知,CQF=DQF=90,DCB+CFE=90.B+A=90,CFE=A.又ECF=BCA,CEFCBA.考向四位似例4 如圖21-14,在1010的正方形網格中,點A,B,C,D均在格點上,以點A為位似中心畫四邊形ABCD,使它與四邊形ABCD位似,且相似比為2.(1)在圖中畫出四邊形ABCD;(2)填空:ACD是 三角形.圖21-14解:(1)如圖,四邊形ABCD即為求作圖形.等腰直角| 考向精練 |1. 2019邵陽如圖21-15,以點O為位似中心,把ABC放大為原圖形的2倍得到ABC,以下說法中