1、2021年普通高等學校招生全國統一考試理科數學（甲卷）,題多解及數學思維研究、選擇題1. （2021全國新高考I卷9 ）若0,- ,tan22A.15C.3D. Ill53答案:【知識點】三角函數化簡、二倍角公式【分析】由二倍角公式可得tan2sin 22sincoscos22sin2,再結合已知可求得sin利用同角三角函數的基本關系即可求解【解法一】；tan 2,_ sin 2tan 2cos 2cos2 sin2sin cos2sin2cos2 sin0, , cos0,2sin1 2sin21sin-1,解得sin 4cos 1 sin215,4, sintan cos1515故選：A.

2、【解法二】不妨設siny,costan1y(ytan 22y1(1y2 12_y) 2y(22y2 y,y2 1 4y,晅，即:15tan小 15【思維方式】本題考查三角函數的恒等變換與化簡求值,本題兩種方法正向思維和逆向思維,由條件到結論和由結論到條件。體現了函數與方程的數學思想和數學抽象及邏輯推理的數學核心素養。2.（2021全國新高考I卷10）10.將4個1和2個0隨機排成一行，則2個0不相鄰的概率為（）1A.一32 B.-52C.一3D.【知識點】古典概型【分析】采用插空法,4個1產生5個空，分2個0相鄰和2個0不相鄰進行求解【解法一】將4個1和2個0隨機排成一行，可利用插空法，4個1

3、產生5個空,若2個0相鄰，則有C5 5種排法，若2個0不相鄰，則有C； 10種排法,所以2個0不相鄰的概率為105 10故選：C.【解法二】4個1和2個0隨機排成一行，共有2個0不相鄰，先將4個1全排列，再用插空法將故2個0不相鄰的概率為12 2 .故選：C .15 3【思維方式】|本題考查了古典概型概率公式的應用， 輯推理的數學核心素養。A6.22 15 種，（另解：C6 15）,A4 A222個0放入共有C5 10種，體現了函數與方程的數學思想和數學抽象及邏3. （2021全國新高考I卷12 ) 12.設函數的定義域為R, f X 1為奇函數，f x 2為偶函數，當 x 1,2 時，f(x

4、) ax2 b.若 f 0 f 36,則 fA.B.7 C.一45 D.2答案:【知識點】函數性質的綜合應用【分析】通過f x 1是奇函數和f x2是偶函數條件，可以確定出函數解析式2f x 2x 2,進而利用定義或周期性結論，即可得到答案.【解法一】因為f x 1是奇函數，所以f x 1 f x 1;因為f x 2是偶函數，所以f x 2f x 2 .令x 1 ,由得：f 0 f 24a b ,由得：f 3 f 1 a b,因為f 0 f 36,所以4a b a b 6 a2,f 1 f 1 0 b 2,所以 f x2x2 2 .思路一：從定義入手.所以【解法二】1是奇函數，所以x 1;因為

5、2是偶函數，所以由得:4a由得:因為6,所以4a2,0,由得:22x思路二：從周期性入手由兩個對稱性可知，函數的周期T4._91所以f f 22【思維方式】在解決函數性質類問題的時候,我們通常可以借助一些二級結論,求出其周期性進而達到簡便計算的效果.體現了函數與方程的數學思想，數學抽象及邏輯推理的數學核心素養。、填空題224.（2021全國新高考I卷15）已知F1，F2為橢圓0: 1的兩個焦點，P, Q為C上關164于坐標原點對稱的兩點，且 PQ F1F2 ,則四邊形PFQF2的面積為答案： 8【知識點】橢圓的定義和性質【分析】根據已知可得 PF1 PF2,設| PF1 | m,| PF21

6、n ,利用勾股定理結合 m n 8 ,求出mn,四邊形PFQF2面積等于mn,即可求解【解法一】【詳解】因為 P,Q為C上關于坐標原點對稱的兩點，且|PQ|下石|,所以四邊形PFQF2為矩形，設 |PFJ m,| PF2 | n,則 m n 8,m2 n2 48,所以 64 (m n)2 m2 2mn n2 48 2mn,mn 8,即四邊形PFQF2面積等于8.故答案為：8 .【解法二】因為 P, Q為C上關于坐標原點對稱的兩點，且 |PQ| |F1F2 | ,所以四邊形PF1QF2為矩形，2 一 一S 2Sa pf f 2b tan2 4 tan 8.1F24【思維方式】判斷四邊形pf hf

7、為矩形，利用橢圓的定義及勾股定理求解即可.本題主要考查橢PF1 QF 2圓的性質，橢圓的定義，考查方程思想與運算求解能力，體現了數學抽象及邏輯推理的數學核心素養。5. (2021全國新高考I卷19 )已知直三棱柱ABC AB1C1中，側面 AABB為正方形,AB BC 2 , E, F分別為AC和CCi的中點，D為棱AB上的點.BF AB(1)證明：BF DE ;(2)當BD為何值時，面BBQ與面DFE所成的二面角的正弦值最小？答案： (1)見解析；(2) B1D 1【知識點】垂直的證明、二面角的求法【分析】通過已知條件，確定三條互相垂直的直線，建立合適的空間直角坐標系，借助空間向量證 明線線

8、垂直和求出二面角的平面角的余弦值最大，進而可以確定出答案.【解法一】因為三棱柱 ABC A1B1C1是直三棱柱，所以 BB 底面ABC ,所以BBl AB因為 ABiAB, BF AB,所以 BF AB ,又BB1 BF B,所以AB 平面BCGBj所以BA, BC,BB1兩兩垂直.以B為坐標原點，分別以 BA, BC, BB所在直線為x, y,z軸建立空間直角坐標系，如圖.所以 B 0,0,0 , A 2,0,0 ,C 0,2,0 ,B 0,0,2 ,A1 2,0,2 ,C1 0,2,2 ,E 1,1,0 ,F 0,2,1由題設 D a,0,2 (0 a 2).(1)因為 BF 0,2,1

9、,DE 1 a,1, 2 ,所以 BF DE 0 1a 2 1 120 ,所以 BF DE .I-(2)設平面 DFE的法向量為 m x, y, z ,因為 EF 1,1,1 ,DE 1 a,1, 2 ,所以m efm de,即x y z 01 a x y 2z 0令 z 2 a,則 m 3,1 a,2 a因為平面BCC1B1的法向量為BA 2,0,0 ,設平面BCGB與平面DEF的二面角的平面角為則cosm bamBA 2 .263a2 2a 14,2a2 2a 14此時所以此時1時，2a2cossinB1D2 a 4取最小值為33 .【解法二】（1）取BC中點連接先證明四邊形 DB1ME為

10、梯形，再證明2752B1M ,EM ,BE B1M，本問題即可解決.【思維方式】本題考查空間中線與線的垂直關系,面角的求法，熟練掌握利用空間向量證明線線推理論證能力和運算能力，數學抽象及直垂直和求二面角的方法是解題的關鍵，考查空間立體感、 觀想象的數學核心素養。ax .6.(2021全國新局考I卷 21 )已知a 0且a 1 ,函數f(x) (x 0).a（1）當a 2時，求f x的單調區間;（2）若曲線y f x與直線y 1有且僅有兩個交點，求 a的取值范圍.2(1)0,上單調遞增;ln22ln2上單調遞減；（2） 1,ee,【知識點】導數研究函數的性質【分析】（1）求得函數的導函數，利用導

11、函數的正負與函數的單調性的關系即可得到函數的單調 性;(2)利用指數對數的運算法則，可以將曲線y f x與直線1有且僅有兩個交點等價轉化為方程ln x ln a 有兩個不同的實數根，即曲線y g x與直線x aa有兩個交點，利用導函數研ln ax的單調性，并結合g x的正負，零點和極限值分析 g的圖象，進而彳#到0小 a發現這正好是0 g a g e ,然后根據g的圖象和單調性得到a的取值范圍.4x2x r(1)當 a 2時，f x 7，f2x 2x x2 2xln2 x 2x 2 xln222x-20得x In 2，當0 xIn 2時，fx 0,當 xIn 2時，f x0,，函數f上單調遞增

12、；ln2上單調遞減;(2)x ln a a In xIn xIn alna,設函數g xaIn xIn x，令g0,得x e,0,e0,g單調遞增;e,0，gx單調遞減;max g e0,當x趨近于時，g x趨近于0,所以曲線y f x與直線1有且僅有兩個交點,即曲線x與直線a人一有兩個父點 1n a的充分必要條件是0皿 a1一,這即是0 g a e所以a的取值范圍是 1,ee,【解法二】令g(x) f (x)1(x 0),g (x)xa 1(a xln a)1) 0axa 1 時，g(x)至多一個零點，故舍去;2) a1 時,g (x)又1xm0 g(x)limxax In ag(x)g( x) max則(一a-)a1n ag()In aaa而0,aIn a兩邊取以e為底的對數得In aIn ag(x)在(,篇)上單調遞增，在(,)上單調遞減.1n a0,1In a1na In a1.In In a In aIn a令 In a t,得 t In t 1 ,即 t 1